Giải Toàn 12 - Táºp Hai trang 80

Q: Câu 6.8

💡 Mẹo nhớ: Khi có 2 giai đoạn liên tiếp, luôn dùng công thức xác suất toàn phần với các trường hợp ở giai đoạn đầu làm hệ biến cố đầy đủ.

Q: Câu 6.10

💡 Mẹo nhớ: Công thức Bayes "đảo ngược" xác suất có điều kiện: từ P(B|A) suy ra P(A|B).

Q: Câu 6.16

⚠️ Lưu ý: Kết quả tính toán là 4/15, nhưng không có trong đáp án. Có thể kiểm tra lại đề bài.

Q: Câu 6.17

⚠️ Lưu ý: Kết quả tính toán là 4/15, nhưng không có trong đáp án. Có thể kiểm tra lại đề bài.

Q: Câu 6.18

🎯 Ghi nhớ: - Công thức xác suất toàn phần: Phân tích biến cố theo các trường hợp tạo thành hệ đầy đủ - Công thức Bayes: "Đảo ngược" xác suất có điều kiện P(A|B) ↔ P(B|A) - Khi có 2 giai đoạn liên tiếp, vẽ sơ đồ cây để tránh nhầm lẫn - Luôn kiểm tra: Tổng xác suất của hệ biến cố đầy đủ = 1

Lời giải chi tiết SGK Lớp 12 · Môn ToĂ¡n · Trang 80–81

🔍 Kiến thức cần nhớ

Xác suất có điều kiện và công thức xác suất toàn phần:

Xác suất có điều kiện: P(B|A) = P(AB)/P(A) với P(A) > 0
Công thức nhân xác suất: P(AB) = P(A) × P(B|A)
Công thức xác suất toàn phần: Nếu A₁, A₂, ..., Aₙ là hệ biến cố đầy đủ thì:

P(B) = P(A₁) × P(B|A₁) + P(A₂) × P(B|A₂) + ... + P(Aₙ) × P(B|Aₙ)

Công thức Bayes: P(Aᵢ|B) = P(Aᵢ) × P(B|Aᵢ) / P(B)

⚙️ Bài tập

Câu 6.8

Đề bài: Có hai chuồng thỏ. Chuồng I có 5 con thỏ đen và 10 con thỏ trắng. Chuồng II có 7 con thỏ đen và 3 con thỏ trắng. Trước tiên, từ chuồng II lấy ra ngẫu nhiên 1 con thỏ rồi cho vào chuồng I. Sau đó, từ chuồng I lấy ra ngẫu nhiên 1 con thỏ. Tính xác suất để con thỏ được lấy ra là con thỏ trắng.

Cách 1 — Công thức xác suất toàn phần

Bước 1: Xác định các biến cố

Gọi:

A₁: "Thỏ lấy từ chuồng II là thỏ đen"
A₂: "Thỏ lấy từ chuồng II là thỏ trắng"
B: "Thỏ lấy từ chuồng I (sau khi thêm) là thỏ trắng"

Bước 2: Tính xác suất của A₁, A₂

Chuồng II có 7 thỏ đen + 3 thỏ trắng = 10 con

P(A₁) = 7/10
P(A₂) = 3/10

Bước 3: Tính xác suất có điều kiện

Chuồng I ban đầu: 5 đen + 10 trắng = 15 con

Nếu thêm 1 thỏ đen → Chuồng I có: 6 đen + 10 trắng = 16 con

P(B|A₁) = 10/16 = 5/8

Nếu thêm 1 thỏ trắng → Chuồng I có: 5 đen + 11 trắng = 16 con

P(B|A₂) = 11/16

Bước 4: Áp dụng công thức xác suất toàn phần

P(B) = P(A₁) × P(B|A₁) + P(A₂) × P(B|A₂)

P(B) = 7/10 × 5/8 + 3/10 × 11/16

P(B) = 35/80 + 33/160

P(B) = 70/160 + 33/160 = 103/160

Đáp số: P(B) = 103/160

Cách 2 — Sơ đồ hình cây

Chuồng II              Chuồng I (sau khi thêm)         Lấy thỏ trắng
    │
    ├── Đen (7/10) ──→ (6Đ + 10T) ──→ Trắng: 10/16 = 5/8
    │
    └── Trắng (3/10) ─→ (5Đ + 11T) ──→ Trắng: 11/16

P(Trắng) = 7/10 × 5/8 + 3/10 × 11/16 = 7/16 + 33/160 = 70/160 + 33/160 = 103/160

💡 Mẹo nhớ: Khi có 2 giai đoạn liên tiếp, luôn dùng công thức xác suất toàn phần với các trường hợp ở giai đoạn đầu làm hệ biến cố đầy đủ.

Câu 6.9

Đề bài: Tại nhà máy X sản xuất linh kiện điện tử, tỉ lệ sản phẩm đạt tiêu chuẩn là 80%. Trước khi xuất xưởng ra thị trường, các linh kiện điện tử đều phải qua khâu kiểm tra chất lượng để đóng dấu OTK. Vì sự kiểm tra không tuyệt đối hoàn hảo nên nếu một linh kiện điện tử đạt tiêu chuẩn thì nó có xác suất 0,99 được đóng dấu OTK; nếu một linh kiện điện tử không đạt tiêu chuẩn thì nó có xác suất 0,95 không được đóng dấu OTK. Chọn ngẫu nhiên một linh kiện điện tử của nhà máy X trên thị trường.

a) Tính xác suất để linh kiện điện tử đó được đóng dấu OTK.

b) Dùng sơ đồ hình cây, hãy mô tả cách tính xác suất để linh kiện điện tử được chọn không được đóng dấu OTK.

Cách 1 — Công thức xác suất toàn phần

Bước 1: Xác định biến cố và dữ liệu

Gọi:

A₁: "Linh kiện đạt tiêu chuẩn" → P(A₁) = 0,8
A₂: "Linh kiện không đạt tiêu chuẩn" → P(A₂) = 0,2
B: "Linh kiện được đóng dấu OTK"

Xác suất có điều kiện:

P(B|A₁) = 0,99 (đạt chuẩn → được đóng dấu)
P(B̄|A₂) = 0,95 → P(B|A₂) = 0,05 (không đạt chuẩn → vẫn được đóng dấu)

Câu a) Tính P(B)

P(B) = P(A₁) × P(B|A₁) + P(A₂) × P(B|A₂)

P(B) = 0,8 × 0,99 + 0,2 × 0,05

P(B) = 0,792 + 0,01 = 0,802

Câu b) Sơ đồ hình cây tính P(B̄)

Linh kiện                    Đóng dấu OTK?
    │
    ├── Đạt chuẩn (0,8) ─────┬── Được đóng dấu (0,99)
    │                        └── Không được đóng dấu (0,01)
    │
    └── Không đạt (0,2) ─────┬── Được đóng dấu (0,05)
                             └── Không được đóng dấu (0,95)

P(Không được đóng dấu) = P(B̄) = P(A₁) × P(B̄|A₁) + P(A₂) × P(B̄|A₂)

P(B̄) = 0,8 × 0,01 + 0,2 × 0,95 = 0,008 + 0,19 = 0,198

Cách 2 — Kiểm tra bằng phần bù

P(B̄) = 1 - P(B) = 1 - 0,802 = 0,198 ✓

⚠️ Lưu ý thi: Đọc kỹ đề: "xác suất 0,95 không được đóng dấu" nghĩa là P(B̄|A₂) = 0,95, không phải P(B|A₂).

Câu 6.10

Đề bài: Có hai đội thi đấu môn Bắn súng. Đội I có 5 vận động viên, đội II có 7 vận động viên. Xác suất đạt huy chương vàng của mỗi vận động viên đội I và đội II tương ứng là 0,65 và 0,55. Chọn ngẫu nhiên một vận động viên.

a) Tính xác suất để vận động viên này đạt huy chương vàng.

b) Giả sử vận động viên được chọn đạt huy chương vàng. Tính xác suất để vận động viên này thuộc đội I.

Cách 1 — Công thức xác suất toàn phần và Bayes

Bước 1: Xác định biến cố

Gọi:

A₁: "VĐV được chọn thuộc đội I"
A₂: "VĐV được chọn thuộc đội II"
B: "VĐV đạt huy chương vàng"

Bước 2: Tính xác suất

Tổng số VĐV = 5 + 7 = 12

P(A₁) = 5/12
P(A₂) = 7/12
P(B|A₁) = 0,65
P(B|A₂) = 0,55

Câu a) Tính P(B)

P(B) = P(A₁) × P(B|A₁) + P(A₂) × P(B|A₂)

P(B) = 5/12 × 0,65 + 7/12 × 0,55

P(B) = 5/12 × 65/100 + 7/12 × 55/100

P(B) = 325/1200 + 385/1200 = 710/1200 = 71/120 ≈ 0,5917

Câu b) Tính P(A₁|B) — Công thức Bayes

P(A₁|B) = P(A₁) × P(B|A₁) / P(B)

P(A₁|B) = (5/12 × 0,65) / (71/120)

P(A₁|B) = (325/1200) / (710/1200)

P(A₁|B) = 325/710 = 65/142 ≈ 0,4577

Cách 2 — Tính trực tiếp bằng số lượng quy đổi

Giả sử có 1200 lần chọn (bội chung của 12):

Chọn VĐV đội I: 500 lần → Đạt vàng: 500 × 0,65 = 325 lần
Chọn VĐV đội II: 700 lần → Đạt vàng: 700 × 0,55 = 385 lần

Tổng đạt vàng: 325 + 385 = 710 lần

a) P(đạt vàng) = 710/1200 = 71/120

b) P(đội I | đạt vàng) = 325/710 = 65/142

💡 Mẹo nhớ: Công thức Bayes "đảo ngược" xác suất có điều kiện: từ P(B|A) suy ra P(A|B).

Câu 6.11

Đề bài: Một bộ lọc được sử dụng để chặn thư rác trong các tài khoản thư điện tử. Tuy nhiên, vì bộ lọc không tuyệt đối hoàn hảo nên một thư rác bị chặn với xác suất 0,95 và một thư đúng (không phải là thư rác) bị chặn với xác suất 0,01. Thống kê cho thấy tỉ lệ thư rác là 3%.

a) Chọn ngẫu nhiên một thư bị chặn. Tính xác suất để đó là thư rác.

b) Chọn ngẫu nhiên một thư không bị chặn. Tính xác suất để đó là thư đúng.

c) Trong số các thư bị chặn, có bao nhiêu phần trăm là thư đúng? Trong số thư không bị chặn, có bao nhiêu phần trăm là thư rác?

Cách 1 — Công thức Bayes

Bước 1: Xác định biến cố và dữ liệu

Gọi:

R: "Thư là thư rác" → P(R) = 0,03
Đ: "Thư là thư đúng" → P(Đ) = 0,97
C: "Thư bị chặn"

Xác suất có điều kiện:

P(C|R) = 0,95 (thư rác bị chặn)
P(C|Đ) = 0,01 (thư đúng bị chặn)

Bước 2: Tính P(C) - xác suất thư bị chặn

P(C) = P(R) × P(C|R) + P(Đ) × P(C|Đ)

P(C) = 0,03 × 0,95 + 0,97 × 0,01

P(C) = 0,0285 + 0,0097 = 0,0382

Bước 3: Tính P(C̄) - xác suất thư không bị chặn

P(C̄) = 1 - P(C) = 1 - 0,0382 = 0,9618

Hoặc: P(C̄) = P(R) × P(C̄|R) + P(Đ) × P(C̄|Đ)

= 0,03 × 0,05 + 0,97 × 0,99 = 0,0015 + 0,9603 = 0,9618

Câu a) P(R|C) — Xác suất thư rác biết đã bị chặn

P(R|C) = P(R) × P(C|R) / P(C)

P(R|C) = (0,03 × 0,95) / 0,0382

P(R|C) = 0,0285 / 0,0382 ≈ 0,7461 (hay 285/382)

Câu b) P(Đ|C̄) — Xác suất thư đúng biết không bị chặn

P(Đ|C̄) = P(Đ) × P(C̄|Đ) / P(C̄)

P(C̄|Đ) = 1 - P(C|Đ) = 1 - 0,01 = 0,99

P(Đ|C̄) = (0,97 × 0,99) / 0,9618

P(Đ|C̄) = 0,9603 / 0,9618 ≈ 0,9984 (hay 9603/9618)

Câu c) Tính phần trăm

Trong số thư bị chặn, phần trăm thư đúng:

P(Đ|C) = P(Đ) × P(C|Đ) / P(C) = (0,97 × 0,01) / 0,0382 = 0,0097 / 0,0382 ≈ 0,2539 ≈ 25,39%

Hoặc: P(Đ|C) = 1 - P(R|C) = 1 - 0,7461 ≈ 25,39%

Trong số thư không bị chặn, phần trăm thư rác:

P(R|C̄) = P(R) × P(C̄|R) / P(C̄)

P(C̄|R) = 1 - 0,95 = 0,05

P(R|C̄) = (0,03 × 0,05) / 0,9618 = 0,0015 / 0,9618 ≈ 0,00156 ≈ 0,156%

Cách 2 — Bảng số liệu quy đổi

Giả sử có 10000 thư:

Thư rác: 300, thư đúng: 9700

Bị chặn	Không bị chặn	Tổng
Thư rác	300 × 0,95 = 285	300 × 0,05 = 15	300
Thư đúng	9700 × 0,01 = 97	9700 × 0,99 = 9603	9700
Tổng	382	9618	10000

a) P(Rác | Bị chặn) = 285/382 ≈ 74,61%

b) P(Đúng | Không bị chặn) = 9603/9618 ≈ 99,84%

c) Thư đúng trong số bị chặn: 97/382 ≈ 25,39%
Thư rác trong số không bị chặn: 15/9618 ≈ 0,156%

⚠️ Lưu ý thi: Bài này minh họa hiện tượng "false positive" - dù chỉ 1% thư đúng bị chặn nhầm nhưng vì thư đúng chiếm đa số (97%) nên trong các thư bị chặn có đến ~25% là thư đúng!

BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG VI (Trang 79)

A - TRẮC NGHIỆM

Dữ kiện cho câu 6.12 đến 6.14:

Cho P(A) = 2/5; P(B|A) = 1/3; P(B|Ā) = 1/4

Câu 6.12

Đề bài: Giá trị của P(AB) là

A. 2/15 B. 3/16 C. 1/5 D. 4/15

Cách 1 — Công thức nhân xác suất

P(AB) = P(A) × P(B|A)

P(AB) = 2/5 × 1/3 = 2/15

Đáp án: A

Cách 2 — Kiểm tra lại định nghĩa

Từ P(B|A) = P(AB)/P(A) → P(AB) = P(A) × P(B|A) = 2/5 × 1/3 = 2/15 ✓

Câu 6.13

Đề bài: Giá trị của P(BĀ) là

A. 1/7 B. 4/19 C. 4/21 D. 3/20

Cách 1 — Công thức nhân xác suất

P(BĀ) = P(Ā) × P(B|Ā)

P(Ā) = 1 - P(A) = 1 - 2/5 = 3/5

P(BĀ) = 3/5 × 1/4 = 3/20

Đáp án: D

Câu 6.14

Đề bài: Giá trị của P(B) là

A. 19/60 B. 17/60 C. 9/20 D. 7/30

Cách 1 — Công thức xác suất toàn phần

B = BA ∪ BĀ (hai biến cố xung khắc)

P(B) = P(BA) + P(BĀ)

P(B) = P(AB) + P(BĀ) = 2/15 + 3/20

Quy đồng: 2/15 = 8/60; 3/20 = 9/60

P(B) = 8/60 + 9/60 = 17/60

Đáp án: B

Cách 2 — Kiểm tra bằng công thức tổng quát

P(B) = P(A) × P(B|A) + P(Ā) × P(B|Ā)

P(B) = 2/5 × 1/3 + 3/5 × 1/4 = 2/15 + 3/20 = 8/60 + 9/60 = 17/60 ✓

Dữ kiện cho câu 6.15 đến 6.17:

Bạn An có một túi gồm một số chiếc kẹo cùng loại, chỉ khác màu, trong đó có 6 chiếc kẹo sô cô la đen, còn lại 4 chiếc kẹo sô cô la trắng. An lấy ngẫu nhiên 1 chiếc kẹo trong túi để cho Bình, rồi lại lấy ngẫu nhiên tiếp 1 chiếc kẹo nữa trong túi và cũng đưa cho Bình.

Câu 6.15

Đề bài: Xác suất để Bình nhận được 2 chiếc kẹo sô cô la đen là

A. 1/3 B. 1/4 C. 2/5 D. 3/7

Cách 1 — Nhân xác suất liên tiếp

Túi có: 6 đen + 4 trắng = 10 kẹo

P(2 kẹo đen) = P(lần 1 đen) × P(lần 2 đen | lần 1 đen)

P = 6/10 × 5/9 = 30/90 = 1/3

Đáp án: A

Cách 2 — Tổ hợp

Số cách chọn 2 kẹo đen: C(6,2) = 15
Số cách chọn 2 kẹo bất kỳ: C(10,2) = 45

P = 15/45 = 1/3 ✓

Câu 6.16

Đề bài: Xác suất để Bình nhận được 2 chiếc kẹo sô cô la trắng là

A. 1/5 B. 2/15 C. 3/16 D. 4/17

Cách 1 — Nhân xác suất liên tiếp

P(2 kẹo trắng) = P(lần 1 trắng) × P(lần 2 trắng | lần 1 trắng)

P = 4/10 × 3/9 = 12/90 = 2/15

Đáp án: B

Cách 2 — Tổ hợp

C(4,2) / C(10,2) = 6/45 = 2/15 ✓

Câu 6.17

Đề bài: Xác suất để Bình nhận được chiếc kẹo sô cô la đen ở lần thứ nhất, chiếc kẹo sô cô la trắng ở lần thứ hai là

A. 1/5 B. 3/16 C. 1/4 D. 4/17

Cách 1 — Nhân xác suất liên tiếp (có thứ tự)

P(Đen trước, Trắng sau) = P(lần 1 đen) × P(lần 2 trắng | lần 1 đen)

P = 6/10 × 4/9 = 24/90 = 4/15

Kiểm tra các đáp án: 1/5 = 3/15 ≠ 4/15

Hmm, tính lại: 24/90 = 4/15 ≈ 0,267

Đáp án A: 1/5 = 0,2
Đáp án D: 4/17 ≈ 0,235

Có vẻ không khớp. Kiểm tra lại đề...

Thực ra: 6/10 × 4/9 = 24/90 = 4/15

Nhưng nếu xét theo thứ tự khác hoặc xem lại...

Tính lại cẩn thận:

Lần 1 lấy đen: 6/10
Còn lại: 5 đen + 4 trắng = 9 kẹo
Lần 2 lấy trắng: 4/9

P = 6/10 × 4/9 = 24/90 = 4/15

Đáp án gần nhất là D. 4/17 nhưng tính toán cho 4/15.

Kiểm tra lại: Có thể đề bài có sai sót hoặc tôi đọc nhầm. Với dữ liệu như trên, đáp án đúng là 4/15.

Nếu chọn theo đáp án có sẵn, D. 4/17 là gần nhất.

⚠️ Lưu ý: Kết quả tính toán là 4/15, nhưng không có trong đáp án. Có thể kiểm tra lại đề bài.

Câu 6.18

Đề bài: Để thử nghiệm tác dụng điều trị bệnh mất ngủ của hai loại thuốc X và thuốc Y, người ta tiến hành thử nghiệm trên 4000 người bệnh tình nguyện. Kết quả được cho trong bảng thống kê 2 × 2 sau:

(Bài này chưa có đầy đủ thông tin bảng số liệu trong hình - cần xem trang tiếp theo)

🎯 Ghi nhớ: - Công thức xác suất toàn phần: Phân tích biến cố theo các trường hợp tạo thành hệ đầy đủ - Công thức Bayes: "Đảo ngược" xác suất có điều kiện P(A|B) ↔ P(B|A) - Khi có 2 giai đoạn liên tiếp, vẽ sơ đồ cây để tránh nhầm lẫn - Luôn kiểm tra: Tổng xác suất của hệ biến cố đầy đủ = 1

Chế độ đọc sách →

Giải Toàn 12 - Táº­p Hai trang 80

🔍 Kiến thức cần nhớ

⚙️ Bài tập

Câu 6.8

Cách 1 — Công thức xác suất toàn phần

Cách 2 — Sơ đồ hình cây

Câu 6.9

Cách 1 — Công thức xác suất toàn phần

Cách 2 — Kiểm tra bằng phần bù

Câu 6.10

Cách 1 — Công thức xác suất toàn phần và Bayes

Cách 2 — Tính trực tiếp bằng số lượng quy đổi

Câu 6.11

Cách 1 — Công thức Bayes

Cách 2 — Bảng số liệu quy đổi

BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG VI (Trang 79)

A - TRẮC NGHIỆM

Câu 6.12

Cách 1 — Công thức nhân xác suất

Cách 2 — Kiểm tra lại định nghĩa

Câu 6.13

Cách 1 — Công thức nhân xác suất

Câu 6.14

Cách 1 — Công thức xác suất toàn phần

Cách 2 — Kiểm tra bằng công thức tổng quát

Câu 6.15

Cách 1 — Nhân xác suất liên tiếp

Cách 2 — Tổ hợp

Câu 6.16

Cách 1 — Nhân xác suất liên tiếp

Cách 2 — Tổ hợp

Câu 6.17

Cách 1 — Nhân xác suất liên tiếp (có thứ tự)

Câu 6.18

Giải Toàn 12 - Táºp Hai trang 80