Giải Toàn 12 - Tập Hai trang 46

🔍 Kiến thức cần nhớ

1. Phương trình đường thẳng đi qua điểm, có vectơ chỉ phương cho trước

• Đường thẳng Δ đi qua điểm M(x₀; y₀; z₀) và có vectơ chỉ phương u⃗ = (a; b; c):
• Phương trình tham số: x = x₀ + at, y = y₀ + bt, z = z₀ + ct (t ∈ ℝ)
• Phương trình chính tắc (khi a, b, c ≠ 0): (x - x₀)/a = (y - y₀)/b = (z - z₀)/c

2. Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm

• Đường thẳng A₁A₂ đi qua A₁(x₁; y₁; z₁) và A₂(x₂; y₂; z₂):
• Vectơ chỉ phương: A₁A₂⃗ = (x₂ - x₁; y₂ - y₁; z₂ - z₁)
• Phương trình tham số: x = x₁ + (x₂ - x₁)t, y = y₁ + (y₂ - y₁)t, z = z₁ + (z₂ - z₁)t

3. Điều kiện hai đường thẳng vuông góc

• Hai đường thẳng Δ₁, Δ₂ có vectơ chỉ phương u⃗₁ = (a₁; b₁; c₁), u⃗₂ = (a₂; b₂; c₂)
• Δ₁ ⊥ Δ₂ ⇔ u⃗₁ · u⃗₂ = 0 ⇔ a₁a₂ + b₁b₂ + c₁c₂ = 0

💡 Mẹo nhớ: Hai đường thẳng vuông góc khi tích vô hướng hai vectơ chỉ phương bằng 0.

---

⚙️ Bài tập

---

Luyện tập 4

Đề bài: Trong không gian Oxyz, viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng Δ đi qua điểm A(2; −1; 0) và có vectơ chỉ phương u⃗ = (−1; 2; 3).

Cách 1 — Áp dụng trực tiếp công thức

Bước 1: Xác định các yếu tố

• Điểm A(2; −1; 0) thuộc đường thẳng
• Vectơ chỉ phương u⃗ = (−1; 2; 3)

Bước 2: Viết phương trình tham số

Công thức: x = x₀ + at, y = y₀ + bt, z = z₀ + ct

Phương trình tham số:

• x = 2 + (−1)t = 2 − t
• y = −1 + 2t
• z = 0 + 3t = 3t

Hay:

$$\begin{cases} x = 2 - t \\ y = -1 + 2t \\ z = 3t \end{cases}$$ (t ∈ ℝ)

Bước 3: Viết phương trình chính tắc

Vì a = −1 ≠ 0, b = 2 ≠ 0, c = 3 ≠ 0, ta có phương trình chính tắc:

(x − 2)/(−1) = (y + 1)/2 = z/3

Cách 2 — Kiểm tra nhanh bằng thay điểm

Sau khi viết phương trình, kiểm tra:

• Thay t = 0: x = 2, y = −1, z = 0 → đúng là điểm A ✓
• Vectơ chỉ phương từ hệ số của t: (−1; 2; 3) = u⃗ ✓

Đáp số:

• Phương trình tham số: x = 2 − t, y = −1 + 2t, z = 3t (t ∈ ℝ)
• Phương trình chính tắc: (x − 2)/(−1) = (y + 1)/2 = z/3

---

Luyện tập 5

Đề bài: Trong không gian Oxyz, viết phương trình tham số của đường thẳng Δ đi qua điểm M(2; −1; 3) và vuông góc với mặt phẳng Oyz.

Cách 1 — Phân tích tính chất hình học

Bước 1: Xác định mặt phẳng Oyz

• Mặt phẳng Oyz có phương trình: x = 0
• Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng Oyz: n⃗ = (1; 0; 0)

Bước 2: Tìm vectơ chỉ phương của Δ

• Đường thẳng Δ vuông góc với mặt phẳng Oyz
• ⇒ Δ song song hoặc trùng với vectơ pháp tuyến của Oyz
• ⇒ Vectơ chỉ phương của Δ: u⃗ = n⃗ = (1; 0; 0)

Bước 3: Viết phương trình tham số

Δ đi qua M(2; −1; 3) với vectơ chỉ phương u⃗ = (1; 0; 0):

Phương trình tham số:

• x = 2 + t
• y = −1 + 0×t = −1
• z = 3 + 0×t = 3

Hay:

$$\begin{cases} x = 2 + t \\ y = -1 \\ z = 3 \end{cases}$$ (t ∈ ℝ)

Cách 2 — Nhận biết nhanh

Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng Oyz chính là đường thẳng song song với trục Ox.

• Trục Ox có vectơ chỉ phương i⃗ = (1; 0; 0)
• Đường thẳng song song Ox qua M(2; −1; 3) có y và z không đổi.

Đáp số: Phương trình tham số: x = 2 + t, y = −1, z = 3 (t ∈ ℝ)

⚠️ Lưu ý thi: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng tọa độ thì có vectơ chỉ phương là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng đó.

---

Luyện tập 6

Đề bài: Trong không gian Oxyz, viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A(2; 1; 3) và B(2; 4; 6).

Cách 1 — Công thức đường thẳng qua hai điểm

Bước 1: Tìm vectơ chỉ phương

AB⃗ = (2 − 2; 4 − 1; 6 − 3) = (0; 3; 3)

Có thể rút gọn: u⃗ = (0; 1; 1)

Bước 2: Viết phương trình tham số

Đường thẳng AB đi qua A(2; 1; 3) với vectơ chỉ phương u⃗ = (0; 1; 1):

Phương trình tham số:

• x = 2 + 0×t = 2
• y = 1 + t
• z = 3 + t

Hay:

$$\begin{cases} x = 2 \\ y = 1 + t \\ z = 3 + t \end{cases}$$ (t ∈ ℝ)

Bước 3: Viết phương trình chính tắc

Vì thành phần x của vectơ chỉ phương bằng 0, phương trình chính tắc có dạng:

x = 2, (y − 1)/1 = (z − 3)/1

Hay: x = 2, y − 1 = z − 3

Cách 2 — Kiểm tra nhanh

• Khi t = 0: (2; 1; 3) = A ✓
• Khi t = 3: (2; 1+3; 3+3) = (2; 4; 6) = B ✓

Đáp số:

• Phương trình tham số: x = 2, y = 1 + t, z = 3 + t (t ∈ ℝ)
• Phương trình chính tắc: x = 2, (y − 1)/1 = (z − 3)/1

💡 Mẹo nhớ: Khi một thành phần của vectơ chỉ phương bằng 0, tọa độ tương ứng không đổi (viết riêng).

---

Vận dụng 1

Đề bài: (H.5.27) Trong tình huống mở đầu hãy thực hiện các bước sau và trả lời câu hỏi đã được nêu ra.
a) Viết phương trình tham số của đường thẳng MN.
b) Tính tọa độ giao điểm D của đường thẳng MN với mặt phẳng Oxy.
c) Hỏi điểm D có nằm giữa hai điểm M và N hay không?

Ghi chú: Dựa vào hình 5.27, giả sử M và N là hai điểm đã cho trong tình huống mở đầu. Ta sẽ giải tổng quát.

Cách giải tổng quát (với M(x₁; y₁; z₁) và N(x₂; y₂; z₂))

Câu a) Viết phương trình tham số của đường thẳng MN

Bước 1: Tìm vectơ chỉ phương
MN⃗ = (x₂ − x₁; y₂ − y₁; z₂ − z₁)

Bước 2: Phương trình tham số đường thẳng MN:

• x = x₁ + (x₂ − x₁)t
• y = y₁ + (y₂ − y₁)t
• z = z₁ + (z₂ − z₁)t (t ∈ ℝ)

Câu b) Tính tọa độ giao điểm D với mặt phẳng Oxy

Bước 1: Mặt phẳng Oxy có phương trình: z = 0

Bước 2: Thay điều kiện z = 0 vào phương trình đường thẳng:

z₁ + (z₂ − z₁)t = 0
⇒ t = −z₁/(z₂ − z₁) = z₁/(z₁ − z₂)

Bước 3: Tính tọa độ D bằng cách thay t vào phương trình tham số.

Câu c) Xét vị trí điểm D

• Trên đường thẳng MN: M ứng với t = 0, N ứng với t = 1
• D nằm giữa M và N khi và chỉ khi 0 < t < 1
• Kiểm tra giá trị t tìm được ở câu b để kết luận.

Cách 2 — Dùng tỉ số chia đoạn thẳng

Nếu D chia MN theo tỉ số k = MD/DN:

• k > 0: D nằm giữa M và N
• k < 0: D nằm ngoài đoạn MN

⚠️ Lưu ý thi: Điểm D nằm giữa M, N ⇔ tham số t ∈ (0; 1) khi M ứng với t = 0 và N ứng với t = 1.

---

Luyện tập 7

Đề bài: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng Δ: (x − 1)/2 = y/1 = (z − 1)/(−1). Hỏi đường thẳng Δ có vuông góc với trục Oz hay không?

Cách 1 — Dùng tích vô hướng

Bước 1: Xác định vectơ chỉ phương của Δ

Từ phương trình chính tắc: (x − 1)/2 = y/1 = (z − 1)/(−1)

Vectơ chỉ phương của Δ: u⃗ = (2; 1; −1)

Bước 2: Xác định vectơ chỉ phương của trục Oz

Trục Oz có vectơ chỉ phương: k⃗ = (0; 0; 1)

Bước 3: Kiểm tra điều kiện vuông góc

u⃗ · k⃗ = 2×0 + 1×0 + (−1)×1 = 0 + 0 − 1 = −1 ≠ 0

Kết luận: Đường thẳng Δ không vuông góc với trục Oz.

Cách 2 — Nhận xét nhanh

Δ vuông góc với Oz ⇔ thành phần z của vectơ chỉ phương u⃗ bằng 0.

Ở đây, thành phần z của u⃗ = (2; 1; −1) là −1 ≠ 0.

⇒ Δ không vuông góc với Oz.

Đáp số: Đường thẳng Δ không vuông góc với trục Oz.

💡 Mẹo nhớ: Đường thẳng vuông góc với trục Oz ⇔ vectơ chỉ phương có dạng (a; b; 0).

---

Vận dụng 2

Đề bài: Tại một nút giao thông có hai con đường. Trên thiết kế, trong không gian Oxyz, hai con đường đó tương ứng thuộc hai đường thẳng:

Δ₁: x = 2 + t, y = 1 + t, z = 0

Δ₂: x = 1 − 2s, y = 2s, z = 1

Hỏi hai con đường trên có vuông góc với nhau hay không?

Cách 1 — Dùng tích vô hướng hai vectơ chỉ phương

Bước 1: Xác định vectơ chỉ phương của mỗi đường thẳng

Từ Δ₁: x = 2 + t, y = 1 + t, z = 0

• Vectơ chỉ phương: u⃗₁ = (1; 1; 0)

Từ Δ₂: x = 1 − 2s, y = 2s, z = 1

• Vectơ chỉ phương: u⃗₂ = (−2; 2; 0)

Bước 2: Tính tích vô hướng

u⃗₁ · u⃗₂ = 1×(−2) + 1×2 + 0×0 = −2 + 2 + 0 = 0

Bước 3: Kết luận

Vì u⃗₁ · u⃗₂ = 0 nên Δ₁ ⊥ Δ₂.

Đáp số: Hai con đường vuông góc với nhau.

Cách 2 — Rút gọn vectơ chỉ phương

u⃗₂ = (−2; 2; 0) có thể viết thành u⃗₂ = 2(−1; 1; 0)

Kiểm tra: u⃗₁ · (−1; 1; 0) = 1×(−1) + 1×1 + 0×0 = 0 ✓

Đáp số: Hai con đường vuông góc với nhau.

⚠️ Lưu ý thi: Hai đường thẳng vuông góc không nhất thiết phải cắt nhau. Chúng có thể chéo nhau nhưng vẫn vuông góc (góc giữa hai đường thẳng bằng 90°).

---

🎯 Ghi nhớ

1. Phương trình tham số đường thẳng qua M₀(x₀; y₀; z₀) với vectơ chỉ phương u⃗ = (a; b; c):

• x = x₀ + at, y = y₀ + bt, z = z₀ + ct

1. Phương trình đường thẳng qua hai điểm: Tìm vectơ chỉ phương từ hiệu tọa độ hai điểm.

1. Điều kiện vuông góc: Δ₁ ⊥ Δ₂ ⇔ a₁a₂ + b₁b₂ + c₁c₂ = 0

1. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng tọa độ: Có vectơ chỉ phương là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng đó.

1. Điểm nằm giữa hai điểm trên đường thẳng: Kiểm tra tham số t ∈ (0; 1).