Giải Toàn 12 - Tập Hai trang 48

🔍 Kiến thức cần nhớ

Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng trong không gian Oxyz

Cho hai đường thẳng Δ₁, Δ₂ lần lượt đi qua các điểm A₁(x₁; y₁; z₁), A₂(x₂; y₂; z₂) và có vectơ chỉ phương tương ứng là u₁ = (a₁; b₁; c₁), u₂ = (a₂; b₂; c₂).

Các vị trí tương đối:

💡 Mẹo nhớ: - Tích hỗn hợp A₁A₂ · [u₁, u₂] = 0 → hai đường thẳng đồng phẳng (song song, trùng, hoặc cắt) - Tích hỗn hợp ≠ 0 → hai đường thẳng chéo nhau

---

⚙️ Bài tập

---

Luyện tập 8

Đề bài: Trong không gian Oxyz, chứng minh rằng hai đường thẳng sau song song với nhau:

Δ₁: (x - 3)/1 = y/(-2) = (z - 1)/3

Δ₂: (x - 1)/1 = (y - 2)/(-2) = z/3

---

Cách 1 — Phương pháp dùng vectơ chỉ phương và kiểm tra điểm

Bước 1: Xác định vectơ chỉ phương và điểm thuộc mỗi đường thẳng

• Đường thẳng Δ₁ đi qua điểm A₁(3; 0; 1) và có vectơ chỉ phương u₁ = (1; -2; 3)
• Đường thẳng Δ₂ đi qua điểm A₂(1; 2; 0) và có vectơ chỉ phương u₂ = (1; -2; 3)

Bước 2: Kiểm tra hai vectơ chỉ phương có cùng phương không

Ta có: u₁ = (1; -2; 3) và u₂ = (1; -2; 3)

Nhận thấy u₁ = u₂, nên hai vectơ cùng phương.

→ Hai đường thẳng Δ₁ và Δ₂ song song hoặc trùng nhau.

Bước 3: Kiểm tra A₂ có thuộc Δ₁ không

Thay tọa độ A₂(1; 2; 0) vào phương trình Δ₁:

• (x - 3)/1 = (1 - 3)/1 = -2
• y/(-2) = 2/(-2) = -1
• (z - 1)/3 = (0 - 1)/3 = -1/3

Ta có: -2 ≠ -1 ≠ -1/3

→ A₂ ∉ Δ₁

Kết luận: Vì u₁ cùng phương với u₂ và A₂ ∉ Δ₁ nên Δ₁ // Δ₂.

---

Cách 2 — Phương pháp dùng tích có hướng

Bước 1: Tính tích có hướng [u₁, u₂]

u₁ = (1; -2; 3), u₂ = (1; -2; 3)

[u₁, u₂] = ((-2)×3 - 3×(-2); 3×1 - 1×3; 1×(-2) - (-2)×1)

= (-6 + 6; 3 - 3; -2 + 2)
= (0; 0; 0) = 0

→ u₁ và u₂ cùng phương.

Bước 2: Kiểm tra hai đường thẳng có trùng nhau không

Tính A₁A₂ = A₂ - A₁ = (1 - 3; 2 - 0; 0 - 1) = (-2; 2; -1)

Kiểm tra A₁A₂ có cùng phương với u₁ = (1; -2; 3) không:

(-2)/1 = -2
2/(-2) = -1
(-1)/3 = -1/3

Ta có: -2 ≠ -1 ≠ -1/3

→ A₁A₂ không cùng phương với u₁

→ A₂ ∉ Δ₁

Kết luận: Hai đường thẳng Δ₁ // Δ₂.

---

Luyện tập 9

Đề bài: Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng:

Δ₁: (x - 1)/1 = (y + 2)/1 = (z - 3)/4

Δ₂: (x + 1)/1 = (y + 1)/1 = z/4

Chứng minh rằng:

a) Hai đường thẳng Δ₁ và Δ₂ song song với nhau;

b) Đường thẳng Δ₁ và trục Ox chéo nhau;

c) Đường thẳng Δ₂ trùng với đường thẳng Δ₃: (x + 2)/1 = (y + 2)/1 = (z + 4)/4;

d) Đường thẳng Δ₂ cắt trục Oz.

---

Câu a) Hai đường thẳng Δ₁ và Δ₂ song song với nhau

Cách 1 — Phương pháp cơ bản

Bước 1: Xác định các yếu tố của hai đường thẳng

• Δ₁ đi qua A₁(1; -2; 3) và có vectơ chỉ phương u₁ = (1; 1; 4)
• Δ₂ đi qua A₂(-1; -1; 0) và có vectơ chỉ phương u₂ = (1; 1; 4)

Bước 2: Kiểm tra cùng phương

Ta có u₁ = u₂ = (1; 1; 4) → Hai vectơ cùng phương.

Bước 3: Kiểm tra A₂ có thuộc Δ₁ không

Thay A₂(-1; -1; 0) vào Δ₁:

• (x - 1)/1 = (-1 - 1)/1 = -2
• (y + 2)/1 = (-1 + 2)/1 = 1
• (z - 3)/4 = (0 - 3)/4 = -3/4

Ta có: -2 ≠ 1 ≠ -3/4

→ A₂ ∉ Δ₁

Kết luận: Δ₁ // Δ₂.

Cách 2 — Dùng tích có hướng

[u₁, u₂] = 0 (vì u₁ = u₂)

A₁A₂ = (-1 - 1; -1 - (-2); 0 - 3) = (-2; 1; -3)

Kiểm tra: (-2)/1 ≠ 1/1 → A₁A₂ không cùng phương với u₁

Kết luận: Δ₁ // Δ₂.

---

Câu b) Đường thẳng Δ₁ và trục Ox chéo nhau

Cách 1 — Dùng tích hỗn hợp

Bước 1: Xác định các yếu tố

• Δ₁ đi qua A₁(1; -2; 3), vectơ chỉ phương u₁ = (1; 1; 4)
• Trục Ox đi qua O(0; 0; 0), vectơ chỉ phương i = (1; 0; 0)

Bước 2: Tính tích có hướng

[u₁, i] = |i j k |

|1 1 4 |

|1 0 0 |

[u₁, i] = (1×0 - 4×0; 4×1 - 1×0; 1×0 - 1×1)
= (0; 4; -1)

→ [u₁, i] ≠ 0 nên u₁ và i không cùng phương.

Bước 3: Tính tích hỗn hợp

A₁O = O - A₁ = (0 - 1; 0 - (-2); 0 - 3) = (-1; 2; -3)

A₁O · [u₁, i] = (-1)×0 + 2×4 + (-3)×(-1)

= 0 + 8 + 3 = 11 ≠ 0

Kết luận: Vì tích hỗn hợp ≠ 0 nên Δ₁ và trục Ox chéo nhau.

Cách 2 — Lập hệ phương trình

Phương trình tham số của Δ₁:

• x = 1 + t
• y = -2 + t
• z = 3 + 4t

Phương trình trục Ox:

• x = s
• y = 0
• z = 0

Hệ phương trình tìm giao điểm:

• 1 + t = s
• -2 + t = 0 → t = 2
• 3 + 4t = 0 → t = -3/4

Từ phương trình 2: t = 2
Từ phương trình 3: t = -3/4

Mâu thuẫn! Hệ vô nghiệm.

Vì u₁ = (1; 1; 4) và i = (1; 0; 0) không cùng phương, hệ vô nghiệm → Δ₁ và Ox chéo nhau.

---

Câu c) Đường thẳng Δ₂ trùng với đường thẳng Δ₃

Cách 1 — Kiểm tra vectơ chỉ phương và điểm

Bước 1: Xác định các yếu tố

• Δ₂ đi qua A₂(-1; -1; 0), vectơ chỉ phương u₂ = (1; 1; 4)
• Δ₃: (x + 2)/1 = (y + 2)/1 = (z + 4)/4 đi qua A₃(-2; -2; -4), vectơ chỉ phương u₃ = (1; 1; 4)

Bước 2: Kiểm tra cùng phương

u₂ = u₃ = (1; 1; 4) → Cùng phương ✓

Bước 3: Kiểm tra A₃ có thuộc Δ₂ không

Thay A₃(-2; -2; -4) vào Δ₂: (x + 1)/1 = (y + 1)/1 = z/4

• (x + 1)/1 = (-2 + 1)/1 = -1
• (y + 1)/1 = (-2 + 1)/1 = -1
• z/4 = (-4)/4 = -1

Ta có: -1 = -1 = -1 ✓

→ A₃ ∈ Δ₂

Kết luận: Δ₂ ≡ Δ₃ (trùng nhau).

Cách 2 — Biến đổi phương trình

Từ Δ₃: (x + 2)/1 = (y + 2)/1 = (z + 4)/4 = k

→ x = k - 2, y = k - 2, z = 4k - 4

Đặt k' = k - 1:

→ x = k' - 1, y = k' - 1, z = 4k'

Viết lại: (x + 1)/1 = (y + 1)/1 = z/4

Đây chính là phương trình của Δ₂.

Kết luận: Δ₂ ≡ Δ₃.

---

Câu d) Đường thẳng Δ₂ cắt trục Oz

Cách 1 — Tìm giao điểm trực tiếp

Bước 1: Viết phương trình tham số

Δ₂:

• x = -1 + t
• y = -1 + t
• z = 4t

Trục Oz:

• x = 0
• y = 0
• z = s (s ∈ ℝ)

Bước 2: Tìm giao điểm

Điểm thuộc cả hai đường thẳng thỏa mãn:

• -1 + t = 0 → t = 1
• -1 + t = 0 → t = 1 ✓
• z = 4t = 4×1 = 4

Với t = 1, điểm thuộc Δ₂ là M(0; 0; 4).

Kiểm tra: M(0; 0; 4) thuộc trục Oz (vì x = y = 0) ✓

Kết luận: Δ₂ cắt trục Oz tại điểm M(0; 0; 4).

Cách 2 — Dùng tích hỗn hợp

u₂ = (1; 1; 4), k = (0; 0; 1) (vectơ chỉ phương của Oz)

[u₂, k] = (1×1 - 4×0; 4×0 - 1×1; 1×0 - 1×0) = (1; -1; 0) ≠ 0

→ Hai đường thẳng không song song.

A₂O = (0 - (-1); 0 - (-1); 0 - 0) = (1; 1; 0)

A₂O · [u₂, k] = 1×1 + 1×(-1) + 0×0 = 1 - 1 = 0

Vì [u₂, k] ≠ 0 và tích hỗn hợp = 0 → Δ₂ cắt Oz.

---

🎯 Ghi nhớ: - Hai đường thẳng song song ⟺ vectơ chỉ phương cùng phương + không có điểm chung - Hai đường thẳng cắt nhau ⟺ [u₁, u₂] ≠ 0 và tích hỗn hợp = 0 - Hai đường thẳng chéo nhau ⟺ tích hỗn hợp ≠ 0 - Tích hỗn hợp: A₁A₂ · [u₁, u₂] là công cụ quan trọng để xét vị trí tương đối

⚠️ Lưu ý thi: Dạng bài xét vị trí tương đối hai đường thẳng thường xuất hiện trong đề thi. Cần nhớ công thức tích hỗn hợp và các điều kiện tương ứng với từng vị trí.