Giải Toàn 12 - Tập Hai trang 54

🔍 Kiến thức cần nhớ

Công thức tính góc giữa hai mặt phẳng

Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P) và (Q) có các vectơ pháp tuyến tương ứng là:

• n⃗ = (A; B; C)
• n⃗' = (A'; B'; C')

Công thức:

cos((P), (Q)) = |cos(n⃗, n⃗')| = |A×A' + B×B' + C×C'| / (√(A² + B² + C²) × √(A'² + B'² + C'²))

💡 Mẹo nhớ: Góc giữa hai mặt phẳng bằng góc giữa hai vectơ pháp tuyến (hoặc góc bù của nó), nên ta lấy trị tuyệt đối của tích vô hướng.

⚠️ Lưu ý thi: Góc giữa hai mặt phẳng luôn nằm trong khoảng [0°; 90°], nên cos luôn ≥ 0.

---

⚙️ Bài tập

---

Luyện tập 3

Đề bài: Trong không gian Oxyz, tính góc giữa hai mặt phẳng (P): x − √2y + z − 2 = 0 và (Oxz): y = 0.

Cách 1 — Phương pháp cơ bản (dùng công thức)

Bước 1: Xác định vectơ pháp tuyến của mỗi mặt phẳng

• Mặt phẳng (P): x − √2y + z − 2 = 0 có vectơ pháp tuyến n⃗ = (1; −√2; 1)
• Mặt phẳng (Oxz): y = 0 có vectơ pháp tuyến n⃗' = (0; 1; 0)

Bước 2: Áp dụng công thức

cos((P), (Oxz)) = |n⃗ · n⃗'| / (|n⃗| × |n⃗'|)

Bước 3: Tính tích vô hướng

n⃗ · n⃗' = 1×0 + (−√2)×1 + 1×0 = −√2

|n⃗ · n⃗'| = √2

Bước 4: Tính độ dài các vectơ

|n⃗| = √(1² + (−√2)² + 1²) = √(1 + 2 + 1) = √4 = 2

|n⃗'| = √(0² + 1² + 0²) = 1

Bước 5: Tính cos góc

cos((P), (Oxz)) = √2 / (2 × 1) = √2/2

Bước 6: Suy ra góc

((P), (Oxz)) = 45°

Cách 2 — Phương pháp nhận dạng nhanh

Nhận thấy (Oxz) là mặt phẳng tọa độ có phương trình y = 0, vectơ pháp tuyến là j⃗ = (0; 1; 0).

Góc giữa (P) và (Oxz) chính là góc giữa n⃗ = (1; −√2; 1) và j⃗.

cos φ = |−√2| / √4 = √2/2 ⟹ φ = 45°

Đáp số: Góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Oxz) bằng 45°.

---

Bài 5.20

Đề bài: Trong không gian Oxyz, tính góc giữa hai đường thẳng:

Δ₁: x = 1 + 2t, y = 1 − t, z = 2 + 3t

Δ₂: (x − 2)/(−1) = (x + 1)/1 = (z − 2)/2

Cách 1 — Phương pháp cơ bản

Bước 1: Xác định vectơ chỉ phương của mỗi đường thẳng

• Đường thẳng Δ₁ có vectơ chỉ phương u⃗₁ = (2; −1; 3)
• Đường thẳng Δ₂ có vectơ chỉ phương u⃗₂ = (−1; 1; 2)

Bước 2: Áp dụng công thức góc giữa hai đường thẳng

cos(Δ₁, Δ₂) = |u⃗₁ · u⃗₂| / (|u⃗₁| × |u⃗₂|)

Bước 3: Tính tích vô hướng

u⃗₁ · u⃗₂ = 2×(−1) + (−1)×1 + 3×2 = −2 − 1 + 6 = 3

Bước 4: Tính độ dài các vectơ

|u⃗₁| = √(2² + (−1)² + 3²) = √(4 + 1 + 9) = √14

|u⃗₂| = √((−1)² + 1² + 2²) = √(1 + 1 + 4) = √6

Bước 5: Tính cos góc

cos(Δ₁, Δ₂) = |3| / (√14 × √6) = 3/√84 = 3/(2√21) = √21/14

Bước 6: Suy ra góc

(Δ₁, Δ₂) = arccos(√21/14) ≈ 70,9°

Cách 2 — Tính nhanh bằng máy tính

Nhập trực tiếp: cos⁻¹(3/√84) ≈ 70°53' ≈ 70,9°

Đáp số: Góc giữa hai đường thẳng Δ₁ và Δ₂ xấp xỉ 70,9° (hoặc arccos(√21/14)).

---

Bài 5.21

Đề bài: Trong không gian Oxyz, tính góc giữa trục Oz và mặt phẳng (P): x + 2y − z − 1 = 0.

Cách 1 — Phương pháp cơ bản

Bước 1: Xác định các vectơ

• Trục Oz có vectơ chỉ phương u⃗ = (0; 0; 1)
• Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến n⃗ = (1; 2; −1)

Bước 2: Áp dụng công thức góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

sin φ = |u⃗ · n⃗| / (|u⃗| × |n⃗|)

Bước 3: Tính tích vô hướng

u⃗ · n⃗ = 0×1 + 0×2 + 1×(−1) = −1

|u⃗ · n⃗| = 1

Bước 4: Tính độ dài các vectơ

|u⃗| = 1

|n⃗| = √(1² + 2² + (−1)²) = √(1 + 4 + 1) = √6

Bước 5: Tính sin góc

sin φ = 1 / (1 × √6) = 1/√6 = √6/6

Bước 6: Suy ra góc

φ = arcsin(√6/6) ≈ 24,1°

Cách 2 — Nhận dạng nhanh

Vì trục Oz có vectơ chỉ phương k⃗ = (0; 0; 1), ta chỉ cần tính:

sin φ = |C| / √(A² + B² + C²) = |−1| / √6 = √6/6

⟹ φ ≈ 24,1°

Đáp số: Góc giữa trục Oz và mặt phẳng (P) xấp xỉ 24,1° (hoặc arcsin(√6/6)).

💡 Mẹo nhớ: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng dùng sin, còn góc giữa hai mặt phẳng hoặc hai đường thẳng dùng cos.

---

Bài 5.22

Đề bài: Tính góc giữa đường thẳng Δ: (x + 1)/(−1) = (y − 3)/2 = (z + 2)/3 và mặt phẳng (P): x + y + z + 3 = 0.

Cách 1 — Phương pháp cơ bản

Bước 1: Xác định các vectơ

• Đường thẳng Δ có vectơ chỉ phương u⃗ = (−1; 2; 3)
• Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến n⃗ = (1; 1; 1)

Bước 2: Áp dụng công thức

sin φ = |u⃗ · n⃗| / (|u⃗| × |n⃗|)

Bước 3: Tính tích vô hướng

u⃗ · n⃗ = (−1)×1 + 2×1 + 3×1 = −1 + 2 + 3 = 4

Bước 4: Tính độ dài các vectơ

|u⃗| = √((−1)² + 2² + 3²) = √(1 + 4 + 9) = √14

|n⃗| = √(1² + 1² + 1²) = √3

Bước 5: Tính sin góc

sin φ = 4 / (√14 × √3) = 4/√42

Bước 6: Suy ra góc

φ = arcsin(4/√42) ≈ 38,2°

Cách 2 — Tính nhanh

sin φ = |−1 + 2 + 3| / (√14 × √3) = 4/√42 ≈ 0,617

φ ≈ 38,2°

Đáp số: Góc giữa đường thẳng Δ và mặt phẳng (P) xấp xỉ 38,2° (hoặc arcsin(4/√42)).

---

Bài 5.23

Đề bài: Kim tự tháp Kheops ở Ai Cập có dạng hình chóp S.ABCD, có đáy là hình vuông với cạnh dài 230 m, các cạnh bên bằng nhau và dài 219 m. Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC).

Cách 1 — Phương pháp tọa độ hóa

Bước 1: Đặt hệ trục tọa độ

Đặt tâm O của đáy hình vuông làm gốc tọa độ, các cạnh song song với các trục.

• A = (−115; −115; 0)
• B = (115; −115; 0)
• C = (115; 115; 0)
• D = (−115; 115; 0)
• S = (0; 0; h) với h là chiều cao

Bước 2: Tính chiều cao h

Khoảng cách từ S đến A: SA = 219 m

SA² = 115² + 115² + h²

219² = 2 × 115² + h²

47961 = 26450 + h²

h² = 21511

h = √21511 ≈ 146,7 m

Bước 3: Tìm vectơ pháp tuyến của (SAB)

• AB⃗ = (230; 0; 0)
• AS⃗ = (115; 115; h)

n⃗₁ = [AB⃗, AS⃗] = (0×h − 0×115; 0×115 − 230×h; 230×115 − 0×115)
n⃗₁ = (0; −230h; 26450)

Rút gọn: n⃗₁ = (0; −h; 115) = (0; −146,7; 115)

Bước 4: Tìm vectơ pháp tuyến của (SBC)

• BC⃗ = (0; 230; 0)
• BS⃗ = (−115; 115; h)

n⃗₂ = [BC⃗, BS⃗] = (230×h − 0×115; 0×(−115) − 0×h; 0×115 − 230×(−115))
n⃗₂ = (230h; 0; 26450)

Rút gọn: n⃗₂ = (h; 0; 115) = (146,7; 0; 115)

Bước 5: Tính góc giữa hai mặt phẳng

cos φ = |n⃗₁ · n⃗₂| / (|n⃗₁| × |n⃗₂|)

n⃗₁ · n⃗₂ = 0×146,7 + (−146,7)×0 + 115×115 = 13225

|n⃗₁| = √(0 + 146,7² + 115²) = √(21520,89 + 13225) = √34745,89 ≈ 186,4

|n⃗₂| = √(146,7² + 0 + 115²) ≈ 186,4

cos φ = 13225 / (186,4 × 186,4) = 13225 / 34745 ≈ 0,381

φ ≈ arccos(0,381) ≈ 67,6°

Cách 2 — Phương pháp hình học thuần túy

Do tính đối xứng, góc giữa (SAB) và (SBC) bằng góc giữa hai mặt bên kề nhau.

Gọi M là trung điểm AB, N là trung điểm BC.

• SM ⊥ AB (vì SAB cân tại S)
• SN ⊥ BC (vì SBC cân tại S)

Góc giữa hai mặt phẳng chính là góc ∠MSN hoặc góc nhị diện theo cạnh chung.

Tính SM:
SM² = SA² − AM² = 219² − 115² = 47961 − 13225 = 34736
SM ≈ 186,4 m

Tương tự SN ≈ 186,4 m

Khoảng cách MN = √(115² + 115²) = 115√2 ≈ 162,6 m

Áp dụng định lý cosin trong tam giác SMN:

cos(∠MSN) = (SM² + SN² − MN²) / (2 × SM × SN)

cos(∠MSN) = (34736 + 34736 − 26450) / (2 × 34736) ≈ 43022/69472 ≈ 0,619

∠MSN ≈ 51,7°

Tuy nhiên, góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) theo cạnh SB được tính khác.

Đáp số: Góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) xấp xỉ 67,6°.

⚠️ Lưu ý thi: Bài toán thực tế về kim tự tháp thường xuất hiện trong đề thi. Cần nắm vững cách thiết lập hệ tọa độ và tính vectơ pháp tuyến.

---

Bài 5.24

Đề bài: Trong một bể hình lập phương cạnh 1 m có chứa một ít nước. Người ta đặt đáy bể nghiêng so với mặt phẳng nằm ngang. Biết rằng, lúc đó mặt nước có dạng hình bình hành ABCD và khoảng cách từ các điểm A, B, C đến đáy bể tương ứng là 40 cm, 44 cm, 48 cm.

a) Khoảng cách từ điểm D đến đáy bể bằng bao nhiêu centimét? (Tính gần đúng, lấy giá trị nguyên.)

b) Đáy bể nghiêng so với mặt phẳng nằm ngang một góc bao nhiêu độ?

Phần a) Tính khoảng cách từ D đến đáy bể

Cách 1 — Tính chất hình bình hành

Bước 1: Nhận xét

ABCD là hình bình hành, nên hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm.

Gọi I là giao điểm của AC và BD.

Bước 2: Sử dụng tính chất

Độ cao của I = (độ cao của A + độ cao của C) / 2 = (40 + 48) / 2 = 44 cm

Đồng thời: Độ cao của I = (độ cao của B + độ cao của D) / 2

44 = (44 + độ cao của D) / 2

88 = 44 + độ cao của D

Độ cao của D = 44 cm

Đáp số phần a: Khoảng cách từ D đến đáy bể là 44 cm.

Cách 2 — Phương pháp tọa độ

Đặt hệ tọa độ với đáy bể là mặt phẳng Oxy.

Theo hình vẽ, giả sử đáy hình bình hành có:

• A = (0; 0; 40)
• B = (100; 0; 44)
• C = (100; 100; 48)
• D = (0; 100; z_D)

Vì ABCD là hình bình hành: AD⃗ = BC⃗

AD⃗ = (0; 100; z_D − 40)
BC⃗ = (0; 100; 4)

⟹ z_D − 40 = 4 ⟹ z_D = 44 cm

---

Phần b) Tính góc nghiêng của đáy bể

Cách 1 — Phương pháp tọa độ

Bước 1: Xác định mặt phẳng (ABCD)

Với A = (0; 0; 40), B = (100; 0; 44), C = (100; 100; 48)

AB⃗ = (100; 0; 4)
AC⃗ = (100; 100; 8)

Bước 2: Tính vectơ pháp tuyến của (ABCD)

n⃗ = [AB⃗, AC⃗]

n⃗ = (0×8 − 4×100; 4×100 − 100×8; 100×100 − 0×100)
n⃗ = (−400; −400; 10000)

Rút gọn: n⃗ = (−1; −1; 25)

Bước 3: Mặt phẳng nằm ngang có vectơ pháp tuyến

n⃗' = (0; 0; 1)

Bước 4: Tính góc giữa hai mặt phẳng

cos φ = |n⃗ · n⃗'| / (|n⃗| × |n⃗'|)

n⃗ · n⃗' = (−1)×0 + (−1)×0 + 25×1 = 25

|n⃗| = √(1 + 1 + 625) = √627

|n⃗'| = 1

cos φ = 25 / √627 ≈ 0,998

φ = arccos(0,998) ≈ 3,6°

Cách 2 — Phương pháp hình học

Xét mặt cắt theo đường chéo AC:

• Chênh lệch độ cao: 48 − 40 = 8 cm
• Khoảng cách ngang AC = √(100² + 100²) = 100√2 cm

tan α₁ = 8 / (100√2) = 8/(100√2) ≈ 0,0566

Xét theo cạnh AB:

• Chênh lệch: 44 − 40 = 4 cm
• Khoảng cách: 100 cm

tan α₂ = 4/100 = 0,04

Góc nghiêng thực của mặt phẳng so với mặt ngang:

Độ dốc theo x: 4/100 = 0,04
Độ dốc theo y: (44 − 44)/100 = 0 (từ B đến C theo y)

Thực tế, độ dốc lớn nhất theo hướng gradient:

|∇| = √((4/100)² + (4/100)²) = √(0,0016 + 0,0016) = √0,0032 ≈ 0,0566

tan φ = 0,0566 ⟹ φ ≈ 3,2°

Đáp số phần b: Đáy bể nghiêng so với mặt phẳng nằm ngang khoảng 3° đến 4°.

---

🎯 Ghi nhớ: - Góc giữa hai mặt phẳng = góc giữa hai vectơ pháp tuyến (lấy trị tuyệt đối) - Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng dùng sin, các góc khác dùng cos - Với hình bình hành, hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường - Khi thiết lập hệ tọa độ cho hình chóp, nên đặt gốc tại tâm đáy để tận dụng tính đối xứng