Giải Toàn 12 - Tập Hai trang 74

🔍 Kiến thức cần nhớ

Công thức xác suất toàn phần

Cho hai biến cố A và B. Khi đó, ta có công thức:

P(B) = P(A) × P(B | A) + P(Ā) × P(B | Ā)

Trong đó:

• P(A): Xác suất xảy ra biến cố A
• P(Ā) = 1 - P(A): Xác suất không xảy ra biến cố A
• P(B | A): Xác suất có điều kiện của B khi A xảy ra
• P(B | Ā): Xác suất có điều kiện của B khi A không xảy ra

💡 Mẹo nhớ: Công thức xác suất toàn phần chia không gian mẫu thành hai phần (A xảy ra và A không xảy ra), sau đó tính xác suất B trong mỗi phần rồi cộng lại.

---

⚙️ Bài tập

HĐ1. Hình thành công thức xác suất toàn phần

Đề bài:
Gọi A là biến cố "Trời mưa" và B là biến cố "Bán hết vé" trong tình huống mở đầu.

a) Tính P(A), P(Ā), P(B | A), P(B | Ā).

b) Trong hai xác suất P(A) và P(B), nhà tổ chức sự kiện quan tâm đến xác suất nào nhất? Dựa trên các dữ kiện đã biết, có thể tính được P(B) hay không? Công thức sau đây giúp ta trả lời cho câu hỏi này.

---

Cách 1 — Phương pháp cơ bản (đọc dữ kiện từ đề bài)

Tóm tắt dữ kiện từ tình huống mở đầu:

• Nếu trời không mưa thì xác suất bán hết vé là 0,9
• Nếu trời mưa thì xác suất bán hết vé là 0,4
• Xác suất trời mưa vào buổi biểu diễn là 0,75

Giải câu a:

• Tính P(A): A là biến cố "Trời mưa"

Theo đề bài, xác suất trời mưa là 0,75.

→ P(A) = 0,75

• Tính P(Ā): Ā là biến cố "Trời không mưa"

P(Ā) = 1 - P(A) = 1 - 0,75 = 0,25

→ P(Ā) = 0,25

• Tính P(B | A): Xác suất bán hết vé khi trời mưa

Theo đề bài, nếu trời mưa thì xác suất bán hết vé là 0,4.

→ P(B | A) = 0,4

• Tính P(B | Ā): Xác suất bán hết vé khi trời không mưa

Theo đề bài, nếu trời không mưa thì xác suất bán hết vé là 0,9.

→ P(B | Ā) = 0,9

Giải câu b:

• Nhà tổ chức sự kiện quan tâm đến xác suất P(B) (xác suất bán hết vé) nhất, vì đây là yếu tố quyết định doanh thu và thành công của sự kiện.

• Có thể tính được P(B) bằng công thức xác suất toàn phần:

P(B) = P(A) × P(B | A) + P(Ā) × P(B | Ā)

---

Cách 2 — Phương pháp sơ đồ hình cây

Vẽ sơ đồ hình cây với:

• Gốc O phân nhánh thành A (trời mưa) với xác suất 0,75 và Ā (không mưa) với xác suất 0,25
• Từ A: phân nhánh đến B (bán hết) với xác suất 0,4
• Từ Ā: phân nhánh đến B (bán hết) với xác suất 0,9

Các giá trị đọc trực tiếp từ sơ đồ:

• P(A) = 0,75
• P(Ā) = 0,25
• P(B | A) = 0,4
• P(B | Ā) = 0,9

⚠️ Lưu ý thi: Sơ đồ hình cây giúp trực quan hóa bài toán xác suất có điều kiện, tránh nhầm lẫn giữa các xác suất.

---

Luyện tập 1

Đề bài: Trở lại tình huống mở đầu Mục 1. Tính xác suất để nhà tổ chức sự kiện bán hết vé.

---

Cách 1 — Áp dụng trực tiếp công thức xác suất toàn phần

Bước 1: Xác định các biến cố

• A: "Trời mưa"
• B: "Bán hết vé"

Bước 2: Liệt kê các xác suất đã biết

• P(A) = 0,75 (xác suất trời mưa)
• P(Ā) = 1 - 0,75 = 0,25 (xác suất trời không mưa)
• P(B | A) = 0,4 (xác suất bán hết vé khi trời mưa)
• P(B | Ā) = 0,9 (xác suất bán hết vé khi trời không mưa)

Bước 3: Áp dụng công thức xác suất toàn phần

P(B) = P(A) × P(B | A) + P(Ā) × P(B | Ā)

P(B) = 0,75 × 0,4 + 0,25 × 0,9

P(B) = 0,3 + 0,225

P(B) = 0,525

---

Cách 2 — Phương pháp sơ đồ hình cây

Vẽ sơ đồ:

           Gốc O
          /     \
       0,75     0,25
        /         \
       A           Ā
      / \         / \
   0,4  0,6    0,9  0,1
    /     \     /     \
   B      B̄    B      B̄

Tính xác suất P(B):

Đường đi đến B có hai nhánh:

• Nhánh 1: O → A → B với xác suất = 0,75 × 0,4 = 0,3
• Nhánh 2: O → Ā → B với xác suất = 0,25 × 0,9 = 0,225

P(B) = 0,3 + 0,225 = 0,525

---

Kết luận: Xác suất để nhà tổ chức sự kiện bán hết vé là 0,525 (hay 52,5%).

💡 Mẹo nhớ: Khi dùng sơ đồ hình cây, xác suất của một biến cố bằng tổng tích các xác suất trên mỗi đường đi dẫn đến biến cố đó.

⚠️ Lưu ý thi: - Đọc kỹ đề để phân biệt P(B | A) (xác suất có điều kiện) với P(A ∩ B) (xác suất giao) - Công thức xác suất toàn phần thường xuất hiện trong các bài toán có "hai kịch bản" (mưa/không mưa, hỏng/không hỏng, v.v.)

---

🎯 Ghi nhớ: - Công thức xác suất toàn phần: P(B) = P(A) × P(B | A) + P(Ā) × P(B | Ā) - Luôn kiểm tra P(A) + P(Ā) = 1 - Sơ đồ hình cây là công cụ trực quan hữu ích để giải bài toán xác suất có điều kiện