Giải Toàn 12 - Táºp Hai trang 78
Lời giải chi tiết SGK Lớp 12 · Môn ToĂ¡n · Trang 78–79
🔍 Kiến thức cần nhớ
Công thức Bayes
Cho các biến cố A và B với P(B) > 0. Công thức Bayes cho phép tính xác suất có điều kiện "ngược":
P(A | B) = [P(A) × P(B | A)] / [P(A) × P(B | A) + P(Ā) × P(B | Ā)]
Trong đó:
- P(A): Xác suất tiên nghiệm của A
- P(Ā) = 1 - P(A): Xác suất của biến cố đối
- P(B | A): Xác suất của B khi biết A xảy ra
- P(B | Ā): Xác suất của B khi biết A không xảy ra
- P(A | B): Xác suất hậu nghiệm của A khi biết B đã xảy ra
💡 Mẹo nhớ: Công thức Bayes giúp "đảo ngược" xác suất có điều kiện - từ P(B|A) tính được P(A|B).
⚙️ Bài tập
Luyện tập 4
Đề bài: Trong một kho rượu có 30% là rượu loại I. Chọn ngẫu nhiên một chai rượu đưa cho ông Tùng, một người sành rượu, để nếm thử. Biết rằng, một chai rượu loại I có xác suất 0,9 để ông Tùng xác nhận là loại I; một chai rượu không phải loại I có xác suất 0,95 để ông Tùng xác nhận đây không phải là loại I. Sau khi nếm, ông Tùng xác nhận đây là rượu loại I. Tính xác suất để chai rượu đúng là rượu loại I.
Cách 1 — Phương pháp cơ bản (Công thức Bayes)
Bước 1: Xác định các biến cố
- A: "Chai rượu là loại I"
- B: "Ông Tùng xác nhận là loại I"
Ta cần tính P(A | B).
Bước 2: Xác định các xác suất đã biết
- P(A) = 0,3 (30% rượu trong kho là loại I)
- P(Ā) = 1 - 0,3 = 0,7 (70% rượu không phải loại I)
- P(B | A) = 0,9 (xác suất ông Tùng xác nhận đúng khi chai rượu là loại I)
- P(B | Ā) = 1 - 0,95 = 0,05 (xác suất ông Tùng xác nhận nhầm khi chai rượu không phải loại I)
⚠️ Lưu ý: Đề cho "xác suất 0,95 để xác nhận không phải loại I", nên xác suất xác nhận là loại I khi không phải loại I là 1 - 0,95 = 0,05.
Bước 3: Áp dụng công thức Bayes
P(A | B) = [P(A) × P(B | A)] / [P(A) × P(B | A) + P(Ā) × P(B | Ā)]
P(A | B) = (0,3 × 0,9) / (0,3 × 0,9 + 0,7 × 0,05)
P(A | B) = 0,27 / (0,27 + 0,035)
P(A | B) = 0,27 / 0,305
P(A | B) ≈ 0,8852 (hay khoảng 88,52%)
Cách 2 — Phương pháp bảng xác suất
Bước 1: Lập bảng phân tích
Giả sử có 1000 chai rượu trong kho:
- Loại I: 1000 × 0,3 = 300 chai
- Không phải loại I: 1000 × 0,7 = 700 chai
Bước 2: Tính số chai được xác nhận là loại I
- Từ 300 chai loại I: 300 × 0,9 = 270 chai được xác nhận đúng
- Từ 700 chai không phải loại I: 700 × 0,05 = 35 chai bị xác nhận nhầm
Tổng số chai được xác nhận là loại I: 270 + 35 = 305 chai
Bước 3: Tính xác suất
P(chai thực sự là loại I | được xác nhận là loại I) = 270 / 305 ≈ 0,8852
🎯 Đáp số: Xác suất để chai rượu đúng là loại I ≈ 0,8852 (hay 88,52%)
Luyện tập 5
Đề bài: Trở lại tình huống mở đầu Mục 2. Thống kê cho thấy tỉ lệ dân số mắc bệnh hiếm nghèo X là 0,2%.
a) Trước khi tiến hành xét nghiệm, xác suất mắc bệnh hiếm nghèo X của ông M là bao nhiêu?
b) Sau khi xét nghiệm cho kết quả dương tính, xác suất mắc bệnh hiếm nghèo X của ông M là bao nhiêu?
Câu a)
Đề bài: Trước khi tiến hành xét nghiệm, xác suất mắc bệnh hiếm nghèo X của ông M là bao nhiêu?
Cách 1 — Sử dụng xác suất tiên nghiệm
Trước khi xét nghiệm, ta chỉ có thông tin về tỉ lệ dân số mắc bệnh.
Xác suất mắc bệnh hiếm nghèo X của ông M = Tỉ lệ dân số mắc bệnh = 0,2% = 0,002
Cách 2 — Phân tích ý nghĩa
Khi chưa có thông tin bổ sung (kết quả xét nghiệm), xác suất mắc bệnh của một người bất kỳ trong dân số bằng chính tỉ lệ mắc bệnh của dân số đó.
Đáp số: P(A) = 0,002 (hay 0,2%)
Câu b)
Đề bài: Sau khi xét nghiệm cho kết quả dương tính, xác suất mắc bệnh hiếm nghèo X của ông M là bao nhiêu?
Cách 1 — Áp dụng công thức Bayes
Bước 1: Xác định các biến cố và xác suất
Từ Ví dụ 3 trong sách (tình huống mở đầu Mục 2):
- A: "Ông M mắc bệnh hiếm nghèo X"
- B: "Xét nghiệm cho kết quả dương tính"
- P(A) = p = 0,002
- P(Ā) = 1 - p = 0,998
- P(B | A) = 0,95 (độ nhạy của xét nghiệm)
- P(B | Ā) = 0,01 (tỉ lệ dương tính giả)
Bước 2: Áp dụng công thức Bayes
P(A | B) = [P(A) × P(B | A)] / [P(A) × P(B | A) + P(Ā) × P(B | Ā)]
P(A | B) = (0,002 × 0,95) / (0,002 × 0,95 + 0,998 × 0,01)
P(A | B) = 0,0019 / (0,0019 + 0,00998)
P(A | B) = 0,0019 / 0,01188
P(A | B) ≈ 0,1599 (hay khoảng 16%)
Cách 2 — Phương pháp tần số tự nhiên
Giả sử dân số có 100.000 người:
- Số người mắc bệnh: 100.000 × 0,002 = 200 người
- Số người không mắc bệnh: 100.000 × 0,998 = 99.800 người
Trong số người xét nghiệm dương tính:
- Dương tính thật (mắc bệnh): 200 × 0,95 = 190 người
- Dương tính giả (không mắc bệnh): 99.800 × 0,01 = 998 người
Tổng số dương tính: 190 + 998 = 1.188 người
P(mắc bệnh | dương tính) = 190 / 1.188 ≈ 0,1599
🎯 Đáp số: - a) Xác suất trước xét nghiệm: 0,002 (0,2%) - b) Xác suất sau xét nghiệm dương tính: ≈ 0,16 (khoảng 16%)
⚠️ Lưu ý thi: Đây là nghịch lý xét nghiệm y khoa điển hình! Dù xét nghiệm có độ chính xác cao (95%), nhưng với bệnh hiếm (0,2%), xác suất thực sự mắc bệnh khi dương tính chỉ khoảng 16%.
Bài tập 6.7
Đề bài: Trong quân sự, một máy bay chiến đấu của đối phương có thể xuất hiện ở vị trí X với xác suất 0,55. Nếu máy bay đó không xuất hiện ở vị trí X thì nó xuất hiện ở vị trí Y. Để phòng thủ, các bệ phóng tên lửa được bố trí tại các vị trí X và Y. Khi máy bay đối phương xuất hiện ở vị trí X hoặc Y thì tên lửa sẽ được phóng để hạ máy bay đó.
Xét phương án tác chiến sau: Nếu máy bay xuất hiện tại X thì bắn 2 quả tên lửa và nếu máy bay xuất hiện tại Y thì bắn 1 quả tên lửa.
(Bài tập tiếp tục ở trang sau)
⚠️ Lưu ý: Bài 6.7 chưa có đề bài đầy đủ trên các trang này. Cần xem tiếp trang 78 để có câu hỏi cụ thể.
🎯 Ghi nhớ
- Công thức Bayes là công cụ mạnh để cập nhật xác suất khi có thông tin mới (dữ liệu quan sát được).
- Các bước giải bài toán Bayes:
- Xác định biến cố A (giả thuyết) và B (dữ liệu quan sát)
- Tìm P(A), P(Ā), P(B|A), P(B|Ā)
- Áp dụng công thức
- Nghịch lý xét nghiệm: Với bệnh hiếm, ngay cả xét nghiệm có độ chính xác cao vẫn có thể cho kết quả dương tính giả nhiều hơn dương tính thật.
- Phương pháp tần số tự nhiên (giả sử 1000 hoặc 100.000 đối tượng) giúp hình dung trực quan và tránh nhầm lẫn khi tính toán.