Giải Toàn 12 - Táºp Hai trang 66
Lời giải chi tiết SGK Lớp 12 · Môn ToĂ¡n · Trang 66–67
📝 Tóm tắt nội dung
Đây là phần mở đầu Chương VI: Xác suất có điều kiện và Bài 18: Xác suất có điều kiện.
Nội dung chính:
Trang 64:
- Giới thiệu chương VI với các nội dung: khái niệm xác suất có điều kiện, công thức nhân xác suất, công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes
- Giới thiệu bài toán nổi tiếng "Ổ cửa bí mật" (Let's Make a Deal) - trò chơi truyền hình với 3 cánh cửa
- Mục tiêu kiến thức, kĩ năng của Bài 18
Trang 65:
- Phần 1: Xác suất có điều kiện
- Định nghĩa xác suất có điều kiện
- Công thức tính: P(A | B) = P(AB) / P(B) với P(B) > 0
- Ví dụ 1 minh họa (đã có lời giải sẵn trong SGK)
🔍 Kiến thức cần nhớ
1. Định nghĩa xác suất có điều kiện
Cho hai biến cố A và B. Xác suất của biến cố A, tính trong điều kiện biết rằng biến cố B đã xảy ra, được gọi là xác suất của A với điều kiện B và kí hiệu là P(A | B).
2. Công thức tính xác suất có điều kiện
Cho hai biến cố A và B bất kì, với P(B) > 0. Khi đó:
P(A | B) = P(AB) / P(B)
Trong đó:
- P(A | B): Xác suất của A khi biết B đã xảy ra
- P(AB): Xác suất để cả A và B cùng xảy ra
- P(B): Xác suất của biến cố B
💡 Mẹo nhớ: Công thức có thể hiểu là "trong số các trường hợp B xảy ra, tỉ lệ nào mà A cũng xảy ra"
⚙️ Bài tập
HĐ1. Hình thành khái niệm xác suất có điều kiện
Đề bài:
Trong một hộp kín có 7 chiếc bút bi xanh và 5 chiếc bút bi đen, các chiếc bút có cùng kích thước và khối lượng. Bạn Sơn lấy ngẫu nhiên một chiếc bút bi trong hộp, không trả lại. Sau đó Tùng lấy ngẫu nhiên một trong 11 chiếc bút còn lại. Tính xác suất để Tùng lấy được bút bi xanh nếu biết rằng Sơn đã lấy được bút bi đen.
Cách 1 — Phương pháp định nghĩa (trực tiếp)
Bước 1: Xác định các biến cố
- Gọi A là biến cố: "Tùng lấy được bút bi xanh"
- Gọi B là biến cố: "Sơn lấy được bút bi đen"
Bước 2: Phân tích điều kiện
- Ban đầu hộp có: 7 bút xanh + 5 bút đen = 12 bút
- Biết B xảy ra (Sơn lấy được bút đen), nên hộp còn lại:
- 7 bút xanh (không đổi)
- 4 bút đen (giảm 1)
- Tổng: 11 bút
Bước 3: Tính xác suất có điều kiện
Khi biết Sơn đã lấy bút đen, Tùng chọn ngẫu nhiên 1 bút từ 11 bút còn lại.
Số cách Tùng lấy được bút xanh: 7
Tổng số cách Tùng có thể lấy: 11
P(A | B) = 7/11
Cách 2 — Phương pháp công thức
Bước 1: Xác định không gian mẫu
Sơn chọn 1 bút từ 12 bút, Tùng chọn 1 bút từ 11 bút còn lại.
n(Ω) = 12 × 11 = 132
Bước 2: Tính P(B) — Sơn lấy được bút đen
Số cách để Sơn lấy bút đen: 5 cách
Số cách Tùng lấy 1 bút từ 11 bút còn lại: 11 cách
n(B) = 5 × 11 = 55
P(B) = n(B)/n(Ω) = 55/132
Bước 3: Tính P(AB) — Sơn lấy bút đen VÀ Tùng lấy bút xanh
Số cách Sơn lấy bút đen: 5 cách
Số cách Tùng lấy bút xanh (từ 7 bút xanh còn lại): 7 cách
n(AB) = 5 × 7 = 35
P(AB) = n(AB)/n(Ω) = 35/132
Bước 4: Áp dụng công thức xác suất có điều kiện
P(A | B) = P(AB)/P(B) = (35/132) ÷ (55/132) = 35/55 = 7/11
Đáp số: P(A | B) = 7/11
⚠️ Lưu ý thi: - Cách 1 (định nghĩa) nhanh và trực quan hơn khi bài toán đơn giản - Cách 2 (công thức) cần thiết khi bài toán phức tạp hơn hoặc đề yêu cầu - Chú ý: "không trả lại" là điều kiện quan trọng làm thay đổi số phần tử trong hộp
💡 Mẹo nhớ: Khi tính xác suất có điều kiện bằng định nghĩa, hãy tưởng tượng "điều kiện đã xảy ra" và cập nhật lại không gian mẫu mới.
🎯 Ghi nhớ: 1. Xác suất có điều kiện P(A | B) là xác suất của A khi đã biết B xảy ra 2. Công thức: P(A | B) = P(AB) / P(B) (với P(B) > 0) 3. Hai cách tiếp cận: - Trực tiếp: cập nhật không gian mẫu sau khi điều kiện xảy ra - Công thức: tính P(AB) và P(B) rồi chia