Giải Toàn 12 - Tập Hai trang 56

🔍 Kiến thức cần nhớ

Bài 17: PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU

1. Định nghĩa mặt cầu:

• Mặt cầu tâm I bán kính R (R > 0) là tập các điểm trong không gian cách I một khoảng bằng R.
• Điểm M nằm trong mặt cầu nếu IM < R
• Điểm M nằm ngoài mặt cầu nếu IM > R
• Điểm M nằm trên mặt cầu nếu IM = R

2. Phương trình mặt cầu:

Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S) tâm I(a; b; c) bán kính R có phương trình:

(x − a)² + (y − b)² + (z − c)² = R²

3. Vị trí của điểm M(x; y; z) so với mặt cầu (S):

• M nằm trong mặt cầu (S) nếu: (x − a)² + (y − b)² + (z − c)² < R²
• M nằm ngoài mặt cầu (S) nếu: (x − a)² + (y − b)² + (z − c)² > R²

💡 Mẹo nhớ: So sánh khoảng cách IM với bán kính R, hoặc so sánh (x − a)² + (y − b)² + (z − c)² với R².

---

⚙️ Bài tập

---

Luyện tập 1

Đề bài: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình:

(x + 2)² + y² + (z + 1/2)² = 9/4

a) Xác định tâm và bán kính của (S).

b) Hỏi điểm M(2; 0; 1) nằm trong, nằm ngoài hay thuộc mặt cầu (S)?

---

Cách 1 — Phương pháp cơ bản (so sánh với công thức chuẩn)

a) Xác định tâm và bán kính:

Bước 1: Viết phương trình về dạng chuẩn.

Phương trình mặt cầu chuẩn: (x − a)² + (y − b)² + (z − c)² = R²

Phương trình đã cho: (x + 2)² + y² + (z + 1/2)² = 9/4

Viết lại: (x − (−2))² + (y − 0)² + (z − (−1/2))² = 9/4

Bước 2: So sánh và xác định tâm, bán kính.

• Tâm I có tọa độ: a = −2, b = 0, c = −1/2
• Bán kính: R² = 9/4 → R = 3/2

Kết luận: Mặt cầu (S) có tâm I(−2; 0; −1/2) và bán kính R = 3/2.

---

b) Xét vị trí điểm M(2; 0; 1):

Bước 1: Tính khoảng cách IM² (hoặc thay tọa độ M vào vế trái phương trình).

IM² = (2 − (−2))² + (0 − 0)² + (1 − (−1/2))²

IM² = (2 + 2)² + 0² + (1 + 1/2)²

IM² = 4² + 0 + (3/2)²

IM² = 16 + 9/4

IM² = 64/4 + 9/4 = 73/4

Bước 2: So sánh IM² với R².

R² = 9/4

Ta có: IM² = 73/4 > 9/4 = R²

Kết luận: Điểm M(2; 0; 1) nằm ngoài mặt cầu (S).

---

Cách 2 — Phương pháp nhanh (thay trực tiếp)

a) Từ phương trình (x + 2)² + y² + (z + 1/2)² = 9/4:

• Tâm I: đổi dấu các số trong ngoặc → I(−2; 0; −1/2)
• Bán kính: R = √(9/4) = 3/2

b) Thay M(2; 0; 1) vào vế trái:

VT = (2 + 2)² + 0² + (1 + 1/2)² = 16 + 0 + 9/4 = 73/4

So sánh: 73/4 > 9/4 → M nằm ngoài mặt cầu (S).

⚠️ Lưu ý thi: Khi xác định tâm từ phương trình dạng (x + a)², tọa độ tâm là −a (đổi dấu). Đây là lỗi sai phổ biến của học sinh!

---

Luyện tập 2

Đề bài: Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt cầu (S) trong các trường hợp sau:

a) Tâm là gốc tọa độ, bán kính R = 1.

b) Đường kính AB, với A(1; −1; 2), B(2; −3; −1).

---

Cách 1 — Phương pháp cơ bản

a) Tâm là gốc tọa độ O(0; 0; 0), bán kính R = 1:

Bước 1: Áp dụng công thức phương trình mặt cầu.

(x − a)² + (y − b)² + (z − c)² = R²

Bước 2: Thay a = 0, b = 0, c = 0, R = 1.

(x − 0)² + (y − 0)² + (z − 0)² = 1²

Kết luận: Phương trình mặt cầu (S): x² + y² + z² = 1

---

b) Đường kính AB với A(1; −1; 2), B(2; −3; −1):

Bước 1: Xác định tâm I (trung điểm của AB).

Tọa độ tâm I:

• x_I = (1 + 2)/2 = 3/2
• y_I = (−1 + (−3))/2 = −4/2 = −2
• z_I = (2 + (−1))/2 = 1/2

Vậy I(3/2; −2; 1/2)

Bước 2: Tính bán kính R = AB/2.

Tính độ dài AB:

AB = √[(2 − 1)² + (−3 − (−1))² + (−1 − 2)²]

AB = √[1² + (−2)² + (−3)²]

AB = √[1 + 4 + 9]

AB = √14

Bán kính: R = AB/2 = √14/2

Suy ra: R² = 14/4 = 7/2

Bước 3: Viết phương trình mặt cầu.

(x − 3/2)² + (y − (−2))² + (z − 1/2)² = 7/2

Kết luận: Phương trình mặt cầu (S): (x − 3/2)² + (y + 2)² + (z − 1/2)² = 7/2

---

Cách 2 — Phương pháp nhanh

a) Tâm O(0; 0; 0), R = 1 → Phương trình: x² + y² + z² = 1

b)

• Tâm I = trung điểm AB = ((1+2)/2; (−1−3)/2; (2−1)/2) = (3/2; −2; 1/2)
• R² = IA² = (1 − 3/2)² + (−1 + 2)² + (2 − 1/2)²
• R² = (−1/2)² + 1² + (3/2)²
• R² = 1/4 + 1 + 9/4 = 1/4 + 4/4 + 9/4 = 14/4 = 7/2

Phương trình: (x − 3/2)² + (y + 2)² + (z − 1/2)² = 7/2

💡 Mẹo nhớ: Khi biết đường kính AB: - Tâm = trung điểm AB - Bán kính R = AB/2 (hoặc tính R = IA = IB)

⚠️ Lưu ý thi: Có thể tính R² = IA² thay vì tính R rồi bình phương, giúp tránh sai số khi có căn thức.

---

🎯 Ghi nhớ

1. Phương trình mặt cầu chuẩn: (x − a)² + (y − b)² + (z − c)² = R² với tâm I(a; b; c), bán kính R.

1. Xác định vị trí điểm M: Thay tọa độ M vào vế trái, so sánh với R²:

• Bằng R² → thuộc mặt cầu
• Nhỏ hơn R² → nằm trong
• Lớn hơn R² → nằm ngoài

1. Khi biết đường kính AB:

• Tâm I = trung điểm AB
• Bán kính R = AB/2