Giải Toàn 12 - Tập Hai trang 62

Tóm tắt phần lý thuyết (Trang 60)

Trang này là một ví dụ ứng dụng tọa độ trong không gian để xác định vị trí thiết bị GPS.

Bài toán: Thiết bị GPS đo được khoảng cách tới ba vệ tinh $A, B, C$ lần lượt là $\sqrt5, \sqrt2, 2$, với
$$A(2;0;0),\quad B(0;2;0),\quad C\left(0;\tfrac{11}{4};\tfrac{\sqrt7}{4}\right).$$

Cách làm cốt lõi:

• Gọi vị trí thiết bị là $P(x;y;z)$, thiết bị nằm trên mặt đất nên $x^2+y^2+z^2=1$.
• Dùng các điều kiện khoảng cách $PA=\sqrt5,\ PB=\sqrt2,\ PC=2$ lập hệ phương trình.
• Trừ vế theo vế để khử bậc hai, tìm lần lượt $x=0,\ y=\tfrac34,\ z=\tfrac{\sqrt7}{4}$.
• Kết quả: $P\left(0;\tfrac34;\tfrac{\sqrt7}{4}\right)$.

Sau đó dùng công thức tọa độ theo vĩ độ – kinh độ:
$$P(\cos\alpha^\circ\cos\beta^\circ;\ \cos\alpha^\circ\sin\beta^\circ;\ \sin\alpha^\circ)$$
suy ra vị trí GPS xấp xỉ $41,4096^\circ N,\ 90^\circ E$.

Ý nghĩa: Toán tọa độ không gian giúp xác định chính xác vị trí thực tế trên Trái Đất.

---

Bài 5.31: Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

Đề: Cho mặt phẳng $(P): x-2y-3z+1=0$. Một vectơ pháp tuyến của $(P)$ có tọa độ là?

Lời giải: Với mặt phẳng dạng $ax+by+cz+d=0$, vectơ pháp tuyến là $\vec n=(a;b;c)$.

Ở đây $a=1,\ b=-2,\ c=-3$ nên $\vec n=(1;-2;-3)$.

Đáp án: D. $(1;-2;-3)$

---

Bài 5.32: Viết phương trình mặt phẳng

Đề: Mặt phẳng $(P)$ đi qua $I(1;-1;2)$ và nhận $\vec n=(2;1;-1)$ làm vectơ pháp tuyến.

Lời giải: Phương trình mặt phẳng:
$$2(x-1)+1(y+1)-1(z-2)=0$$
$$2x-2+y+1-z+2=0 \;\Rightarrow\; 2x+y-z+1=0$$

Đáp án: D. $2x+y-z+1=0$

---

Bài 5.33: Vectơ chỉ phương của đường thẳng (dạng chính tắc)

Đề: Cho đường thẳng $d:\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y+2}{1}=\dfrac{z-3}{-2}$. Tìm một vectơ chỉ phương.

Lời giải: Với dạng $\dfrac{x-x_0}{a}=\dfrac{y-y_0}{b}=\dfrac{z-z_0}{c}$, vectơ chỉ phương là $\vec u=(a;b;c)$.

Suy ra $\vec u=(2;1;-2)$.

Đáp án: B. $(2;1;-2)$

---

Bài 5.34: Vectơ chỉ phương của đường thẳng (dạng tham số)

Đề: Cho $d:\begin{cases}x=1+2t\\ y=-2+t\\ z=3-t\end{cases}$. Tìm một vectơ chỉ phương.

Lời giải: Hệ số của $t$ ở mỗi tọa độ chính là tọa độ vectơ chỉ phương:
$$\vec u=(2;1;-1).$$

Đáp án: C. $(2;1;-1)$

---

Bài 5.35: Viết phương trình chính tắc của đường thẳng

Đề: Đường thẳng $d$ đi qua $I(2;-1;1)$ và nhận $\vec u=(1;2;-3)$ làm vectơ chỉ phương.

Lời giải: Phương trình chính tắc:
$$\frac{x-2}{1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-1}{-3}$$

Đáp án: C. $\dfrac{x-2}{1}=\dfrac{y+1}{2}=\dfrac{z-1}{-3}$

---

Bài 5.36: Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm

Đề: Cho $A(-1;0;-1),\ B(2;1;1)$. Viết phương trình đường thẳng $AB$.

Lời giải: Vectơ chỉ phương:
$$\vec{AB}=(2-(-1);\,1-0;\,1-(-1))=(3;1;2).$$

Đường thẳng đi qua $A(-1;0;-1)$:
$$\begin{cases}x=-1+3t\\ y=t\\ z=-1+2t\end{cases}$$

Đáp án: D.

---

Bài 5.37: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Đề: Viết phương trình đường thẳng $d$ đi qua $I(2;1;-3)$ và vuông góc với $(P): x-2y+z-3=0$.

Lời giải: Đường thẳng vuông góc với $(P)$ nên nhận vectơ pháp tuyến của $(P)$ làm vectơ chỉ phương:
$$\vec u=\vec n_{(P)}=(1;-2;1).$$

Phương trình chính tắc:
$$\frac{x-2}{1}=\frac{y-1}{-2}=\frac{z+3}{1}$$

Đáp án: A. $\dfrac{x-2}{1}=\dfrac{y-1}{-2}=\dfrac{z+3}{1}$

---

Bảng đáp án nhanh

Mẹo ôn nhanh: chỉ cần nhớ hai quy tắc gốc — mặt phẳng $ax+by+cz+d=0$ có pháp tuyến $(a;b;c)$, còn đường thẳng có vectơ chỉ phương lấy từ mẫu (dạng chính tắc) hoặc hệ số của $t$ (dạng tham số). Hầu hết câu trắc nghiệm phần này đều xoay quanh hai ý đó.