Giải Toàn 12 - Tập Hai trang 70

Một lưu ý nhỏ trước khi bắt đầu: ảnh em gửi thực ra là trang 68 – 69 của sách (xem số trang ở góc dưới). Cô vẫn giải đầy đủ toàn bộ nội dung trên hai trang này nhé.

Tóm tắt lý thuyết: Công thức nhân xác suất

Với hai biến cố $A$ và $B$ bất kì:

$$P(AB) = P(B)\cdot P(A\mid B) = P(A)\cdot P(B\mid A)$$

Đặc biệt, nếu $A$ và $B$ độc lập thì:

$$P(AB) = P(A)\cdot P(B)$$

Công thức này thường được minh họa bằng sơ đồ hình cây: xác suất của một "đường đi" bằng tích các xác suất ghi trên các nhánh dọc theo đường đó.

---

Bài Luyện tập 3: So sánh tác dụng của thuốc M và N

Bảng số liệu:

a) Tính P(uống thuốc M | khỏi bệnh)

Gọi $M$ là biến cố "bệnh nhân uống thuốc M", $K$ là biến cố "bệnh nhân khỏi bệnh".

Số bệnh nhân khỏi bệnh là $2\,800$, trong đó $1\,600$ người uống thuốc M:

$$P(M\mid K) = \frac{1\,600}{2\,800} = \frac{4}{7} \approx 0{,}571$$

b) Tính P(uống thuốc N | không khỏi bệnh)

Gọi $N$ là biến cố "uống thuốc N", $\overline{K}$ là biến cố "không khỏi bệnh".

Số bệnh nhân không khỏi bệnh là $1\,200$, trong đó $400$ người uống thuốc N:

$$P(N\mid \overline{K}) = \frac{400}{1\,200} = \frac{1}{3} \approx 0{,}333$$

---

Bài HĐ2: Hình thành công thức nhân xác suất

Đề: Chứng minh rằng với hai biến cố $A$, $B$ mà $P(B) > 0$, ta có $P(AB) = P(B)\cdot P(A\mid B)$.

Lời giải: Theo định nghĩa xác suất có điều kiện, vì $P(B) > 0$ nên:

$$P(A\mid B) = \frac{P(AB)}{P(B)}$$

Nhân cả hai vế với $P(B)$:

$$P(B)\cdot P(A\mid B) = P(AB) \quad\Rightarrow\quad P(AB) = P(B)\cdot P(A\mid B)$$

Lưu ý: Nếu $P(B) = 0$ thì $P(AB) = 0$, nên công thức vẫn đúng với mọi biến cố. Do $AB = BA$ nên cũng có $P(AB) = P(A)\cdot P(B\mid A)$.

---

Bài Ví dụ 4 (tham khảo)

Đề: Hộp có 7 bút xanh và 5 bút đen. Sơn lấy 1 bút (không trả lại), sau đó Tùng lấy 1 trong 11 bút còn lại. Tính xác suất Sơn lấy được bút đen và Tùng lấy được bút xanh.

Lời giải: Gọi $A$: "Sơn lấy được bút đen", $B$: "Tùng lấy được bút xanh".

• $P(A) = \dfrac{5}{12}$ (5 bút đen trên tổng 12 bút).
• Khi $A$ xảy ra, hộp còn 11 bút với 7 bút xanh nên $P(B\mid A) = \dfrac{7}{11}$.

$$P(AB) = P(A)\cdot P(B\mid A) = \frac{5}{12}\cdot\frac{7}{11} = \frac{35}{132}$$

---

Bài Luyện tập 4: Trở lại Ví dụ 4

Hộp ban đầu: 7 bút xanh, 5 bút đen, tổng 12 bút.

a) Sơn lấy được bút xanh và Tùng lấy được bút đen

Gọi $X$: "Sơn lấy được bút xanh", $Đ$: "Tùng lấy được bút đen".

• $P(X) = \dfrac{7}{12}$.
• Khi Sơn lấy xanh, còn 11 bút với 5 bút đen nên $P(Đ\mid X) = \dfrac{5}{11}$.

$$P(X\,Đ) = \frac{7}{12}\cdot\frac{5}{11} = \frac{35}{132} \approx 0{,}265$$

b) Hai chiếc bút lấy ra có cùng màu

Có hai trường hợp loại trừ nhau: cùng xanh hoặc cùng đen.

Cùng xanh: $\dfrac{7}{12}\cdot\dfrac{6}{11} = \dfrac{42}{132}$

Cùng đen: $\dfrac{5}{12}\cdot\dfrac{4}{11} = \dfrac{20}{132}$

Cộng lại:

$$P(\text{cùng màu}) = \frac{42}{132} + \frac{20}{132} = \frac{62}{132} = \frac{31}{66} \approx 0{,}470$$

---

Bài Vận dụng: Trò chơi "Ô cửa bí mật"

Người chơi chọn cửa số 1, người quản trò mở cửa số 3 (thấy con lừa).

Kí hiệu: $E_1, E_2, E_3$ là biến cố "Sau ô cửa 1, 2, 3 có ô tô"; $H$ là biến cố "Người quản trò mở cửa số 3 thấy con lừa".

a) Chứng minh các xác suất

Chứng minh $P(E_1) = P(E_2) = P(E_3) = \dfrac{1}{3}$:

Ô tô được đặt ngẫu nhiên sau một trong ba ô cửa, khả năng ở mỗi cửa là như nhau. Do đó:

$$P(E_1) = P(E_2) = P(E_3) = \frac{1}{3}$$

Chứng minh $P(H\mid E_1) = \dfrac{1}{2}$:

Giả sử ô tô ở sau cửa số 1 (cửa người chơi chọn). Khi đó sau cửa số 2 và cửa số 3 đều là con lừa. Người quản trò phải mở một trong hai cửa còn lại (2 hoặc 3) và chọn ngẫu nhiên một cách như nhau. Xác suất mở đúng cửa số 3 là:

$$P(H\mid E_1) = \frac{1}{2}$$

Chứng minh $P(H\mid E_2) = 1$:

Giả sử ô tô ở sau cửa số 2. Người chơi đã chọn cửa số 1, nên người quản trò không được mở cửa số 1 (cửa người chơi) và không được mở cửa số 2 (có ô tô). Vậy người quản trò bắt buộc phải mở cửa số 3. Do đó:

$$P(H\mid E_2) = 1$$

Phần b) của bài Vận dụng (so sánh $P(E_1\mid H)$ và $P(E_2\mid H)$ để quyết định có đổi cửa hay không) nằm ở trang sau, không xuất hiện trong ảnh nên cô chưa giải ở đây. Nếu em gửi trang tiếp theo, cô sẽ giải nốt nhé.