Giải Toàn 12 - Tập Hai trang 58

🔍 Kiến thức cần nhớ

Phương trình mặt cầu trong không gian Oxyz

Dạng tổng quát: x² + y² + z² - 2ax - 2by - 2cz + d = 0

Điều kiện là phương trình mặt cầu: a² + b² + c² - d > 0

Khi đó:

• Tâm I(a; b; c)
• Bán kính R = √(a² + b² + c² - d)

💡 Mẹo nhớ: Để tìm tâm, lấy hệ số của x, y, z chia cho (-2). Để tìm bán kính, dùng công thức R = √(a² + b² + c² - d).

⚠️ Lưu ý thi: Phương trình chỉ là mặt cầu khi: - Hệ số của x², y², z² bằng nhau và bằng 1 - Không có các số hạng chéo xy, yz, xz - a² + b² + c² - d > 0

---

⚙️ Bài tập

---

Luyện tập 3

Đề bài: Trong không gian Oxyz, cho (S) là tập hợp các điểm M(x; y; z) có tọa độ thỏa mãn phương trình:

(S): x² + y² + z² - 4x + 6y - 12 = 0

Chứng minh rằng (S) là một mặt cầu. Xác định tâm và tính bán kính của mặt cầu đó.

---

Cách 1 — Phương pháp biến đổi về dạng chính tắc

Bước 1: Nhóm các biến và biến đổi về dạng bình phương

Ta viết lại phương trình:

• x² - 4x + y² + 6y + z² - 12 = 0

Bước 2: Thêm bớt để tạo bình phương hoàn chỉnh

• (x² - 4x + 4) + (y² + 6y + 9) + z² - 12 - 4 - 9 = 0
• (x - 2)² + (y + 3)² + z² - 25 = 0
• (x - 2)² + (y + 3)² + (z - 0)² = 25 = 5²

Bước 3: Kết luận

Phương trình có dạng (x - a)² + (y - b)² + (z - c)² = R²

Vậy (S) là mặt cầu có tâm I(2; -3; 0) và bán kính R = 5.

---

Cách 2 — Phương pháp áp dụng công thức trực tiếp

Bước 1: Xác định các hệ số

So sánh với dạng tổng quát x² + y² + z² - 2ax - 2by - 2cz + d = 0:

• -2a = -4 → a = 2
• -2b = 6 → b = -3
• -2c = 0 → c = 0
• d = -12

Bước 2: Kiểm tra điều kiện

a² + b² + c² - d = 4 + 9 + 0 - (-12) = 4 + 9 + 12 = 25 > 0 ✓

Bước 3: Tính tâm và bán kính

• Tâm I(a; b; c) = I(2; -3; 0)
• Bán kính R = √(a² + b² + c² - d) = √25 = 5

Đáp số: Tâm I(2; -3; 0), bán kính R = 5

---

Luyện tập 4

Đề bài: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình:

x² + y² + z² + 4x - 5y + 6z + 25/4 = 0

Xác định tâm, tính bán kính của (S).

---

Cách 1 — Phương pháp biến đổi về dạng chính tắc

Bước 1: Nhóm các biến

x² + 4x + y² - 5y + z² + 6z + 25/4 = 0

Bước 2: Biến đổi về bình phương hoàn chỉnh

• (x² + 4x + 4) + (y² - 5y + 25/4) + (z² + 6z + 9) + 25/4 - 4 - 25/4 - 9 = 0
• (x + 2)² + (y - 5/2)² + (z + 3)² = 4 + 25/4 + 9 - 25/4
• (x + 2)² + (y - 5/2)² + (z + 3)² = 4 + 9 = 13

Bước 3: Kết luận

Vậy (S) là mặt cầu có tâm I(-2; 5/2; -3) và bán kính R = √13.

---

Cách 2 — Phương pháp áp dụng công thức trực tiếp

Bước 1: Xác định các hệ số

So sánh với dạng x² + y² + z² - 2ax - 2by - 2cz + d = 0:

• -2a = 4 → a = -2
• -2b = -5 → b = 5/2
• -2c = 6 → c = -3
• d = 25/4

Bước 2: Kiểm tra điều kiện

a² + b² + c² - d = 4 + 25/4 + 9 - 25/4 = 4 + 9 = 13 > 0 ✓

Bước 3: Tính tâm và bán kính

• Tâm I(a; b; c) = I(-2; 5/2; -3)
• Bán kính R = √(a² + b² + c² - d) = √13

Đáp số: Tâm I(-2; 5/2; -3), bán kính R = √13

---

📝 Tóm tắt nội dung lý thuyết (Trang 57)

Trang 57 trình bày phần "Một số ứng dụng của phương trình mặt cầu trong thực tiễn" - đây là nội dung lý thuyết, không có bài tập.

Nội dung chính:

• Bề mặt Trái Đất được mô hình hóa như một mặt cầu với bán kính 6371 km
• Giải thích về kinh độ, vĩ độ và cách xác định vị trí trên Trái Đất
• Trong hệ tọa độ Oxyz với O là tâm Trái Đất, bề mặt Trái Đất có phương trình: x² + y² + z² = 1 (khi 1 đơn vị = 6371 km)
• Công thức tọa độ điểm P có vĩ độ α°N, kinh độ β°E: P(cos α° × cos β°; cos α° × sin β°; sin α°)

---

🎯 Ghi nhớ: - Luôn kiểm tra điều kiện a² + b² + c² - d > 0 trước khi kết luận là mặt cầu - Phương trình mặt cầu không được chứa các số hạng chéo (xy, yz, xz) - Hệ số của x², y², z² phải bằng nhau (thường là 1)