Giải Toàn 12 - Táºp Hai trang 42
Lời giải chi tiết SGK Lớp 12 · Môn ToĂ¡n · Trang 42–43
Một lưu ý nhỏ trước khi vào bài: ảnh bạn gửi thực ra là trang 40 và 41 của sách (xem số trang ở góc dưới), chứ không phải 42–43. Mình sẽ giải đúng theo nội dung trong ảnh nhé.
Trang 40 – Bài tập 5.10 và mục "Em có biết?"
Bài 5.10: Moment lực của cối xay lúa
Đề bài:
Xét một cối xay lúa trong không gian $Oxyz$, đơn vị đo là mét. Nếu tác động vào tai cối xay (ở vị trí $P$) một lực $\vec{F}$ thì moment lực $\vec{M}$ được tính bởi công thức $\vec{M} = [\overrightarrow{OP}, \vec{F}]$ (tức tích có hướng). Trong quá trình xay, các thanh gỗ $AB$ và $PQ$ luôn có phương nằm ngang. Vectơ lực $\vec{F}$ có giá song song với $AB$. Giải thích vì sao giá của vectơ moment lực $\vec{M}$ có phương thẳng đứng.
Lời giải:
Ta phân tích phương của hai vectơ tạo nên tích có hướng:
- Thanh $PQ$ nằm ngang, mà $P$, $Q$ và tâm $O$ của cối cùng nằm trên mặt phẳng nằm ngang chứa thanh $PQ$. Do đó vectơ $\overrightarrow{OP}$ có phương nằm ngang.
- Vectơ lực $\vec{F}$ có giá song song với $AB$, mà $AB$ nằm ngang, nên $\vec{F}$ cũng có phương nằm ngang.
Theo tính chất của tích có hướng:
$$\vec{M} = \big[\overrightarrow{OP},\, \vec{F}\big]$$
vectơ $\vec{M}$ vuông góc đồng thời với cả $\overrightarrow{OP}$ và $\vec{F}$.
Vì $\overrightarrow{OP}$ và $\vec{F}$ đều nằm trong mặt phẳng nằm ngang, nên $\vec{M}$ vuông góc với mặt phẳng nằm ngang đó. Một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng nằm ngang thì có phương thẳng đứng.
Vậy giá của vectơ moment lực $\vec{M}$ có phương thẳng đứng (đpcm).
Ý nghĩa thực tế: chính nhờ moment lực hướng thẳng đứng mà thớt cối quay quanh trục thẳng đứng, đúng như chuyển động quay của cối xay.
Mục "Em có biết?" (phần đọc thêm – không có bài tập)
Phần này giới thiệu hình học giải tích (hình học toạ độ): dùng đại số để nghiên cứu hình học, mỗi đối tượng hình học ứng với một đối tượng đại số (điểm ↔ toạ độ, đường ↔ phương trình đường, mặt ↔ phương trình mặt). Sách giới thiệu phương trình một số mặt thường gặp:
| Tên mặt | Phương trình |
|---|---|
| Mặt ellipsoid (mặt trái xoan) – H.5.17 | $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} + \dfrac{z^2}{c^2} = 1$ |
| Mặt hyperboloid một tầng – H.5.18 | $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} - \dfrac{z^2}{c^2} = 1$ |
| Mặt hyperboloid hai tầng – H.5.19 | $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} - \dfrac{z^2}{c^2} = -1$ |
| Mặt nón elliptic – H.5.20 | $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} - \dfrac{z^2}{c^2} = 0$ |
| Mặt paraboloid elliptic – H.5.21 | $z = \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2}$ |
| Mặt paraboloid hyperbolic (mặt yên ngựa) – H.5.22 | $z = \dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2}$ |
(với $a, b, c > 0$ và không bằng nhau)
Trang 41 – Bài 15: Phương trình đường thẳng trong không gian
Tóm tắt lý thuyết
Bài học nhắm tới các kỹ năng:
- Nhận biết phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng.
- Viết phương trình đường thẳng khi biết một điểm và vectơ chỉ phương, hoặc khi biết hai điểm.
- Nhận biết vị trí tương đối của hai đường thẳng (cắt, song song, trùng, chéo nhau).
Bài toán mở đầu: Trong không gian $Oxyz$, mắt người quan sát ở $M(2; 3; -4)$, vật ở $N(-1; 0; 8)$. Một tấm bìa hình tròn tâm $O(0;0;0)$, bán kính $3$, đặt trong mặt phẳng $Oxy$. Hỏi tấm bìa có che khuất tầm nhìn từ $M$ tới $N$ không? (Đây là câu hỏi dẫn dắt, sẽ được giải ở phần sau của bài.)
Định nghĩa quan trọng:
Vectơ $\vec{u} \neq \vec{0}$ được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$ nếu giá của $\vec{u}$ song song hoặc trùng với $\Delta$.
Chú ý:
- Đường thẳng được xác định hoàn toàn khi biết một điểm nó đi qua và một vectơ chỉ phương.
- Nếu $\vec{u}$ là một vectơ chỉ phương của $\Delta$ thì $k\vec{u}$ (với $k \neq 0$) cũng là một vectơ chỉ phương của $\Delta$.
HĐ1: Hình thành khái niệm vectơ chỉ phương
Đề bài:
Trong không gian, cho điểm $M$ và vectơ $\vec{u}$ khác vectơ-không. Khẳng định nào trong hai khẳng định sau là đúng?
- a) Có duy nhất đường thẳng đi qua $M$ và vuông góc với giá của $\vec{u}$.
- b) Có duy nhất đường thẳng đi qua $M$ và song song hoặc trùng với giá của $\vec{u}$.
Lời giải:
Khẳng định a) Sai.
Qua một điểm $M$ có vô số đường thẳng vuông góc với một phương cho trước. Tất cả các đường thẳng này cùng nằm trong mặt phẳng đi qua $M$ và vuông góc với giá của $\vec{u}$, nên không thể có "duy nhất".
Khẳng định b) Đúng.
Qua một điểm $M$, chỉ có duy nhất một đường thẳng song song (hoặc trùng) với một phương cho trước. Đây chính là cơ sở để định nghĩa vectơ chỉ phương: biết một điểm và một phương (vectơ chỉ phương) thì xác định được duy nhất một đường thẳng.
Ví dụ 1 (có lời giải sẵn trong sách)
Đề bài:
Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$. Hãy chỉ ra các vectơ chỉ phương của đường thẳng $BC'$ mà điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó đều là các đỉnh của hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$.
Lời giải (H.5.24):
Đường thẳng $BC'$ nhận các vectơ $\overrightarrow{BC'}, \overrightarrow{C'B}, \overrightarrow{AD'}, \overrightarrow{D'A}$ làm các vectơ chỉ phương.
Giải thích:
- $\overrightarrow{BC'}$ và $\overrightarrow{C'B}$ nằm ngay trên đường thẳng $BC'$ (giá trùng với $\Delta$), nên hiển nhiên là vectơ chỉ phương.
- Trong hình hộp, $AD' \parallel BC'$ vì $ABC'D'$ là hình bình hành (do $AB \parallel D'C'$ và $AB = D'C'$). Do đó $\overrightarrow{AD'}$ và $\overrightarrow{D'A}$ có giá song song với $BC'$, cũng là vectơ chỉ phương của $BC'$.
Đây đúng tinh thần của chú ý: một đường thẳng có vô số vectơ chỉ phương, miễn là giá của chúng song song hoặc trùng với đường thẳng đó.