Giải Toàn 12 - Táºp Hai trang 44
Lời giải chi tiết SGK Lớp 12 · Môn ToĂ¡n · Trang 44–45
Hai trang này thuộc bài học về phương trình đường thẳng trong không gian. Mình giải hết các phần Luyện tập, HĐ và nhắc lại các Ví dụ nhé. (Ảnh sách thực tế là trang 42 và 43, nên mình ghi header theo đúng số trang trên ảnh.)
Tóm tắt lý thuyết
Phương trình tham số: Đường thẳng $\Delta$ đi qua $A(x_0; y_0; z_0)$, vectơ chỉ phương $\vec{u}=(a; b; c)\neq \vec{0}$:
$$\begin{cases} x = x_0 + at \\ y = y_0 + bt \\ z = z_0 + ct \end{cases} \quad (t\in\mathbb{R})$$
Phương trình chính tắc: Khi $a, b, c$ đều khác $0$:
$$\frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c}$$
Điểm $A$ là một điểm thuộc đường thẳng, còn mẫu số (hệ số của $t$) chính là tọa độ vectơ chỉ phương.
Luyện tập 1: Vectơ chỉ phương của đường thẳng AB
Đề: Cho hình lăng trụ $ABC.A'B'C'$ (H.5.25). Trong các vectơ có điểm đầu và điểm cuối là đỉnh của lăng trụ, những vectơ nào là vectơ chỉ phương của đường thẳng $AB$?
Lời giải:
Vectơ chỉ phương của $AB$ là mọi vectơ khác $\vec{0}$ cùng phương với $\vec{AB}$.
Trong hình lăng trụ, cạnh $A'B'$ song song và bằng cạnh $AB$ (do $ABB'A'$ là hình bình hành). Vậy các vectơ thỏa mãn là:
$$\vec{AB},\quad \vec{BA},\quad \vec{A'B'},\quad \vec{B'A'}$$
HĐ2: Hình thành phương trình tham số
Vật thể xuất phát từ $A(x_0; y_0; z_0)$ với vận tốc $\vec{u}=(a; b; c)$.
a) Vật thể chuyển động trên đường thẳng đi qua điểm $A(x_0; y_0; z_0)$ và nhận $\vec{u}=(a; b; c)$ làm vectơ chỉ phương.
b) Sau thời gian $t$, vật đi được vectơ dịch chuyển $\vec{AM}=t\vec{u}=(at; bt; ct)$. Do đó:
$$\begin{cases} x = x_0 + at \\ y = y_0 + bt \\ z = z_0 + ct \end{cases}$$
Đây chính là dạng của phương trình tham số.
Ví dụ 2 (sách đã giải)
Cho $\Delta:\begin{cases}x=-1+3t\\ y=1\\ z=2t\end{cases}$
a) Viết lại $y=1+0t,\ z=0+2t$ nên điểm $M(-1; 1; 0)\in\Delta$ và $\vec{u}=(3; 0; 2)$ là vectơ chỉ phương.
b) $\Delta'$ qua $A(2;1;0)$, VTCP $\vec{v}=(3;0;2)$:
$$\begin{cases} x = 2 + 3s \\ y = 1 \\ z = 2s \end{cases}$$
Luyện tập 2: Đọc điểm, VTCP và viết phương trình
Đề: Cho $\Delta:\begin{cases}x=2+t\\ y=3t\\ z=1+t\end{cases}$
a) Chỉ ra hai điểm thuộc $\Delta$ và một vectơ chỉ phương.
Vectơ chỉ phương là hệ số của $t$: $\vec{u}=(1; 3; 1)$.
Chọn giá trị $t$ để lấy điểm:
- $t=0 \Rightarrow A(2; 0; 1)$
- $t=1 \Rightarrow B(3; 3; 2)$
b) Đường thẳng qua $O(0;0;0)$, VTCP $\vec{v}=(1; 3; 1)$:
$$\begin{cases} x = t \\ y = 3t \\ z = t \end{cases}$$
HĐ3: Hình thành phương trình chính tắc
Đường thẳng $\Delta$ qua $A(x_0; y_0; z_0)$, VTCP $\vec{u}=(a;b;c)$ với $a,b,c\neq 0$.
a) Điểm $M(x;y;z)\in\Delta$ khi và chỉ khi $\vec{AM}$ cùng phương với $\vec{u}$, tức tồn tại số $t$ sao cho $\vec{AM}=t\vec{u}$.
b) Khi đó $x-x_0=at,\ y-y_0=bt,\ z-z_0=ct$. Vì $a,b,c\neq 0$ nên:
$$\frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c}\;(=t)$$
Ba phân số này bằng nhau. Đó là phương trình chính tắc.
Ví dụ 3 (sách đã giải)
$\Delta:\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y}{3}=\dfrac{z+2}{1}$ viết lại thành $\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y-0}{3}=\dfrac{z-(-2)}{1}$.
Suy ra $A(1; 0; -2)\in\Delta$ và $\vec{u}=(2; 3; 1)$ là vectơ chỉ phương.
Luyện tập 3: Chỉ VTCP và hai điểm từ phương trình chính tắc
Đề: Cho $\Delta:\dfrac{x+1}{3}=\dfrac{y-1}{1}=\dfrac{z-2}{5}$. Hãy chỉ ra một vectơ chỉ phương và hai điểm thuộc $\Delta$.
Lời giải:
Viết lại: $\dfrac{x-(-1)}{3}=\dfrac{y-1}{1}=\dfrac{z-2}{5}$.
Vectơ chỉ phương lấy từ các mẫu số: $\vec{u}=(3; 1; 5)$.
Điểm thứ nhất chính là $A(-1; 1; 2)$.
Để tìm điểm thứ hai, đặt mỗi phân số bằng $t$ ta có dạng tham số $x=-1+3t,\ y=1+t,\ z=2+5t$. Cho $t=1$:
$$B(2; 2; 7)$$
Vậy $\vec{u}=(3;1;5)$, hai điểm thuộc $\Delta$ là $A(-1;1;2)$ và $B(2;2;7)$.
Ví dụ 4 (sách đã giải)
$\Delta$ qua $M(1; -2; 4)$, VTCP $\vec{u}=(3; -5; 1)$.
Phương trình tham số:
$$\begin{cases} x = 1 + 3t \\ y = -2 - 5t \\ z = 4 + t \end{cases}$$
Phương trình chính tắc:
$$\frac{x-1}{3}=\frac{y+2}{-5}=\frac{z-4}{1}$$
Mẹo nhỏ để nhớ: hệ số đứng cạnh $t$ (ở dạng tham số) hoặc mẫu số (ở dạng chính tắc) luôn là tọa độ vectơ chỉ phương, còn phần hằng số cho ta một điểm đi qua. Nắm chắc hai điều này là làm được hầu hết các bài.