Giải Toàn 12 - Tập Hai trang 52

Ghi chú nhỏ: ảnh gửi lên hiển thị số trang là 50 và 51 (Bài 16 – Công thức tính góc trong không gian). Mình sẽ giải đúng theo nội dung trong ảnh nhé.

Tóm tắt lý thuyết

Bài 16 giới thiệu ba loại góc trong không gian. Hai trang này tập trung vào hai loại đầu:

1. Góc giữa hai đường thẳng

Cho $\Delta$ có VTCP $\vec{u}=(a;b;c)$ và $\Delta'$ có VTCP $\vec{u'}=(a';b';c')$:

$$\cos(\Delta,\Delta') = \left|\cos(\vec{u},\vec{u'})\right| = \frac{|aa'+bb'+cc'|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}\cdot\sqrt{a'^2+b'^2+c'^2}}$$

1. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Cho $\Delta$ có VTCP $\vec{u}=(a;b;c)$ và $(P)$ có VTPT $\vec{n}=(A;B;C)$:

$$\sin(\Delta,(P)) = \left|\cos(\vec{u},\vec{n})\right| = \frac{|aA+bB+cC|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}\cdot\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$$

Điểm cốt lõi: góc giữa hai đường thẳng dùng cos của hai VTCP, còn góc giữa đường thẳng và mặt phẳng dùng sin (vì $\vec{n}$ vuông góc mặt phẳng nên phải lấy phần bù góc).

---

Bài toán mở đầu: Mái nhà nghiêng

Đề: Mái tròn đặt trên ba cột vuông góc mặt sàn, cao lần lượt 7 m, 6 m, 5 m. Ba chân cột tạo tam giác đều cạnh 4 m. Hỏi mái nghiêng với sàn một góc bao nhiêu?

Lưu ý: bài này thực chất cần công thức góc giữa hai mặt phẳng (phần 3, ở trang sau). Mình giải luôn cho trọn vẹn.

Chọn hệ tọa độ với sàn là mặt phẳng $Oxy$, tam giác đều cạnh 4:

• $A=(0;0;0)$, $C=(4;0;0)$, $B=(2;2\sqrt{3};0)$
• Đỉnh cột: $A'=(0;0;7)$, $B'=(2;2\sqrt{3};6)$, $C'=(4;0;5)$

Tìm VTPT của mặt mái $(A'B'C')$:
$$\vec{A'B'}=(2;2\sqrt{3};-1),\quad \vec{A'C'}=(4;0;-2)$$
$$\vec{n}=\vec{A'B'}\times\vec{A'C'}=(-4\sqrt{3};\,0;\,-8\sqrt{3})$$

Sàn có VTPT $\vec{k}=(0;0;1)$. Góc giữa hai mặt phẳng:
$$\cos\varphi = \frac{|\vec{n}\cdot\vec{k}|}{|\vec{n}|} = \frac{8\sqrt{3}}{\sqrt{48+192}} = \frac{8\sqrt{3}}{4\sqrt{15}} = \frac{2}{\sqrt{5}} \approx 0{,}8944$$

$$\varphi \approx 26{,}6^\circ$$

Mái nhà nghiêng với sàn khoảng $26{,}6^\circ$.

---

HĐ1: Quan hệ giữa góc hai đường thẳng và góc hai VTCP

a) Góc giữa hai đường thẳng $(\Delta,\Delta')$ luôn nằm trong $[0^\circ;90^\circ]$, còn góc giữa hai vectơ $(\vec{u},\vec{u'})$ nằm trong $[0^\circ;180^\circ]$. Khi đó:

• Nếu $(\vec{u},\vec{u'}) \le 90^\circ$ thì $(\Delta,\Delta') = (\vec{u},\vec{u'})$.
• Nếu $(\vec{u},\vec{u'}) > 90^\circ$ thì $(\Delta,\Delta') = 180^\circ - (\vec{u},\vec{u'})$.

b) Nhận xét: $\cos(\Delta,\Delta') = \left|\cos(\vec{u},\vec{u'})\right|$ (lấy giá trị tuyệt đối để cos không âm, đúng với góc trong $[0^\circ;90^\circ]$).

---

Ví dụ 1 (lời giải trong sách)

Hai đường thẳng có VTCP $\vec{u}=(1;1;0)$, $\vec{u'}=(2;2;1)$:
$$\cos(\Delta,\Delta')=\frac{|1\cdot2+1\cdot2+0\cdot1|}{\sqrt{1^2+1^2+0^2}\cdot\sqrt{2^2+2^2+1^2}}=\frac{4}{\sqrt{2}\cdot3}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$$
$$\Rightarrow (\Delta,\Delta')\approx 19{,}5^\circ$$

---

Luyện tập 1

Đề: Tính góc giữa trục $Oz$ và đường thẳng $\Delta:\dfrac{x-3}{1}=\dfrac{y+1}{2}=\dfrac{z-1}{-2}$.

Lời giải:

• Trục $Oz$ có VTCP $\vec{k}=(0;0;1)$.
• $\Delta$ có VTCP $\vec{u}=(1;2;-2)$.

$$\cos(Oz,\Delta)=\frac{|0\cdot1+0\cdot2+1\cdot(-2)|}{\sqrt{0^2+0^2+1^2}\cdot\sqrt{1^2+2^2+(-2)^2}}=\frac{2}{1\cdot3}=\frac{2}{3}$$

$$\Rightarrow (Oz,\Delta)\approx 48{,}2^\circ$$

---

HĐ2: Quan hệ giữa góc đường thẳng – mặt phẳng và góc VTCP – VTPT

Gọi $\Delta'$ là đường thẳng có hướng trùng VTPT $\vec{n}$ (tức $\Delta'$ vuông góc $(P)$).

a) Vì $\Delta'\perp(P)$ nên:

$$(\Delta,(P)) = 90^\circ - (\Delta,\Delta')$$

b) Nhận xét: do hai góc phụ nhau nên
$$\sin(\Delta,(P)) = \cos(\Delta,\Delta') = \left|\cos(\vec{u},\vec{n})\right|$$

---

Ví dụ 2 (lời giải trong sách)

Trục $Ox$ có VTCP $\vec{i}=(1;0;0)$; $(P):\sqrt{2}x-y+z+2=0$ có VTPT $\vec{n}=(\sqrt{2};-1;1)$:
$$\sin(Ox,(P))=\frac{|1\cdot\sqrt{2}+0\cdot(-1)+0\cdot1|}{\sqrt{1^2+0^2+0^2}\cdot\sqrt{(\sqrt{2})^2+(-1)^2+1^2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$$
$$\Rightarrow (Ox,(P))=45^\circ$$

---

Luyện tập 2

Đề: Tính góc giữa $\Delta:\dfrac{x+2}{-1}=\dfrac{y-4}{2}=\dfrac{z+1}{1}$ và $(P):x-y+z-1=0$.

Lời giải:

• $\Delta$ có VTCP $\vec{u}=(-1;2;1)$.
• $(P)$ có VTPT $\vec{n}=(1;-1;1)$.

$$\sin(\Delta,(P))=\frac{|(-1)\cdot1+2\cdot(-1)+1\cdot1|}{\sqrt{(-1)^2+2^2+1^2}\cdot\sqrt{1^2+(-1)^2+1^2}}=\frac{|-2|}{\sqrt{6}\cdot\sqrt{3}}=\frac{2}{\sqrt{18}}=\frac{\sqrt{2}}{3}$$

$$\sin(\Delta,(P))=\frac{\sqrt{2}}{3}\approx 0{,}4714 \Rightarrow (\Delta,(P))\approx 28{,}1^\circ$$

---

Mẹo ghi nhớ: hễ thấy "hai đường thẳng" thì dùng cos của hai VTCP; thấy "đường thẳng và mặt phẳng" thì kết quả là sin nhưng vẫn tính bằng công thức cos của VTCP với VTPT. Luôn lấy trị tuyệt đối ở tử số để góc thu được không vượt quá $90^\circ$.