Giải Toàn 12 - Tập Hai trang 10

🔍 Kiến thức cần nhớ

Nguyên hàm của hàm số lũy thừa

• Hàm số y = x^α (α ∈ ℝ) có đạo hàm với mọi x > 0: (x^α)' = αx^(α-1)
• Công thức nguyên hàm:
• ∫x^α dx = x^(α+1)/(α+1) + C (với α ≠ -1)
• ∫(1/x) dx = ln|x| + C

Nguyên hàm của hàm số lượng giác

• ∫cos x dx = sin x + C
• ∫sin x dx = -cos x + C
• ∫(1/cos²x) dx = tan x + C
• ∫(1/sin²x) dx = -cot x + C

---

⚙️ Bài tập

---

Bài Vận dụng (trang 10)

Đề bài: Doanh thu bán hàng của một công ty khi bán một loại sản phẩm là số tiền R(x) (triệu đồng) thu được khi x đơn vị sản phẩm được bán ra. Tốc độ biến động (thay đổi) của doanh thu khi x đơn vị sản phẩm đã được bán là hàm số M_R(x) = R'(x). Một công ty công nghệ cho biết, tốc độ biến đổi của doanh thu khi bán một loại con chíp của hãng được cho bởi M_R(x) = 300 - 0,1x, ở đó x là số lượng chíp đã bán. Tìm doanh thu của công ty khi đã bán 1000 con chíp.

Cách 1 — Phương pháp tích phân cơ bản

Phân tích:

• Ta có R'(x) = M_R(x) = 300 - 0,1x
• Cần tìm R(x) là nguyên hàm của M_R(x)
• Điều kiện: R(0) = 0 (chưa bán thì chưa có doanh thu)

Lời giải:

Bước 1: Tìm nguyên hàm của M_R(x)

R(x) = ∫(300 - 0,1x) dx = 300x - 0,1 × x²/2 + C = 300x - 0,05x² + C

Bước 2: Xác định hằng số C

Khi x = 0, doanh thu R(0) = 0 (chưa bán gì thì chưa có tiền)

R(0) = 300 × 0 - 0,05 × 0² + C = 0

⟹ C = 0

Vậy R(x) = 300x - 0,05x²

Bước 3: Tính doanh thu khi bán 1000 con chíp

R(1000) = 300 × 1000 - 0,05 × 1000²

R(1000) = 300000 - 0,05 × 1000000

R(1000) = 300000 - 50000
R(1000) = 250000 (triệu đồng)

Đáp số: Doanh thu khi bán 1000 con chíp là 250000 triệu đồng (hay 250 tỷ đồng).

Cách 2 — Phương pháp tính trực tiếp

R(1000) = ∫₀^1000 (300 - 0,1x) dx = [300x - 0,05x²]₀^1000

= (300 × 1000 - 0,05 × 1000²) - (0) = 300000 - 50000 = 250000 triệu đồng

💡 Mẹo nhớ: Khi biết tốc độ biến đổi f'(x), muốn tìm f(x) thì lấy nguyên hàm. Điều kiện ban đầu giúp xác định hằng số C.

---

Câu hỏi khám phá (trang 10)

Đề bài: Bằng cách viết lại các hàm số sau dưới dạng hàm số lũy thừa y = x^α (x > 0), hãy tính đạo hàm của các hàm số sau với x > 0: y = 1/x⁴; y = x^√2; y = 1/∛x.

Cách 1 — Viết lại dạng lũy thừa rồi đạo hàm

a) y = 1/x⁴

Viết lại: y = x^(-4)

Đạo hàm: y' = -4 × x^(-4-1) = -4x^(-5) = -4/x⁵

b) y = x^√2

Đạo hàm: y' = √2 × x^(√2-1) = √2 × x^(√2-1)

c) y = 1/∛x

Viết lại: y = 1/x^(1/3) = x^(-1/3)

Đạo hàm: y' = (-1/3) × x^(-1/3-1) = (-1/3) × x^(-4/3) = -1/(3x^(4/3)) hay -1/(3∛x⁴)

Cách 2 — Sử dụng công thức trực tiếp

Áp dụng công thức (x^α)' = αx^(α-1):

• a) α = -4 ⟹ y' = -4x^(-5)
• b) α = √2 ⟹ y' = √2 × x^(√2-1)
• c) α = -1/3 ⟹ y' = (-1/3)x^(-4/3)

⚠️ Lưu ý thi: Phải viết đúng dạng lũy thừa trước khi đạo hàm. Nhớ quy tắc: 1/x^n = x^(-n) và ⁿ√x = x^(1/n).

---

HĐ5. Khám phá nguyên hàm của hàm số lũy thừa

a) Đề bài: Với α ≠ -1, tính đạo hàm của hàm số y = x^(α+1)/(α+1) (x > 0).

Cách 1 — Đạo hàm trực tiếp

Lời giải:

y = x^(α+1)/(α+1) = [1/(α+1)] × x^(α+1)

Đạo hàm:
y' = [1/(α+1)] × (α+1) × x^(α+1-1)
y' = x^α

Đáp số: y' = x^α

Cách 2 — Kiểm tra ngược

Nếu ∫x^α dx = x^(α+1)/(α+1) + C thì đạo hàm vế phải phải bằng x^α.

[x^(α+1)/(α+1)]' = (α+1)x^α/(α+1) = x^α ✓

💡 Mẹo nhớ: Nguyên hàm của x^α là "tăng số mũ lên 1, chia cho số mũ mới".

---

b) Đề bài: Cho hàm số y = ln|x| (x ≠ 0). Tính đạo hàm của hàm số này trong hai trường hợp: x > 0 và x < 0.

Cách 1 — Xét từng trường hợp

Trường hợp 1: x > 0

y = ln|x| = ln x

y' = 1/x

Trường hợp 2: x < 0

y = ln|x| = ln(-x) (vì x < 0 nên -x > 0)

Đặt u = -x, ta có y = ln u

y' = (ln u)' × u' = (1/u) × (-1) = 1/(-x) × (-1) = 1/x

Kết luận: Trong cả hai trường hợp, y' = 1/x (với x ≠ 0)

Cách 2 — Dùng công thức tổng quát

Công thức: (ln|x|)' = 1/x với mọi x ≠ 0

Điều này cho thấy ∫(1/x) dx = ln|x| + C

⚠️ Lưu ý thi: Nguyên hàm của 1/x là ln|x| + C (có dấu trị tuyệt đối), không phải ln x + C.

---

Luyện tập 5. Tìm:

a) ∫(1/x⁴) dx

b) ∫x√x dx (x > 0)

c) ∫(3/x - 5∛x) dx (x > 0)

---

Câu a) ∫(1/x⁴) dx

Cách 1 — Viết lại dạng lũy thừa

1/x⁴ = x^(-4)

∫x^(-4) dx = x^(-4+1)/(-4+1) + C = x^(-3)/(-3) + C = -1/(3x³) + C

Cách 2 — Áp dụng trực tiếp công thức

∫x^α dx = x^(α+1)/(α+1) + C với α = -4

= x^(-3)/(-3) + C = -1/(3x³) + C

---

Câu b) ∫x√x dx (x > 0)

Cách 1 — Viết lại dạng lũy thừa

x√x = x × x^(1/2) = x^(1 + 1/2) = x^(3/2)

∫x^(3/2) dx = x^(3/2+1)/(3/2+1) + C = x^(5/2)/(5/2) + C = (2/5)x^(5/2) + C

= (2/5)x²√x + C

Cách 2 — Viết kết quả dạng khác

∫x^(3/2) dx = (2/5)x^(5/2) + C = (2/5)√(x⁵) + C

---

Câu c) ∫(3/x - 5∛x) dx (x > 0)

Cách 1 — Tách thành hai tích phân

∫(3/x - 5∛x) dx = 3∫(1/x) dx - 5∫x^(1/3) dx

Tính từng phần:

• 3∫(1/x) dx = 3 ln|x| = 3 ln x (vì x > 0)

• 5∫x^(1/3) dx = 5 × x^(1/3+1)/(1/3+1) = 5 × x^(4/3)/(4/3) = 5 × (3/4)x^(4/3) = (15/4)x^(4/3)

Kết quả:

∫(3/x - 5∛x) dx = 3 ln x - (15/4)x^(4/3) + C = 3 ln x - (15/4)∛(x⁴) + C

Cách 2 — Viết gọn

= 3 ln x - (15/4)x × ∛x + C

💡 Mẹo nhớ: ∛x = x^(1/3), nên x^(4/3) = x × x^(1/3) = x∛x

---

HĐ6. Khám phá nguyên hàm của hàm số lượng giác

a) Đề bài: Tính đạo hàm của các hàm số sau và nêu kết quả tương ứng vào bảng.

Lời giải

• (sin x)' = cos x
• (cos x)' = -sin x
• (tan x)' = 1/cos²x
• (cot x)' = -1/sin²x

Bảng kết quả:

---

b) Đề bài: Sử dụng kết quả ở câu a, tìm nguyên hàm của các hàm số cho trong bảng.

Lời giải

Từ câu a, ta suy ngược:

• Vì (sin x)' = cos x nên ∫cos x dx = sin x + C
• Vì (cos x)' = -sin x nên ∫sin x dx = -cos x + C
• Vì (tan x)' = 1/cos²x nên ∫(1/cos²x) dx = tan x + C
• Vì (cot x)' = -1/sin²x nên ∫(1/sin²x) dx = -cot x + C

Bảng kết quả:

⚠️ Lưu ý thi: Chú ý dấu âm trong ∫sin x dx = -cos x + C và ∫(1/sin²x) dx = -cot x + C.

---

Luyện tập 6. Tìm:

a) ∫(3cos x - 4sin x) dx

b) ∫(1/cos²x - 1/sin²x) dx

---

Câu a) ∫(3cos x - 4sin x) dx

Cách 1 — Tách thành tổng

∫(3cos x - 4sin x) dx = 3∫cos x dx - 4∫sin x dx

= 3 sin x - 4(-cos x) + C

= 3 sin x + 4 cos x + C

Cách 2 — Kiểm tra bằng đạo hàm

(3 sin x + 4 cos x)' = 3 cos x + 4(-sin x) = 3 cos x - 4 sin x ✓

---

Câu b) ∫(1/cos²x - 1/sin²x) dx

Cách 1 — Tách thành tổng

∫(1/cos²x - 1/sin²x) dx = ∫(1/cos²x) dx - ∫(1/sin²x) dx

= tan x - (-cot x) + C

= tan x + cot x + C

Cách 2 — Kiểm tra bằng đạo hàm

(tan x + cot x)' = 1/cos²x + (-(-1/sin²x)) = 1/cos²x - 1/sin²x ✓

---

🎯 Ghi nhớ

Công thức nguyên hàm cơ bản cần thuộc: 1. ∫x^α dx = x^(α+1)/(α+1) + C (α ≠ -1) 2. ∫(1/x) dx = ln|x| + C 3. ∫cos x dx = sin x + C 4. ∫sin x dx = -cos x + C 5. ∫(1/cos²x) dx = tan x + C 6. ∫(1/sin²x) dx = -cot x + C Lưu ý quan trọng: - Luôn viết lại về dạng lũy thừa trước khi tính nguyên hàm - Không quên hằng số C - Chú ý dấu âm trong các công thức lượng giác