Giải Toàn 12 - Tập Hai trang 76

🔍 Kiến thức cần nhớ

1. Công thức xác suất toàn phần

Nếu A và Ā là hai biến cố đối lập, thì với biến cố B bất kỳ:

P(B) = P(A) × P(B|A) + P(Ā) × P(B|Ā)

2. Công thức Bayes

Cho A và B là hai biến cố, với P(B) > 0. Khi đó:

P(A|B) = [P(A) × P(B|A)] / [P(A) × P(B|A) + P(Ā) × P(B|Ā)]

Hoặc viết gọn: P(A|B) = [P(A) × P(B|A)] / P(B)

💡 Mẹo nhớ: Công thức Bayes cho phép "đảo ngược" xác suất có điều kiện - từ P(B|A) tính được P(A|B).

---

⚙️ Bài tập

---

Câu Luyện tập 2

Đề bài: Trở lại Ví dụ 1. Sử dụng sơ đồ hình cây, hãy mô tả cách tính xác suất để thứ Tư, ông An đi làm bằng xe buýt.

Cách 1 — Phương pháp sơ đồ cây kết hợp công thức xác suất toàn phần

Bước 1: Xác định các biến cố

• Gọi A là biến cố "Thứ Ba ông An đi làm bằng xe buýt"
• Gọi Ā là biến cố "Thứ Ba ông An không đi làm bằng xe buýt" (đi xe máy)
• Gọi B là biến cố "Thứ Tư ông An đi làm bằng xe buýt"

Bước 2: Vẽ sơ đồ cây

Từ gốc phân thành 2 nhánh:

• Nhánh OA (đi xe buýt thứ Ba): ghi P(A)
• Nhánh OĀ (không đi xe buýt thứ Ba): ghi P(Ā)

Từ mỗi nhánh lại phân thành 2 nhánh con:

• Từ A: nhánh AB với P(B|A) và nhánh AĀ với P(B̄|A)
• Từ Ā: nhánh ĀB với P(B|Ā) và nhánh ĀB̄ với P(B̄|Ā)

Bước 3: Tính xác suất

Có hai nhánh đi tới B là OAB và OĀB.

Áp dụng công thức xác suất toàn phần:

P(B) = P(A) × P(B|A) + P(Ā) × P(B|Ā)

Thay số (theo dữ kiện từ Ví dụ 1):

P(B) = 0,4 × 0,3 + 0,6 × 0,4 = 0,12 + 0,24 = 0,36

Kết luận: Xác suất để thứ Tư ông An đi làm bằng xe buýt là 0,36 = 36%.

Cách 2 — Phương pháp bảng xác suất

⚠️ Lưu ý thi: Sơ đồ cây giúp trực quan hóa bài toán, đặc biệt hữu ích khi có nhiều giai đoạn liên tiếp.

---

Câu Luyện tập 3

Đề bài: Với giả thiết như vận dụng trên (về cây đậu Hà Lan).
a) Hãy ước lượng tỉ lệ cây con có kiểu gene BB.
b) Sử dụng kết quả của vận dụng trên và câu a, hãy ước lượng tỉ lệ cây con có kiểu gene Bb.

Nhắc lại thông tin từ phần Vận dụng:

• Quần thể đậu Hà Lan có tỉ lệ cây mang kiểu gene bb là 40%, kiểu gene Bb là 60%
• Cây con lấy ngẫu nhiên một gene từ cây bố và một gene từ cây mẹ
• Từ phần Vận dụng đã tính: P(E) = P(cây con có kiểu gene bb) = 0,49

Cách 1 — Phương pháp xác suất toàn phần (Cơ bản)

a) Tính tỉ lệ cây con có kiểu gene BB:

Bước 1: Xác định các biến cố

• Gọi A là biến cố "Cây bố có kiểu gene bb"
• Gọi M' là biến cố "Cây con lấy gene B từ cây bố"
• Gọi N' là biến cố "Cây con lấy gene B từ cây mẹ"
• Gọi F là biến cố "Cây con có kiểu gene BB"

Bước 2: Tính P(M') - xác suất lấy gene B từ cây bố

Áp dụng công thức xác suất toàn phần:

P(M') = P(A) × P(M'|A) + P(Ā) × P(M'|Ā)

Trong đó:

• P(A) = 0,4 (cây bố có kiểu gene bb)
• P(Ā) = 0,6 (cây bố có kiểu gene Bb)
• P(M'|A) = 0 (nếu cây bố có gene bb thì không thể lấy được gene B)
• P(M'|Ā) = 1/2 (nếu cây bố có gene Bb thì xác suất lấy gene B là 1/2)

Vậy: P(M') = 0,4 × 0 + 0,6 × 1/2 = 0 + 0,3 = 0,3

Bước 3: Tính P(N') - xác suất lấy gene B từ cây mẹ

Tương tự: P(N') = 0,4 × 0 + 0,6 × 1/2 = 0,3

Bước 4: Tính P(F)

Do M' và N' độc lập nên:
P(F) = P(M') × P(N') = 0,3 × 0,3 = 0,09

Kết luận câu a: Tỉ lệ cây con có kiểu gene BB là 9%.

---

b) Tính tỉ lệ cây con có kiểu gene Bb:

Bước 1: Nhận xét

Cây con chỉ có thể có một trong ba kiểu gene: BB, Bb, hoặc bb.

Các biến cố này xung khắc đôi một và tạo thành hệ đầy đủ:

P(kiểu BB) + P(kiểu Bb) + P(kiểu bb) = 1

Bước 2: Tính toán

Từ phần Vận dụng: P(kiểu bb) = 0,49
Từ câu a: P(kiểu BB) = 0,09

Vậy: P(kiểu Bb) = 1 - P(kiểu BB) - P(kiểu bb)

P(kiểu Bb) = 1 - 0,09 - 0,49 = 0,42

Kết luận câu b: Tỉ lệ cây con có kiểu gene Bb là 42%.

Cách 2 — Phương pháp liệt kê trực tiếp

Bảng tổng hợp các trường hợp:

Xác suất lấy gene B từ bố/mẹ: 0,6 × 1/2 = 0,3

Xác suất lấy gene b từ bố/mẹ: 0,4 × 1 + 0,6 × 1/2 = 0,4 + 0,3 = 0,7

Tính cho từng kiểu gene của cây con:

Kiểm tra: 0,09 + 0,49 + 0,42 = 1 ✓

💡 Mẹo nhớ: Tổng xác suất tất cả các kiểu gene phải bằng 1, có thể dùng điều này để kiểm tra hoặc tính nhanh.

---

Câu HĐ2: Phân biệt P(A|B) và P(B|A)

Đề bài: Trong tình huống mở đầu Mục 2, gọi A là biến cố: "Ông M mắc bệnh hiểm nghèo X"; B là biến cố: "Xét nghiệm cho kết quả dương tính".

a) Nêu các nội dung còn thiếu tương ứng với "(?)":

• P(A|B) là xác suất để (?) với điều kiện (?);
• P(B|A) là xác suất để (?) với điều kiện (?).

b) 0,95 là P(A|B) hay P(B|A)? Có phải ông M có xác suất 0,95 mắc bệnh hiểm nghèo X không?

Cách 1 — Phương pháp phân tích ý nghĩa xác suất có điều kiện

a) Hoàn thành các câu:

• P(A|B) là xác suất để ông M mắc bệnh hiểm nghèo X với điều kiện xét nghiệm cho kết quả dương tính.

• P(B|A) là xác suất để xét nghiệm cho kết quả dương tính với điều kiện ông M mắc bệnh hiểm nghèo X.

---

b) Phân tích giá trị 0,95:

Theo đề bài: "Nếu một người mắc bệnh X thì với xác suất 0,95 xét nghiệm cho dương tính"

Điều này có nghĩa: Biết rằng người đó mắc bệnh X → xác suất xét nghiệm dương tính là 0,95

Vậy: 0,95 là P(B|A), không phải P(A|B).

Kết luận:

• 0,95 là P(B|A)
• Không phải ông M có xác suất 0,95 mắc bệnh hiểm nghèo X
• Ông M hoảng hốt vì đã nhầm lẫn giữa P(A|B) và P(B|A)

Cách 2 — Phương pháp diễn giải bằng ngôn ngữ tự nhiên

Hai xác suất này hoàn toàn khác nhau và thường có giá trị rất khác biệt!

⚠️ Lưu ý thi: Đây là lỗi sai rất phổ biến trong thực tế và trong các bài thi. Cần phân biệt rõ: - P(B|A): Độ nhạy của xét nghiệm (sensitivity) - P(A|B): Giá trị tiên đoán dương (positive predictive value)

💡 Mẹo nhớ: Để tính P(A|B) từ P(B|A), ta cần dùng công thức Bayes và cần biết thêm P(A) - tỉ lệ mắc bệnh trong quần thể.

---

🎯 Ghi nhớ

1. Công thức xác suất toàn phần cho phép tính xác suất của một biến cố khi biết xác suất có điều kiện theo các trường hợp.

1. Công thức Bayes cho phép "đảo ngược" xác suất có điều kiện: từ P(B|A) tính được P(A|B).

1. P(A|B) ≠ P(B|A) - Đây là sai lầm phổ biến cần tránh!

1. Sơ đồ cây là công cụ trực quan hiệu quả để giải bài toán xác suất nhiều giai đoạn.

1. Trong bài toán di truyền, tổng xác suất các kiểu gene phải bằng 1.