Giải Toàn 12 - Tập Hai trang 68

Tóm tắt lý thuyết

Trang này xoay quanh mối liên hệ giữa xác suất có điều kiện và tính độc lập của hai biến cố:

• Công thức xác suất có điều kiện:

$$P(A \mid B) = \frac{P(AB)}{P(B)} \quad (P(B) > 0)$$

• Nếu $A$ và $B$ độc lập thì $P(AB) = P(A)\cdot P(B)$, từ đó:

$$P(A \mid B) = P(A), \qquad P(B \mid A) = P(B)$$

• Tính chất kế thừa từ lớp 11: nếu $A$ và $B$ độc lập thì các cặp $\overline{A}$ và $B$; $A$ và $\overline{B}$ cũng độc lập.

Ý nghĩa: khi hai biến cố độc lập, việc một biến cố xảy ra không làm thay đổi xác suất của biến cố kia.

---

Luyện tập 1: Tính $P(A \mid \overline{B})$ bằng định nghĩa và bằng công thức

Bài này yêu cầu quay lại Ví dụ 1 (ở trang trước, không có trong ảnh). Thầy hướng dẫn phương pháp chung để em tự áp dụng số liệu của Ví dụ 1:

Cách 1 – Dùng định nghĩa (đếm trực tiếp):
$$P(A \mid \overline{B}) = \frac{n(A\overline{B})}{n(\overline{B})}$$
Tức là trong số các kết quả thuộc $\overline{B}$ (biến cố $B$ không xảy ra), ta đếm xem có bao nhiêu kết quả đồng thời thuộc $A$, rồi lấy tỉ số.

Cách 2 – Dùng công thức:

$$P(A \mid \overline{B}) = \frac{P(A\overline{B})}{P(\overline{B})}, \qquad P(\overline{B}) = 1 - P(B)$$

Hai cách phải cho cùng một kết quả, vì thực chất công thức được suy ra từ định nghĩa (chia cả tử và mẫu cho $n(\Omega)$).

---

Ví dụ 2: Chứng minh quan hệ độc lập ⇔ xác suất có điều kiện

Đề: Cho $P(A) > 0,\ P(B) > 0$.

• a) Từ công thức $P(A\mid B)$, chứng minh nếu $A, B$ độc lập thì $P(A\mid B) = P(A)$ và $P(B\mid A) = P(B)$.
• b) Từ định nghĩa, chứng tỏ điều tương tự.

Lời giải (theo sách):

a) Vì $A, B$ độc lập nên $P(AB) = P(A)\cdot P(B)$. Do đó:
$$P(A \mid B) = \frac{P(AB)}{P(B)} = \frac{P(A)\cdot P(B)}{P(B)} = P(A)$$
$$P(B \mid A) = \frac{P(BA)}{P(A)} = \frac{P(B)\cdot P(A)}{P(A)} = P(B)$$

b) Theo định nghĩa, $P(A\mid B)$ là xác suất của $A$ khi biết $B$ đã xảy ra. Vì $A, B$ độc lập nên việc $B$ xảy ra không ảnh hưởng tới $A$, suy ra $P(A\mid B) = P(A)$. Tương tự $P(B\mid A) = P(B)$.

---

Luyện tập 2: Chứng tỏ với $A, B$ độc lập thì $P(\overline{A}\mid B) = P(\overline{A})$ và $P(A\mid \overline{B}) = P(A)$

Đề: Chứng tỏ rằng nếu $A$ và $B$ là hai biến cố độc lập thì:
$$P(\overline{A}\mid B) = P(\overline{A}) \quad \text{và} \quad P(A\mid \overline{B}) = P(A)$$

Lời giải:

Dùng tính chất đã học ở lớp 11: nếu $A$ và $B$ độc lập thì cặp $\overline{A}$ và $B$; cặp $A$ và $\overline{B}$ cũng độc lập.

Chứng minh $P(\overline{A}\mid B) = P(\overline{A})$:

Vì $\overline{A}$ và $B$ độc lập nên $P(\overline{A}B) = P(\overline{A})\cdot P(B)$. Do đó:
$$P(\overline{A}\mid B) = \frac{P(\overline{A}B)}{P(B)} = \frac{P(\overline{A})\cdot P(B)}{P(B)} = P(\overline{A})$$

Chứng minh $P(A\mid \overline{B}) = P(A)$:

Vì $A$ và $\overline{B}$ độc lập nên $P(A\overline{B}) = P(A)\cdot P(\overline{B})$. Do đó:
$$P(A\mid \overline{B}) = \frac{P(A\overline{B})}{P(\overline{B})} = \frac{P(A)\cdot P(\overline{B})}{P(\overline{B})} = P(A)$$

Vậy điều phải chứng minh.

---

Ví dụ 3: Bảng dữ liệu thống kê 2 × 2 (thắt dây an toàn và tử vong)

Bảng số liệu trong 577 006 vụ tai nạn:

Chọn ngẫu nhiên một người lái xe bị tai nạn. Gọi:

• $A$: "Người lái xe tử vong"
• $B$: "Người lái xe không thắt dây an toàn"

Không gian mẫu: $n(\Omega) = 577\,006$.

Câu a) Xác suất tử vong khi không thắt dây an toàn — tính $P(A\mid B)$

Số người không thắt dây an toàn:

$$n(B) = 162\,527 + 1\,601 = 164\,128 \Rightarrow P(B) = \frac{164\,128}{577\,006}$$

Số người vừa tử vong vừa không thắt dây: $n(AB) = 1\,601$, nên:
$$P(AB) = \frac{1\,601}{577\,006}$$

Do đó:
$$P(A\mid B) = \frac{P(AB)}{P(B)} = \frac{1\,601}{164\,128} \approx 9{,}755\cdot 10^{-3} = 0{,}009755$$

Câu b) Xác suất tử vong khi có thắt dây an toàn — tính $P(A\mid \overline{B})$

$\overline{B}$: "Người lái xe có thắt dây an toàn".

Số người có thắt dây:

$$n(\overline{B}) = 412\,368 + 510 = 412\,878$$

Số người vừa tử vong vừa có thắt dây: $n(A\overline{B}) = 510$. Do đó:
$$P(A\mid \overline{B}) = \frac{P(A\overline{B})}{P(\overline{B})} = \frac{510}{412\,878} \approx 1{,}235\cdot 10^{-3} = 0{,}001235$$

Câu c) So sánh và kết luận

$$\frac{P(A\mid B)}{P(A\mid \overline{B})} \approx \frac{9{,}755\cdot 10^{-3}}{1{,}235\cdot 10^{-3}} \approx 7{,}9 \Rightarrow P(A\mid B) \approx 7{,}9\cdot P(A\mid \overline{B})$$

Kết luận: Xác suất tử vong của người không thắt dây an toàn cao gấp khoảng 7,9 lần so với người có thắt dây an toàn. Nói cách khác, không thắt dây an toàn làm tăng nguy cơ tử vong khi xảy ra tai nạn lên khoảng 7,9 lần. Đây chính là lý do quan trọng để luôn thắt dây an toàn khi lái xe.