HocKhaThư viện lời giải bài tập

Giải Toàn 12 - Tập Hai trang 60

Lời giải chi tiết SGK Lớp 12 · Môn ToĂ¡n · Trang 60–61

Tóm tắt lý thuyết

Hai trang này tiếp tục ứng dụng tọa độ trong không gian Oxyz vào địa lý và mở sang phần bài tập về mặt cầu.

Ứng dụng tính khoảng cách trên Trái Đất:

  • Mỗi vị trí có vĩ độ $\alpha^\circ N$ và kinh độ $\beta^\circ E$ ($0<\alpha<90$, $0<\beta<90$) có tọa độ

$$M(\cos\alpha^\circ\cos\beta^\circ;\ \cos\alpha^\circ\sin\beta^\circ;\ \sin\alpha^\circ).$$

  • Coi Trái Đất là mặt cầu bán kính 1 (trong Oxyz), khoảng cách ngắn nhất giữa hai điểm $P$, $Q$ là độ dài cung nhỏ $PQ$.
  • Cách làm: tính $\cos\widehat{POQ}=\dfrac{\overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{OQ}}{|\overrightarrow{OP}|\,|\overrightarrow{OQ}|}$, suy ra góc, rồi tính độ dài cung $=\dfrac{\widehat{POQ}}{360^\circ}\cdot 2\pi$. Quy đổi: 1 đơn vị dài trong Oxyz ứng với 6 371 km thực tế.

Phương trình mặt cầu (phần Bài tập):

  • Dạng chính tắc: $(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=R^2$ có tâm $I(a;b;c)$, bán kính $R$.
  • Dạng tổng quát: $x^2+y^2+z^2-2ax-2by-2cz+d=0$ là mặt cầu khi $a^2+b^2+c^2-d>0$, khi đó tâm $I(a;b;c)$, $R=\sqrt{a^2+b^2+c^2-d}$.

Luyện tập 5

Đề: Tính khoảng cách trên mặt đất từ vị trí $A$ (giao của kinh tuyến gốc với xích đạo) đến vị trí $B$: $45^\circ N$, $30^\circ E$.

Lời giải:

Vị trí $A$ là giao kinh tuyến gốc với xích đạo nên có vĩ độ $0^\circ$, kinh độ $0^\circ$:
$$A(\cos0^\circ\cos0^\circ;\ \cos0^\circ\sin0^\circ;\ \sin0^\circ)=(1;\,0;\,0).$$

Vị trí $B$: $45^\circ N$, $30^\circ E$:
$$B(\cos45^\circ\cos30^\circ;\ \cos45^\circ\sin30^\circ;\ \sin45^\circ)\approx(0{,}6124;\ 0{,}3536;\ 0{,}7071).$$

Khi đó
$$\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=1\cdot\frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2}+0+0=\frac{\sqrt6}{4}\approx0{,}6124.$$

Vì $A$, $B$ thuộc mặt đất nên $|\overrightarrow{OA}|=|\overrightarrow{OB}|=1$, do đó
$$\cos\widehat{AOB}\approx0{,}6124\ \Rightarrow\ \widehat{AOB}\approx52{,}2388^\circ.$$

Đường tròn tâm $O$ qua $A$, $B$ có chu vi $2\pi\approx6{,}2832$, nên cung nhỏ $\overset{\frown}{AB}$ có độ dài
$$\frac{52{,}2388}{360}\cdot6{,}2832\approx0{,}9118.$$

Vậy khoảng cách trên mặt đất giữa $A$ và $B$ xấp xỉ
$$0{,}9118\cdot6371\approx5808{,}3\ (\text{km}).$$

Trải nghiệm

Đề: Trên Google Maps đo khoảng cách từ vị trí $0^\circ N,\ 0^\circ E$ đến vị trí $45^\circ N,\ 30^\circ E$ rồi so sánh với kết quả Luyện tập 5.

Hướng dẫn: Đây là hoạt động thực hành. Bạn mở Google Maps, đặt một điểm tại tọa độ $(0;0)$ ngoài khơi vịnh Guinea, một điểm tại $(45^\circ N; 30^\circ E)$ (khu vực gần Đông Âu/biển Đen), dùng công cụ "Measure distance" để đo. Kết quả đo sẽ rất gần với khoảng $5808$ km tính được ở trên, sai lệch nhỏ do Trái Đất không phải hình cầu hoàn hảo và do làm tròn.

BÀI TẬP

Bài 5.25: Tâm và bán kính từ phương trình chính tắc

Đề: $(S):\ \left(x-\dfrac12\right)^2+(y+1)^2+z^2=9$. Xác định tâm và bán kính.

Lời giải: So với dạng $(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=R^2$:
$$a=\frac12,\quad b=-1,\quad c=0,\quad R^2=9.$$

Vậy mặt cầu có tâm $I\left(\dfrac12;\,-1;\,0\right)$ và bán kính $R=3$.

Bài 5.26: Viết phương trình mặt cầu biết tâm và bán kính

Đề: Tâm $I(-2;0;5)$, bán kính $R=2$.

Lời giải: Thay vào dạng chính tắc:
$$(x+2)^2+y^2+(z-5)^2=4.$$

Bài 5.27: Bán kính bằng khoảng cách từ tâm đến mặt phẳng

Đề: Tâm $I(0;3;-1)$, bán kính bằng khoảng cách từ $I$ đến $(P):3x+2y-z=0$.

Lời giải:

Tính bán kính:
$$R=d(I,(P))=\frac{|3\cdot0+2\cdot3-(-1)|}{\sqrt{3^2+2^2+(-1)^2}}=\frac{|6+1|}{\sqrt{14}}=\frac{7}{\sqrt{14}}=\frac{\sqrt{14}}{2}.$$

Suy ra $R^2=\dfrac{49}{14}=\dfrac72$.

Phương trình mặt cầu:
$$x^2+(y-3)^2+(z+1)^2=\frac72.$$

Bài 5.28: Tâm và bán kính từ phương trình tổng quát

Đề: $(S):\ x^2+y^2+z^2+2x-2y+8z-18=0$.

Lời giải: So với dạng $x^2+y^2+z^2-2ax-2by-2cz+d=0$:
$$-2a=2\Rightarrow a=-1,\quad -2b=-2\Rightarrow b=1,\quad -2c=8\Rightarrow c=-4,\quad d=-18.$$

Kiểm tra: $a^2+b^2+c^2-d=1+1+16+18=36>0$ nên đây là mặt cầu.

$$R=\sqrt{36}=6.$$

Vậy tâm $I(-1;1;-4)$, bán kính $R=6$.

Bài 5.29: Nhận biết phương trình mặt cầu

Đề: Phương trình nào là phương trình mặt cầu? Xác định tâm và bán kính.

CâuPhương trình$a,b,c$$a^2+b^2+c^2-d$Kết luận
a$x^2+y^2+z^2-2x-5z+30=0$$1;\,0;\,\tfrac52$$1+0+\tfrac{25}{4}-30=-\tfrac{91}{4}<0$Không phải mặt cầu
b$x^2+y^2+z^2-4x+2y-2z=0$$2;\,-1;\,1$$4+1+1-0=6>0$Là mặt cầu
c$x^3+y^3+z^3-2x+6y-9z-10=0$––Không phải (bậc 3)
d$x^2+y^2+z^2+5=0$$0;\,0;\,0$$0-5=-5<0$Không phải mặt cầu

Giải thích:

  • a) $a^2+b^2+c^2-d<0$ nên không tồn tại mặt cầu.
  • b) Là mặt cầu, tâm $I(2;-1;1)$, bán kính $R=\sqrt6$.
  • c) Có các số hạng bậc ba $x^3,y^3,z^3$ nên không phải phương trình mặt cầu (mặt cầu chỉ chứa $x^2,y^2,z^2$).
  • d) $x^2+y^2+z^2=-5$ vô nghiệm, không có mặt cầu.

Vậy chỉ câu b) là phương trình mặt cầu, tâm $I(2;-1;1)$, $R=\sqrt6$.

Bài 5.30: Kiểm tra điểm thuộc vùng phủ sóng

Đề: Thiết bị phát sóng tại $A(2;0;0)$, vùng phủ sóng bán kính $1$. Hỏi vị trí $M(2;1;1)$ có thuộc vùng phủ sóng không?

Lời giải:

Vùng phủ sóng là hình cầu tâm $A$, bán kính $1$. Tính khoảng cách:
$$AM=\sqrt{(2-2)^2+(1-0)^2+(1-0)^2}=\sqrt{0+1+1}=\sqrt2\approx1{,}414.$$

Vì $AM=\sqrt2>1=R$ nên $M$ nằm ngoài hình cầu.

Kết luận: vị trí $M$ không thuộc vùng phủ sóng của thiết bị.

Em có biết? (phần đọc thêm)

Mục này giới thiệu hệ thống định vị toàn cầu GPS:

  • GPS do chính phủ Hoa Kỳ vận hành, dùng miễn phí cho mọi thiết bị thu.
  • Nguyên lý: bộ thu xác định khoảng cách đến các vệ tinh dựa vào thời gian truyền tín hiệu (tín hiệu đi với vận tốc ánh sáng), nên đồng hồ nguyên tử trên vệ tinh và việc đồng bộ thời gian là then chốt.
  • Vệ tinh GPS bay quanh Trái Đất ở độ cao khoảng 20 200 km, hai vòng mỗi ngày.
  • Cần ít nhất khoảng cách đến 3 vệ tinh để định vị; quỹ đạo được sắp xếp để mỗi điểm trên mặt đất luôn "nhìn thấy" tối thiểu 4 vệ tinh, càng nhiều vệ tinh thì độ chính xác càng cao.

Đây chính là ứng dụng thực tế của ý tưởng giao các mặt cầu (mỗi khoảng cách tới một vệ tinh là một mặt cầu) để tìm ra một điểm duy nhất.

Bạn cần mình vẽ thêm hình minh họa cho Luyện tập 5 hoặc giải kỹ hơn bài nào không?

Chế độ đọc sách →