Giải Toàn 12 - Tập Hai trang 50

🔍 Kiến thức cần nhớ

1. Phương trình tham số của đường thẳng qua điểm M₀(x₀; y₀; z₀) có vectơ chỉ phương u⃗ = (a; b; c):

• x = x₀ + at
• y = y₀ + bt
• z = z₀ + ct

2. Phương trình chính tắc: (x - x₀)/a = (y - y₀)/b = (z - z₀)/c (với a, b, c ≠ 0)

3. Vị trí tương đối của hai đường thẳng:

• Cắt nhau: có điểm chung duy nhất
• Song song: không có điểm chung, cùng phương
• Chéo nhau: không cùng phương, không có điểm chung
• Trùng nhau: vô số điểm chung

4. Điều kiện hai đường thẳng cắt nhau: u⃗₁ và u⃗₂ không cùng phương, và hệ phương trình hoành độ giao điểm có nghiệm.

---

⚙️ Bài tập

---

Luyện tập 10

Đề bài: Trong không gian Oxyz, xét vị trí tương đối giữa hai đường thẳng:

• Δ₁: x = 1 + 2t, y = 3 + t, z = 1 - t
• Δ₂: x = s, y = 1 + 2s, z = 3s

Cách 1 — Phương pháp hệ phương trình

Bước 1: Xác định vectơ chỉ phương

• Δ₁ có vectơ chỉ phương u⃗₁ = (2; 1; -1)
• Δ₂ có vectơ chỉ phương u⃗₂ = (1; 2; 3)

Bước 2: Kiểm tra tính cùng phương

• u⃗₁ và u⃗₂ cùng phương ⟺ 2/1 = 1/2 = -1/3
• Ta có: 2/1 = 2 ≠ 1/2

⟹ u⃗₁ và u⃗₂ không cùng phương ⟹ Δ₁ và Δ₂ cắt nhau hoặc chéo nhau.

Bước 3: Giải hệ tìm giao điểm

Cho hai đường thẳng cắt nhau:

• 1 + 2t = s ... (1)
• 3 + t = 1 + 2s ... (2)
• 1 - t = 3s ... (3)

Từ (1): s = 1 + 2t

Thay vào (2): 3 + t = 1 + 2(1 + 2t) = 1 + 2 + 4t = 3 + 4t

⟹ 3 + t = 3 + 4t ⟹ t = 0

Khi t = 0: s = 1 + 2(0) = 1

Bước 4: Kiểm tra với phương trình (3)

• Vế trái: 1 - 0 = 1
• Vế phải: 3(1) = 3
• 1 ≠ 3 ⟹ Hệ vô nghiệm

Kết luận: Δ₁ và Δ₂ chéo nhau.

Cách 2 — Dùng tích hỗn hợp

Lấy điểm M₁(1; 3; 1) ∈ Δ₁ và M₂(0; 1; 0) ∈ Δ₂

Vectơ M₁M₂⃗ = (-1; -2; -1)

Tích hỗn hợp: [u⃗₁, u⃗₂, M₁M₂⃗] = |2 1 -1|

|1 2 3|

|-1 -2 -1|

= 2(2×(-1) - 3×(-2)) - 1(1×(-1) - 3×(-1)) + (-1)(1×(-2) - 2×(-1))

= 2(-2 + 6) - 1(-1 + 3) + (-1)(-2 + 2)

= 2(4) - 1(2) + (-1)(0)

= 8 - 2 + 0 = 6 ≠ 0

Kết luận: Δ₁ và Δ₂ chéo nhau.

💡 Mẹo nhớ: Nếu tích hỗn hợp [u⃗₁, u⃗₂, M₁M₂⃗] ≠ 0 thì hai đường thẳng chéo nhau.

---

Vận dụng 3

Đề bài: Trong không gian Oxyz, có hai vật thể lần lượt xuất phát từ A(1; 2; 0) và B(3; 5; 0) với vận tốc không đổi tương ứng là v⃗₁ = (2; 1; 3), v⃗₂ = (1; 2; 1). Hỏi trong quá trình chuyển động, hai vật thể trên có va chạm vào nhau hay không?

Cách 1 — Phương pháp tham số thời gian

Bước 1: Viết phương trình quỹ đạo theo thời gian t

Vật thể 1 từ A(1; 2; 0) với v⃗₁ = (2; 1; 3):

• x₁ = 1 + 2t
• y₁ = 2 + t
• z₁ = 3t

Vật thể 2 từ B(3; 5; 0) với v⃗₂ = (1; 2; 1):

• x₂ = 3 + t
• y₂ = 5 + 2t
• z₂ = t

Bước 2: Điều kiện va chạm - Cùng vị trí tại cùng thời điểm

Hệ phương trình:

• 1 + 2t = 3 + t ⟹ t = 2 ... (1)
• 2 + t = 5 + 2t ⟹ -t = 3 ⟹ t = -3 ... (2)
• 3t = t ⟹ 2t = 0 ⟹ t = 0 ... (3)

Từ (1), (2), (3) ta có: t = 2, t = -3, t = 0 (không đồng nhất)

Kết luận: Hai vật thể KHÔNG va chạm vào nhau.

Cách 2 — Kiểm tra giao điểm quỹ đạo

Quỹ đạo vật 1: (x-1)/2 = (y-2)/1 = z/3 (đường thẳng Δ₁)

Quỹ đạo vật 2: (x-3)/1 = (y-5)/2 = z/1 (đường thẳng Δ₂)

Kiểm tra xem Δ₁ và Δ₂ có cắt nhau không, nếu cắt thì kiểm tra thời điểm.

Từ cách 1 đã thấy ngay cả khi hai quỹ đạo có giao điểm, hai vật không đến đó cùng lúc.

Kết luận: Hai vật thể KHÔNG va chạm.

⚠️ Lưu ý thi: Bài toán va chạm yêu cầu cùng vị trí và cùng thời điểm (dùng chung tham số t), khác với bài toán hai đường thẳng cắt nhau (dùng tham số riêng).

---

Bài 5.11

Đề bài: Trong không gian Oxyz, viết các phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng Δ đi qua A(1; 1; 2) và song song với đường thẳng d: (x-3)/2 = (y-1)/1 = (z+5)/3.

Cách 1 — Phương pháp cơ bản

Bước 1: Xác định vectơ chỉ phương

Đường thẳng d có vectơ chỉ phương u⃗_d = (2; 1; 3)

Vì Δ // d nên Δ có vectơ chỉ phương u⃗ = u⃗_d = (2; 1; 3)

Bước 2: Viết phương trình tham số

Δ qua A(1; 1; 2) với u⃗ = (2; 1; 3):

Phương trình tham số:

• x = 1 + 2t
• y = 1 + t
• z = 2 + 3t

Bước 3: Viết phương trình chính tắc

Phương trình chính tắc: (x - 1)/2 = (y - 1)/1 = (z - 2)/3

Cách 2 — Viết trực tiếp từ công thức

Đường thẳng song song với d có cùng vectơ chỉ phương (2; 1; 3).

Áp dụng công thức đường thẳng qua M(x₀; y₀; z₀) với vectơ chỉ phương (a; b; c):

Phương trình chính tắc: (x - 1)/2 = (y - 1)/1 = (z - 2)/3

Phương trình tham số: x = 1 + 2t, y = 1 + t, z = 2 + 3t

💡 Mẹo nhớ: Đường thẳng song song thì cùng vectơ chỉ phương.

---

Bài 5.12

Đề bài: Trong không gian Oxyz, viết các phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng Δ đi qua A(2; -1; 4) và vuông góc với mặt phẳng (P): x + 3y - z - 1 = 0.

Cách 1 — Phương pháp cơ bản

Bước 1: Xác định vectơ chỉ phương

Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến n⃗ = (1; 3; -1)

Vì Δ ⊥ (P) nên vectơ chỉ phương của Δ là u⃗ = n⃗ = (1; 3; -1)

Bước 2: Viết phương trình tham số

Δ qua A(2; -1; 4) với u⃗ = (1; 3; -1):

Phương trình tham số:

• x = 2 + t
• y = -1 + 3t
• z = 4 - t

Bước 3: Viết phương trình chính tắc

Phương trình chính tắc: (x - 2)/1 = (y + 1)/3 = (z - 4)/(-1)

Hay: x - 2 = (y + 1)/3 = -(z - 4)

Cách 2 — Nhận xét nhanh

Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng ⟹ song song với vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.

Vectơ pháp tuyến (P) là (1; 3; -1) chính là vectơ chỉ phương của Δ.

Đáp án:

• PT tham số: x = 2 + t, y = -1 + 3t, z = 4 - t
• PT chính tắc: (x - 2)/1 = (y + 1)/3 = (z - 4)/(-1)

💡 Mẹo nhớ: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng ⟹ Vectơ chỉ phương = Vectơ pháp tuyến.

---

Bài 5.13

Đề bài: Trong không gian Oxyz, viết các phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng Δ đi qua hai điểm A(2; 3; -1) và B(1; -2; 4).

Cách 1 — Phương pháp cơ bản

Bước 1: Tìm vectơ chỉ phương

AB⃗ = (1-2; -2-3; 4-(-1)) = (-1; -5; 5)

Có thể lấy u⃗ = AB⃗ = (-1; -5; 5) hoặc u⃗ = (1; 5; -5)

Bước 2: Viết phương trình tham số (qua A)

Phương trình tham số:

• x = 2 - t
• y = 3 - 5t
• z = -1 + 5t

Bước 3: Viết phương trình chính tắc

Phương trình chính tắc: (x - 2)/(-1) = (y - 3)/(-5) = (z + 1)/5

Hay: (x - 2)/1 = (y - 3)/5 = (z + 1)/(-5)

Cách 2 — Dùng điểm B làm gốc

Qua B(1; -2; 4) với u⃗ = (1; 5; -5):

Phương trình tham số:

• x = 1 + t
• y = -2 + 5t
• z = 4 - 5t

Phương trình chính tắc: (x - 1)/1 = (y + 2)/5 = (z - 4)/(-5)

⚠️ Lưu ý thi: Hai cách viết khác nhau nhưng cùng một đường thẳng. Đề thi thường chấp nhận cả hai.

---

Bài 5.14

Đề bài: Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng:

• Δ₁: x = 1 + 2t, y = 3 - t, z = 2 + 3t
• Δ₂: (x - 8)/(-1) = (y + 2)/1 = (z - 2)/2

a) Chứng minh rằng Δ₁ và Δ₂ cắt nhau.
b) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa Δ₁ và Δ₂.

Câu a) Chứng minh Δ₁ và Δ₂ cắt nhau

Cách 1 — Giải hệ phương trình

Bước 1: Viết phương trình tham số của Δ₂

Δ₂: x = 8 - s, y = -2 + s, z = 2 + 2s

Bước 2: Xác định vectơ chỉ phương

• u⃗₁ = (2; -1; 3)
• u⃗₂ = (-1; 1; 2)

Kiểm tra: 2/(-1) ≠ (-1)/1 ⟹ u⃗₁ và u⃗₂ không cùng phương.

Bước 3: Giải hệ tìm giao điểm

• 1 + 2t = 8 - s ⟹ 2t + s = 7 ... (1)
• 3 - t = -2 + s ⟹ -t - s = -5 ⟹ t + s = 5 ... (2)
• 2 + 3t = 2 + 2s ⟹ 3t = 2s ⟹ 3t - 2s = 0 ... (3)

Từ (1) và (2): 2t + s = 7 và t + s = 5
⟹ t = 2, s = 3

Kiểm tra với (3): 3(2) - 2(3) = 6 - 6 = 0 ✓

Kết luận: Hệ có nghiệm (t = 2, s = 3) ⟹ Δ₁ và Δ₂ cắt nhau.

Giao điểm: I(1 + 2×2; 3 - 2; 2 + 3×2) = I(5; 1; 8)

Cách 2 — Dùng tích hỗn hợp

M₁(1; 3; 2) ∈ Δ₁, M₂(8; -2; 2) ∈ Δ₂

M₁M₂⃗ = (7; -5; 0)

[u⃗₁, u⃗₂, M₁M₂⃗] = |2 -1 3|

|-1 1 2|

|7 -5 0|

= 2(1×0 - 2×(-5)) - (-1)((-1)×0 - 2×7) + 3((-1)×(-5) - 1×7)

= 2(0 + 10) + 1(0 - 14) + 3(5 - 7)

= 20 - 14 - 6 = 0

Vì tích hỗn hợp = 0 và u⃗₁, u⃗₂ không cùng phương ⟹ Δ₁ và Δ₂ cắt nhau.

Câu b) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa Δ₁ và Δ₂

Bước 1: Tìm vectơ pháp tuyến

n⃗ = [u⃗₁, u⃗₂] = |i⃗ j⃗ k⃗|

|2 -1 3|

|-1 1 2|

n⃗ = i⃗((-1)×2 - 3×1) - j⃗(2×2 - 3×(-1)) + k⃗(2×1 - (-1)×(-1))

n⃗ = i⃗(-2 - 3) - j⃗(4 + 3) + k⃗(2 - 1)
n⃗ = (-5; -7; 1)

Bước 2: Viết phương trình mặt phẳng

(P) qua M₁(1; 3; 2) với n⃗ = (-5; -7; 1):

-5(x - 1) - 7(y - 3) + 1(z - 2) = 0

-5x + 5 - 7y + 21 + z - 2 = 0

-5x - 7y + z + 24 = 0

Phương trình (P): 5x + 7y - z - 24 = 0

💡 Mẹo nhớ: Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt nhau = tích có hướng của hai vectơ chỉ phương.

---

Bài 5.15

Đề bài: Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng:

• Δ₁: (x - 1)/3 = (y - 3)/1 = (z - 2)/2
• Δ₂: (x - 1)/3 = (x + 1)/1 = z/2

a) Chứng minh rằng Δ₁ và Δ₂ song song với nhau.
b) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa Δ₁ và Δ₂.

Câu a) Chứng minh Δ₁ // Δ₂

Cách 1 — Kiểm tra điều kiện song song

Bước 1: Xác định vectơ chỉ phương

• Δ₁ có u⃗₁ = (3; 1; 2), qua M₁(1; 3; 2)
• Δ₂ có u⃗₂ = (3; 1; 2), qua M₂(1; -1; 0)

Bước 2: Kiểm tra cùng phương

u⃗₁ = u⃗₂ = (3; 1; 2) ⟹ u⃗₁ và u⃗₂ cùng phương.

Bước 3: Kiểm tra M₁ có thuộc Δ₂ không

Thay M₁(1; 3; 2) vào Δ₂:

(1 - 1)/3 = (3 + 1)/1 = 2/2
0/3 = 4/1 = 1
0 ≠ 4 ⟹ M₁ ∉ Δ₂

Kết luận: Δ₁ và Δ₂ song song với nhau.

Cách 2 — Kiểm tra nhanh

u⃗₁ = u⃗₂ (cùng phương) và hai đường thẳng đi qua hai điểm khác nhau M₁(1; 3; 2) và M₂(1; -1; 0).

M₁M₂⃗ = (0; -4; -2)

Kiểm tra u⃗₁ và M₁M₂⃗ có cùng phương không:
3/0 không xác định, nghĩa là không cùng phương.

⟹ Δ₁ và Δ₂ song song.

Câu b) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa Δ₁ và Δ₂

Bước 1: Tìm vectơ pháp tuyến

M₁M₂⃗ = (0; -4; -2)

n⃗ = [u⃗₁, M₁M₂⃗] = |i⃗ j⃗ k⃗|

|3 1 2|

|0 -4 -2|

n⃗ = i⃗(1×(-2) - 2×(-4)) - j⃗(3×(-2) - 2×0) + k⃗(3×(-4) - 1×0)

n⃗ = i⃗(-2 + 8) - j⃗(-6 - 0) + k⃗(-12 - 0)
n⃗ = (6; 6; -12)

Rút gọn: n⃗ = (1; 1; -2)

Bước 2: Viết phương trình mặt phẳng

(P) qua M₁(1; 3; 2) với n⃗ = (1; 1; -2):

1(x - 1) + 1(y - 3) - 2(z - 2) = 0

x - 1 + y - 3 - 2z + 4 = 0

Phương trình (P): x + y - 2z = 0

---

Bài 5.16

Đề bài: Trong không gian Oxyz, xác định vị trí tương đối giữa hai đường thẳng:

• Δ₁: x = -1 + t, y = 1, z = 3 + 2t
• Δ₂: x = -1 + 2s, y = 2 + s, z = 1 + 3s

Cách 1 — Phương pháp hệ phương trình

Bước 1: Xác định vectơ chỉ phương

• u⃗₁ = (1; 0; 2)
• u⃗₂ = (2; 1; 3)

Bước 2: Kiểm tra cùng phương

1/2 ≠ 0/1 ⟹ u⃗₁ và u⃗₂ không cùng phương.

⟹ Δ₁ và Δ₂ cắt nhau hoặc chéo nhau.

Bước 3: Giải hệ tìm giao điểm

• -1 + t = -1 + 2s ⟹ t = 2s ... (1)
• 1 = 2 + s ⟹ s = -1 ... (2)
• 3 + 2t = 1 + 3s ... (3)

Từ (2): s = -1
Thay vào (1): t = 2(-1) = -2

Kiểm tra với (3):

• Vế trái: 3 + 2(-2) = 3 - 4 = -1
• Vế phải: 1 + 3(-1) = 1 - 3 = -2
• -1 ≠ -2 ⟹ Vô nghiệm

Kết luận: Δ₁ và Δ₂ chéo nhau.

Cách 2 — Dùng tích hỗn hợp

M₁(-1; 1; 3) ∈ Δ₁, M₂(-1; 2; 1) ∈ Δ₂

M₁M₂⃗ = (0; 1; -2)

[u⃗₁, u⃗₂, M₁M₂⃗] = |1 0 2|

|2 1 3|

|0 1 -2|

= 1(1×(-2) - 3×1) - 0(2×(-2) - 3×0) + 2(2×1 - 1×0)

= 1(-2 - 3) - 0 + 2(2)

= -5 + 4 = -1 ≠ 0

Kết luận: Δ₁ và Δ₂ chéo nhau.

---

Bài 5.17

Đề bài: Tại một nút giao thông có hai con đường. Trên thiết kế, trong không gian Oxyz, hai con đường đó thuộc hai đường thẳng lần lượt có phương trình:

• Δ₁: (x - 1)/2 = y/(-1) = (z + 1)/3
• Δ₂: (x - 3)/(-1) = (y + 1)/1 = z/1

a) Hai con đường trên có vuông góc với nhau hay không?
b) Nút giao thông trên có phải là nút giao thông khác mức hay không?

Câu a) Kiểm tra vuông góc

Bước 1: Xác định vectơ chỉ phương

• u⃗₁ = (2; -1; 3)
• u⃗₂ = (-1; 1; 1)

Bước 2: Tính tích vô hướng

u⃗₁ · u⃗₂ = 2×(-1) + (-1)×1 + 3×1 = -2 - 1 + 3 = 0

Kết luận: u⃗₁ · u⃗₂ = 0 ⟹ u⃗₁ ⊥ u⃗₂ ⟹ Hai con đường vuông góc với nhau.

Câu b) Kiểm tra nút giao thông khác mức

Nút giao thông khác mức nghĩa là hai đường không giao nhau (chéo nhau).

Bước 1: Viết phương trình tham số

• Δ₁: x = 1 + 2t, y = -t, z = -1 + 3t
• Δ₂: x = 3 - s, y = -1 + s, z = s

Bước 2: Giải hệ

• 1 + 2t = 3 - s ⟹ 2t + s = 2 ... (1)
• -t = -1 +