Giải Toàn 12 - Tập Hai trang 72

Tóm tắt lý thuyết

Hai trang này gồm phần cuối của bài toán Monty Hall (ứng dụng công thức Bayes) và mục BÀI TẬP về xác suất có điều kiện.

Các công thức then chốt cần nhớ:

• Công thức nhân xác suất: $P(A \cap B) = P(A)\cdot P(B\mid A)$
• Xác suất có điều kiện: $P(A\mid B) = \dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}$
• Công thức Bayes: $P(E_i\mid H) = \dfrac{P(E_i)\cdot P(H\mid E_i)}{P(H)}$

Phần "Em có biết?" giới thiệu công nghệ cập nhật Bayesian (Bayesian updating): liên tục cập nhật hiểu biết về một vấn đề khi có thêm thông tin mới, được dùng trong khoa học, y học, cứu hộ (ví dụ cứu ngư dân John Aldridge ngoài biển).

Phần đầu trang: Bài toán Monty Hall (câu b, c)

Đặt $E_1$: ô tô sau cửa số 1 (cửa người chơi chọn), $E_2$: ô tô sau cửa số 2. Ban đầu $P(E_1)=P(E_2)=\dfrac{1}{3}$. Biến cố $H$: người quản trò mở một cửa (chứa con lừa).

Đề cho: $P(H\mid E_1)=\dfrac{1}{2}$ và $P(H\mid E_2)=1$.

b) Chứng minh hai công thức.

Theo công thức nhân xác suất: $P(E_1\cap H)=P(E_1)\cdot P(H\mid E_1)$. Do đó

$$P(E_1\mid H)=\frac{P(E_1\cap H)}{P(H)}=\frac{P(E_1)\cdot P(H\mid E_1)}{P(H)}.$$

Tương tự:

$$P(E_2\mid H)=\frac{P(E_2)\cdot P(H\mid E_2)}{P(H)}.$$

c) Lập tỉ số hai biểu thức trên (mẫu $P(H)$ triệt tiêu):

$$\frac{P(E_2\mid H)}{P(E_1\mid H)}=\frac{P(E_2)\cdot P(H\mid E_2)}{P(E_1)\cdot P(H\mid E_1)}=\frac{\frac{1}{3}\cdot 1}{\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}}=2.$$

Vậy $P(E_2\mid H)=2P(E_1\mid H)$.

Lời khuyên: Người chơi nên CHUYỂN sang cửa còn lại chưa mở, vì xác suất trúng ô tô ở cửa đó gấp đôi so với giữ nguyên lựa chọn ban đầu.

Bài 6.1: Rút thẻ số chẵn

Đề: Hộp có 20 thẻ đánh số 1 đến 20. Rút ngẫu nhiên 1 thẻ, được báo là thẻ mang số chẵn. Tính xác suất rút được thẻ số 10.

Gọi $A$: "rút được thẻ số 10", $B$: "rút được thẻ số chẵn".

Số chẵn từ 1 đến 20 gồm: 2, 4, 6, …, 20 → có 10 thẻ. Trong đó số 10 là một thẻ.

$$P(A\mid B)=\frac{1}{10}.$$

Vì khi đã biết thẻ là số chẵn, ta chỉ còn 10 khả năng đồng khả năng, số 10 là một trong số đó.

Bài 6.2: Tính P(A | B)

Đề: Cho $P(A)=0,2$; $P(B)=0,51$; $P(B\mid A)=0,8$. Tính $P(A\mid B)$.

Theo công thức nhân: $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B\mid A)=0,2\cdot 0,8=0,16$.

$$P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{0,16}{0,51}=\frac{16}{51}\approx 0,314.$$

Bài 6.3: Gieo hai con xúc xắc – tổng bằng 7 và mặt 5

Không gian mẫu có $36$ kết quả đồng khả năng.

a) Đề: Tính xác suất tổng số chấm bằng 7, biết rằng ít nhất một con xuất hiện mặt 5 chấm.

Gọi $A$: "ít nhất một con ra mặt 5". Các kết quả có mặt 5: $(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(1,5),(2,5),(3,5),(4,5),(6,5)$ → có 11 kết quả.

Gọi $B$: "tổng bằng 7". $A\cap B$ là tổng 7 và có mặt 5: $(5,2),(2,5)$ → 2 kết quả.

$$P(B\mid A)=\frac{n(A\cap B)}{n(A)}=\frac{2}{11}.$$

b) Đề: Tính xác suất có ít nhất một con ra mặt 5, biết rằng tổng số chấm bằng 7.

Tổng bằng 7: $(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)$ → 6 kết quả. Trong đó có mặt 5: $(2,5),(5,2)$ → 2 kết quả.

$$P(A\mid B)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}.$$

Bài 6.4: Tổng không nhỏ hơn 10 khi có mặt 5

Đề: Gieo hai con xúc xắc cân đối. Tính xác suất tổng số chấm không nhỏ hơn 10, biết rằng có ít nhất một con xuất hiện mặt 5 chấm.

Gọi $A$: "ít nhất một con ra mặt 5" → $n(A)=11$ (như Bài 6.3).

Gọi $C$: "tổng $\geq 10$" (tức tổng bằng 10, 11 hoặc 12). $A\cap C$ là các kết quả vừa có mặt 5 vừa có tổng $\geq 10$:

→ có 3 kết quả.

$$P(C\mid A)=\frac{3}{11}.$$

Bài 6.5: Hai thí nghiệm liên tiếp

Đề: Thí nghiệm 1 thành công với xác suất 0,7. Nếu TN1 thành công thì TN2 thành công với xác suất 0,9; nếu TN1 không thành công thì TN2 thành công với xác suất 0,4.

Gọi $A$: "TN1 thành công", $B$: "TN2 thành công". Khi đó:

• $P(A)=0,7 \Rightarrow P(\overline{A})=0,3$
• $P(B\mid A)=0,9$, $P(B\mid \overline{A})=0,4$

a) Cả hai cùng thành công:

$$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B\mid A)=0,7\cdot 0,9=0,63.$$

b) Cả hai cùng không thành công:

$$P(\overline{A}\cap \overline{B})=P(\overline{A})\cdot P(\overline{B}\mid \overline{A})=0,3\cdot(1-0,4)=0,3\cdot 0,6=0,18.$$

c) TN1 thành công, TN2 không thành công:

$$P(A\cap \overline{B})=P(A)\cdot P(\overline{B}\mid A)=0,7\cdot(1-0,9)=0,7\cdot 0,1=0,07.$$

Bài 6.6: Tìm số kẹo ban đầu

Đề: Túi có một số kẹo cùng loại khác màu, trong đó 6 cái màu cam, còn lại màu vàng. Hà lấy lần lượt 2 cái (không trả lại). Biết xác suất cả hai cái đều màu cam là $\dfrac{1}{3}$. Hỏi ban đầu túi có bao nhiêu cái kẹo?

Gọi $n$ là tổng số kẹo ban đầu ($n>6$).

• Lần 1 lấy được kẹo cam: xác suất $\dfrac{6}{n}$
• Lần 2 lấy được kẹo cam (còn 5 cam trong $n-1$ kẹo): xác suất $\dfrac{5}{n-1}$

Xác suất cả hai cùng cam:

$$\frac{6}{n}\cdot\frac{5}{n-1}=\frac{1}{3}.$$

Suy ra:

$$\frac{30}{n(n-1)}=\frac{1}{3}\;\Rightarrow\; n(n-1)=90.$$

Giải phương trình: $n^2-n-90=0 \Rightarrow (n-10)(n+9)=0$. Vì $n>0$ nên $n=10$.

Vậy ban đầu trong túi có 10 cái kẹo.

Nếu bạn muốn mình giải thêm phần "Em có biết?" hay làm rõ chỗ nào, cứ nói nhé.