Giải Toàn 12 - Tập Hai trang 64

🔍 Kiến thức cần nhớ

1. Phương trình mặt cầu

• Dạng chính tắc: (x - a)² + (y - b)² + (z - c)² = R²
• Tâm I(a; b; c), bán kính R
• Dạng khai triển: x² + y² + z² - 2ax - 2by - 2cz + d = 0
• Tâm I(a; b; c), bán kính R = √(a² + b² + c² - d)

2. Phương trình mặt phẳng

• Phương trình tổng quát: Ax + By + Cz + D = 0
• Vector pháp tuyến: n⃗ = (A; B; C)

3. Phương trình đường thẳng

• Dạng chính tắc: (x - x₀)/a = (y - y₀)/b = (z - z₀)/c
• Dạng tham số: x = x₀ + at, y = y₀ + bt, z = z₀ + ct

4. Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

d(M, (P)) = |Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D| / √(A² + B² + C²)

---

⚙️ Bài tập

---

Câu 5.38

Đề bài: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): (x + 1)² + y² + (z - 3)² = 4. Tọa độ tâm I và bán kính R của (S) lần lượt là

A. I(1; 0; 3), R = 4
B. I(1; 0; 3), R = 2
C. I(-1; 0; 3), R = 2
D. I(-1; 0; 3), R = 4

Cách 1 — So sánh với dạng chính tắc

Bước 1: Nhận dạng phương trình mặt cầu

Phương trình mặt cầu dạng chính tắc: (x - a)² + (y - b)² + (z - c)² = R²

Bước 2: So sánh với phương trình đã cho

(x + 1)² + y² + (z - 3)² = 4

Ta viết lại: (x - (-1))² + (y - 0)² + (z - 3)² = 2²

Bước 3: Xác định tâm và bán kính

• Tâm I(-1; 0; 3)
• R² = 4 ⟹ R = 2

Đáp án: C. I(-1; 0; 3), R = 2

Cách 2 — Nhận dạng nhanh

• Với (x + 1)²: tọa độ x của tâm là -1 (đổi dấu)
• Với y²: tọa độ y của tâm là 0
• Với (z - 3)²: tọa độ z của tâm là 3
• R = √4 = 2

💡 Mẹo nhớ: Tọa độ tâm luôn đổi dấu so với số trong ngoặc: (x + 1)² → x_tâm = -1

---

Câu 5.39

Đề bài: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): x² + y² + z² - 2x + 4y + 2z - 3 = 0. Tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu (S) lần lượt là

A. I(1; -2; -1), R = 3
B. I(1; 2; 1), R = 9
C. I(1; 2; 1), R = 3
D. I(1; -2; -1), R = 9

Cách 1 — Đưa về dạng chính tắc

Bước 1: Nhóm và biến đổi

x² - 2x + y² + 4y + z² + 2z = 3

Bước 2: Thêm bớt để tạo bình phương hoàn chỉnh

(x² - 2x + 1) + (y² + 4y + 4) + (z² + 2z + 1) = 3 + 1 + 4 + 1

(x - 1)² + (y + 2)² + (z + 1)² = 9

Bước 3: Xác định tâm và bán kính

• Tâm I(1; -2; -1)
• R² = 9 ⟹ R = 3

Đáp án: A. I(1; -2; -1), R = 3

Cách 2 — Dùng công thức trực tiếp

Với phương trình: x² + y² + z² - 2ax - 2by - 2cz + d = 0

So sánh: x² + y² + z² - 2x + 4y + 2z - 3 = 0

Ta có:

• -2a = -2 ⟹ a = 1
• -2b = 4 ⟹ b = -2
• -2c = 2 ⟹ c = -1
• d = -3

Tâm I(1; -2; -1)

R = √(a² + b² + c² - d) = √(1 + 4 + 1 + 3) = √9 = 3

⚠️ Lưu ý thi: Công thức nhanh: hệ số của -2ax, -2by, -2cz cho tọa độ tâm (chia cho -2 và đổi dấu hệ số y, z)

---

Câu 5.40

Đề bài: Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1; 0; -1), B(0; 1; 2), C(-1; -2; 3).

a) Viết phương trình mặt phẳng (ABC)

Cách 1 — Dùng vector pháp tuyến

Bước 1: Tìm hai vector chỉ phương

AB⃗ = (0 - 1; 1 - 0; 2 - (-1)) = (-1; 1; 3)

AC⃗ = (-1 - 1; -2 - 0; 3 - (-1)) = (-2; -2; 4)

Bước 2: Tìm vector pháp tuyến n⃗ = AB⃗ × AC⃗

n⃗ = |i j k |

|-1 1 3 |

|-2 -2 4 |

n⃗ = (1×4 - 3×(-2); 3×(-2) - (-1)×4; (-1)×(-2) - 1×(-2))

n⃗ = (4 + 6; -6 + 4; 2 + 2)
n⃗ = (10; -2; 4)

Rút gọn: n⃗ = (5; -1; 2)

Bước 3: Viết phương trình mặt phẳng qua A(1; 0; -1)

5(x - 1) - 1(y - 0) + 2(z + 1) = 0

5x - 5 - y + 2z + 2 = 0

Phương trình (ABC): 5x - y + 2z - 3 = 0

Cách 2 — Dùng định thức

Phương trình mặt phẳng qua A, B, C:

|x - 1 y - 0 z + 1|

|-1 1 3 | = 0

|-2 -2 4 |

Khai triển cũng cho: 5x - y + 2z - 3 = 0

---

b) Viết phương trình đường thẳng AC

Cách 1 — Dùng vector chỉ phương

Bước 1: Vector chỉ phương

AC⃗ = (-2; -2; 4)

Rút gọn: u⃗ = (1; 1; -2)

Bước 2: Viết phương trình đường thẳng qua A(1; 0; -1)

Dạng chính tắc: (x - 1)/1 = y/1 = (z + 1)/(-2)

Dạng tham số:

• x = 1 + t
• y = t
• z = -1 - 2t

---

c) Viết phương trình mặt cầu đường kính AC

Cách 1 — Tìm tâm và bán kính

Bước 1: Tìm tâm I (trung điểm AC)

I = ((1 + (-1))/2; (0 + (-2))/2; (-1 + 3)/2) = (0; -1; 1)

Bước 2: Tìm bán kính R = AC/2

AC = √((-2)² + (-2)² + 4²) = √(4 + 4 + 16) = √24 = 2√6

R = √6

Bước 3: Viết phương trình mặt cầu

Phương trình: x² + (y + 1)² + (z - 1)² = 6

Cách 2 — Dùng điều kiện góc vuông

Điểm M nằm trên mặt cầu đường kính AC khi MA⃗ · MC⃗ = 0

MA⃗ = (1 - x; -y; -1 - z)

MC⃗ = (-1 - x; -2 - y; 3 - z)

(1 - x)(-1 - x) + (-y)(-2 - y) + (-1 - z)(3 - z) = 0

-(1 - x²) + y(2 + y) - (3 - z²) - 2z = 0

x² - 1 + 2y + y² - 3 + z² - 2z = 0

x² + y² + z² + 2y - 2z - 4 = 0

Hay: x² + (y + 1)² + (z - 1)² = 6

---

d) Viết phương trình mặt cầu có tâm A và đi qua B

Bước 1: Tâm I ≡ A(1; 0; -1)

Bước 2: Bán kính R = AB

R = √((0-1)² + (1-0)² + (2-(-1))²) = √(1 + 1 + 9) = √11

Bước 3: Viết phương trình mặt cầu

(x - 1)² + y² + (z + 1)² = 11

---

Câu 5.41

Đề bài: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d:

• x = 1 + t
• y = -2 + t
• z = 4 - 2t

Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và gốc tọa độ O.

Cách 1 — Dùng hai vector

Bước 1: Xác định các yếu tố của d

• Điểm M(1; -2; 4) thuộc d (khi t = 0)
• Vector chỉ phương u⃗ = (1; 1; -2)

Bước 2: Tìm vector OM⃗

OM⃗ = (1; -2; 4)

Bước 3: Tìm vector pháp tuyến n⃗ = u⃗ × OM⃗

n⃗ = |i j k |

|1 1 -2|

|1 -2 4|

n⃗ = (1×4 - (-2)×(-2); (-2)×1 - 1×4; 1×(-2) - 1×1)

n⃗ = (4 - 4; -2 - 4; -2 - 1)
n⃗ = (0; -6; -3)

Rút gọn: n⃗ = (0; 2; 1)

Bước 4: Viết phương trình mặt phẳng qua O(0; 0; 0)

0(x - 0) + 2(y - 0) + 1(z - 0) = 0

Phương trình (P): 2y + z = 0

Cách 2 — Kiểm tra

Kiểm tra:

• O(0; 0; 0): 2(0) + 0 = 0 ✓
• M(1; -2; 4): 2(-2) + 4 = 0 ✓
• n⃗ · u⃗ = 0×1 + 2×1 + 1×(-2) = 0 ✓

---

Câu 5.42

Đề bài: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): x - 2y + 2z - 1 = 0 và hai điểm A(1; -1; 2), B(-1; 1; 0).

a) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (P)

Cách 1 — Công thức khoảng cách

d(A, (P)) = |1×1 + (-2)×(-1) + 2×2 - 1| / √(1² + (-2)² + 2²)

d(A, (P)) = |1 + 2 + 4 - 1| / √(1 + 4 + 4)

d(A, (P)) = |6| / √9 = 6/3 = 2

---

b) Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua A và song song với mặt phẳng (P)

Cách 1 — Dùng vector pháp tuyến chung

(Q) // (P) nên (Q) có cùng vector pháp tuyến n⃗ = (1; -2; 2)

Phương trình (Q) qua A(1; -1; 2):

1(x - 1) - 2(y + 1) + 2(z - 2) = 0

x - 1 - 2y - 2 + 2z - 4 = 0

Phương trình (Q): x - 2y + 2z - 7 = 0

---

c) Viết phương trình mặt phẳng (R) chứa A, B và vuông góc với mặt phẳng (P)

Cách 1 — Dùng tích có hướng

Bước 1: Tìm vector AB⃗

AB⃗ = (-1 - 1; 1 - (-1); 0 - 2) = (-2; 2; -2)

Bước 2: Vector pháp tuyến của (P)

n⃗_P = (1; -2; 2)

Bước 3: Tìm vector pháp tuyến của (R)

(R) ⊥ (P) và chứa AB, nên n⃗_R = AB⃗ × n⃗_P

n⃗_R = |i j k |

|-2 2 -2|

|1 -2 2|

n⃗_R = (2×2 - (-2)×(-2); (-2)×1 - (-2)×2; (-2)×(-2) - 2×1)

n⃗_R = (4 - 4; -2 + 4; 4 - 2)
n⃗_R = (0; 2; 2)

Rút gọn: n⃗_R = (0; 1; 1)

Bước 4: Viết phương trình (R) qua A(1; -1; 2)

0(x - 1) + 1(y + 1) + 1(z - 2) = 0

Phương trình (R): y + z - 1 = 0

---

Câu 5.43

Đề bài: Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1; 0; 2) và hai đường thẳng:

• d: x/1 = (y - 1)/2 = z/2
• d': (x + 1)/2 = (y + 2)/2 = (z - 3)/(-1)

a) Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng d và d'

Cách 1 — Kiểm tra điều kiện

Bước 1: Xác định các yếu tố

• d qua M(0; 1; 0), u⃗ = (1; 2; 2)
• d' qua N(-1; -2; 3), v⃗ = (2; 2; -1)

Bước 2: Kiểm tra song song

u⃗ = k·v⃗? → 1/2 ≠ 2/2 → Không song song

Bước 3: Kiểm tra cắt nhau hay chéo nhau

Tính MN⃗ = (-1 - 0; -2 - 1; 3 - 0) = (-1; -3; 3)

Tính [u⃗, v⃗, MN⃗]:

|1 2 2 |

|2 2 -1 | = 1×(2×3 - (-1)×(-3)) - 2×(2×3 - (-1)×(-1)) + 2×(2×(-3) - 2×(-1))

|-1 -3 3|

= 1×(6 - 3) - 2×(6 - 1) + 2×(-6 + 2)

= 1×3 - 2×5 + 2×(-4)

= 3 - 10 - 8 = -15 ≠ 0

Kết luận: d và d' chéo nhau

---

b) Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua A và song song với đường thẳng d

Bước 1: Δ // d nên Δ có vector chỉ phương u⃗ = (1; 2; 2)

Bước 2: Δ qua A(1; 0; 2)

Phương trình Δ: (x - 1)/1 = y/2 = (z - 2)/2

---

c) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa A và d

Bước 1: d qua M(0; 1; 0), u⃗ = (1; 2; 2)

Bước 2: Tìm AM⃗

AM⃗ = (0 - 1; 1 - 0; 0 - 2) = (-1; 1; -2)

Bước 3: Tìm vector pháp tuyến n⃗ = u⃗ × AM⃗

n⃗ = |i j k |

|1 2 2 |

|-1 1 -2 |

n⃗ = (2×(-2) - 2×1; 2×(-1) - 1×(-2); 1×1 - 2×(-1))

n⃗ = (-4 - 2; -2 + 2; 1 + 2)
n⃗ = (-6; 0; 3)

Rút gọn: n⃗ = (2; 0; -1)

Bước 4: Phương trình (P) qua A(1; 0; 2)

2(x - 1) + 0(y - 0) - 1(z - 2) = 0

2x - 2 - z + 2 = 0

Phương trình (P): 2x - z = 0

---

d) Tìm giao điểm của đường thẳng d với mặt phẳng (Oxz)

Bước 1: Mặt phẳng (Oxz) có phương trình y = 0

Bước 2: Phương trình tham số của d:

• x = t
• y = 1 + 2t
• z = 2t

Bước 3: Thay y = 0

1 + 2t = 0 ⟹ t = -1/2

Bước 4: Tìm tọa độ giao điểm

x = -1/2, y = 0, z = -1

Giao điểm: (-1/2; 0; -1)

---

Câu 5.44

Đề bài: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): x - 2y - 2z - 3 = 0 và đường thẳng d: (x - 1)/2 = (y + 1)/1 = z/(-1). Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa d và vuông góc với mặt phẳng (P).

Cách 1 — Dùng hai vector pháp tuyến

Bước 1: Xác định các yếu tố

• d qua M(1; -1; 0), u⃗ = (2; 1; -1)
• (P) có n⃗_P = (1; -2; -2)

Bước 2: Vector pháp tuyến của (Q)

(Q) chứa d: n⃗_Q ⊥ u⃗
(Q) ⊥ (P): n⃗_Q ⊥ n⃗_P

⟹ n⃗_Q = u⃗ × n⃗_P

n⃗_Q = |i j k |

|2 1 -1 |

|1 -2 -2 |

n⃗_Q = (1×(-2) - (-1)×(-2); (-1)×1 - 2×(-2); 2×(-2) - 1×1)

n⃗_Q = (-2 - 2; -1 + 4; -4 - 1)
n⃗_Q = (-4; 3; -5)

Bước 3: Phương trình (Q) qua M(1; -1; 0)

-4(x - 1) + 3(y + 1) - 5(z - 0) = 0

-4x + 4 + 3y + 3 - 5z = 0

Phương trình (Q): -4x + 3y - 5z + 7 = 0

Hay: 4x - 3y + 5z - 7 = 0

---

Câu 5.45

Đề bài: Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng:

• d: (x + 1)/1 = (y - 1)/2 = z/(-1)
• d': (x - 1)/1 = (y - 2)/1 = (z + 1)/2

Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và song song với đường thẳng d'.

Cách 1 — Dùng vector pháp tuyến

Bước 1: Xác định các yếu tố

• d qua M(-1; 1; 0), u⃗ = (1; 2; -1)
• d' có v⃗ = (1; 1; 2)

Bước 2: Vector pháp tuyến của (P)

(P) chứa d: n⃗ ⊥ u⃗
(P) // d': n⃗ ⊥ v⃗

⟹ n⃗ = u⃗ × v⃗

n⃗ = |i j k |

|1 2 -1 |

|1 1 2 |

n⃗ = (2×2 - (-1)×1; (-1)×1 - 1×2; 1×1 - 2×1)

n⃗ = (4 + 1; -1 - 2; 1 - 2)
n⃗ = (5; -3; -1)

Bước 3: Phương trình (P) qua M(-1; 1; 0)

5(x + 1) - 3(y - 1) - 1(z - 0) = 0

5x + 5 - 3y + 3 - z = 0

Phương trình (P): 5x - 3y - z + 8 = 0

---

Câu 5.46

Đề bài: Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): x - y - z - 1 = 0, (Q): 2x + y - z - 2 = 0 và điểm A(-1; 2; 0). Viết phương trình mặt phẳng (R) đi qua điểm A đồng thời vuông góc với cả hai mặt phẳng (P) và (Q).

Cách 1 — Dùng vector pháp tuyến

Bước 1: Vector pháp tuyến của (P) và (Q)

• n⃗_P = (1; -1; -1)
• n⃗_Q = (2; 1; -1)

Bước 2: Vector pháp tuyến của (R)

(R) ⊥ (P) và (R) ⊥ (Q) ⟹ n⃗_R // (n⃗_P × n⃗_Q)

n⃗_R = n⃗_P × n⃗_Q = |i j k |

|1 -1 -1 |

|2 1 -1 |

n⃗_R = ((-1)×(-1) - (-1)×1; (-1)×2 - 1×(-1); 1×1 - (-1)×2)

n⃗_R = (1 + 1; -2 + 1; 1 + 2)
n⃗_R = (2; -1; 3)

Bước 3: Phương trình (R) qua A(-1; 2; 0)

2(x + 1) - 1(y - 2) + 3(z - 0) = 0

2x + 2 - y + 2 + 3z = 0

Phương trình (R): 2x - y + 3z + 4 = 0

---

Câu 5.47

Đề bài: Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng:

• d: (x + 2)/1 = (y + 3)/2 = (z - 3)/(-2)
• d': x = 1 - t, y = -2 + t, z = 2t

a) Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng d và d'

Bước 1: Xác định các yếu tố

• d qua M(-2; -3; 3), u⃗ = (1; 2; -2)
• d' qua N(1; -2; 0), v⃗ = (-1; 1; 2)

Bước 2: Kiểm tra song song

u⃗ = k·v⃗? → 1/(-1) ≠ 2/1 → Không song song

Bước 3: Tính MN⃗

MN⃗ = (1 - (-2); -2 - (-3); 0 - 3) = (3; 1; -3)

Bước 4: Tính [u⃗, v⃗, MN⃗]

|1 2 -2|

|-1 1 2| = 1×(1×(-3) - 2×1) - 2×((-1)×(-3) - 2×3) + (-2)×((-1)×1 - 1×3)

|3 1 -3|

= 1×(-3 - 2) - 2×(3 - 6) + (-2)×(-1 - 3)

= 1×(-5) - 2×(-3) + (-2)×(-4)

= -5 + 6 + 8 = 9 ≠ 0

Kết luận: d và d' chéo nhau

---

b) Tính góc giữa d và d'

Bước 1: Công thức tính góc

cos φ = |u⃗ · v⃗| / (|u⃗| × |v⃗|)

Bước 2: Tính tích vô hướng

u⃗ · v⃗ = 1×(-1) + 2