Giải Toàn 12 - Táºp Hai trang 82
Lời giải chi tiết SGK Lớp 12 · Môn ToĂ¡n · Trang 82–83
🔍 Kiến thức cần nhớ
Xác suất có điều kiện
- Xác suất có điều kiện của biến cố A khi biết biến cố B đã xảy ra: P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B)
- Công thức xác suất toàn phần: P(A) = P(A|B₁)×P(B₁) + P(A|B₂)×P(B₂) + ... + P(A|Bₙ)×P(Bₙ)
- Công thức Bayes: P(Bₖ|A) = P(A|Bₖ)×P(Bₖ) / P(A)
Nguyên lý cộng và nhân trong xác suất
- Hai biến cố xung khắc: P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
- Hai biến cố độc lập: P(A ∩ B) = P(A) × P(B)
⚙️ Bài tập
Câu 6.18 (tiếp theo từ bảng)
Đề bài: Cho bảng số liệu về kết quả thử nghiệm thuốc X và Y:
| Kết quả | Thuốc X | Thuốc Y |
|---|---|---|
| Khỏi bệnh | 1600 | 1200 |
| Không khỏi bệnh | 800 | 400 |
Chọn ngẫu nhiên 1 người bệnh tham gia tình nguyện thử nghiệm thuốc.
a) Tính xác suất để người đó khỏi bệnh nếu biết người bệnh đó uống thuốc X.
b) Tính xác suất để người đó uống thuốc Y, biết rằng người đó khỏi bệnh.
Cách 1 — Phương pháp tính trực tiếp từ bảng
Câu a) Tính P(Khỏi bệnh | Uống thuốc X)
Bước 1: Xác định số liệu từ bảng
- Số người uống thuốc X: 1600 + 800 = 2400 người
- Số người uống thuốc X và khỏi bệnh: 1600 người
Bước 2: Áp dụng công thức xác suất có điều kiện
P(Khỏi bệnh | Uống thuốc X) = (Số người uống X và khỏi bệnh) / (Số người uống X)
P(Khỏi bệnh | Uống thuốc X) = 1600 / 2400 = 2/3
Câu b) Tính P(Uống thuốc Y | Khỏi bệnh)
Bước 1: Xác định số liệu từ bảng
- Tổng số người khỏi bệnh: 1600 + 1200 = 2800 người
- Số người uống thuốc Y và khỏi bệnh: 1200 người
Bước 2: Áp dụng công thức xác suất có điều kiện
P(Uống thuốc Y | Khỏi bệnh) = (Số người uống Y và khỏi bệnh) / (Số người khỏi bệnh)
P(Uống thuốc Y | Khỏi bệnh) = 1200 / 2800 = 3/7
Cách 2 — Sử dụng công thức Bayes
Câu a) Đây là xác suất có điều kiện thuận, tính trực tiếp như Cách 1.
Câu b) Sử dụng công thức Bayes:
Gọi:
- Y: biến cố "uống thuốc Y"
- K: biến cố "khỏi bệnh"
Tổng số người: 2400 + 1600 = 4000 người
- P(Y) = 1600/4000 = 2/5
- P(X) = 2400/4000 = 3/5
- P(K|Y) = 1200/1600 = 3/4
- P(K|X) = 1600/2400 = 2/3
Áp dụng công thức xác suất toàn phần:
P(K) = P(K|X)×P(X) + P(K|Y)×P(Y) = (2/3)×(3/5) + (3/4)×(2/5) = 2/5 + 3/10 = 7/10
Áp dụng công thức Bayes:
P(Y|K) = P(K|Y)×P(Y) / P(K) = (3/4)×(2/5) / (7/10) = (3/10) / (7/10) = 3/7
💡 Mẹo nhớ: Khi có bảng số liệu, cách nhanh nhất là tính trực tiếp tỉ lệ từ bảng. Công thức Bayes thường dùng khi đề cho xác suất thay vì số liệu cụ thể.
Câu 6.19
Đề bài: Một nhóm có 25 học sinh, trong đó có 14 em học khá môn Toán, 16 em học khá môn Vật lí, 1 em không học khá cả hai môn Toán và môn Vật lí. Chọn ngẫu nhiên một học sinh trong số đó. Tính xác suất để học sinh đó:
a) Học khá môn Toán, đồng thời học khá môn Vật lí;
b) Học khá môn Toán, nhưng không học khá môn Vật lí;
c) Học khá môn Toán, biết rằng học sinh đó học khá môn Vật lí.
Cách 1 — Sử dụng biểu đồ Venn và công thức tập hợp
Bước 1: Đặt các biến cố
- T: học sinh học khá môn Toán
- V: học sinh học khá môn Vật lí
- n(T) = 14, n(V) = 16, n(không T và không V) = 1
Bước 2: Tìm số học sinh học khá cả hai môn
Số học sinh học khá ít nhất một môn: 25 - 1 = 24 học sinh
Theo công thức bao hàm - loại trừ:
n(T ∪ V) = n(T) + n(V) - n(T ∩ V)
24 = 14 + 16 - n(T ∩ V)
n(T ∩ V) = 30 - 24 = 6 học sinh
Bước 3: Tính các số liệu còn lại
- Số học sinh chỉ học khá Toán (không khá Lý): 14 - 6 = 8 học sinh
- Số học sinh chỉ học khá Lý (không khá Toán): 16 - 6 = 10 học sinh
Câu a) P(T ∩ V) = ?
P(T ∩ V) = 6/25 = 6/25
Câu b) P(T và không V) = ?
P(T ∩ V̄) = 8/25 = 8/25
Câu c) P(T | V) = ?
Đây là xác suất có điều kiện:
P(T | V) = P(T ∩ V) / P(V) = (6/25) / (16/25) = 6/16 = 3/8
Cách 2 — Lập bảng phân loại
| Khá Toán | Không khá Toán | Tổng | |
|---|---|---|---|
| Khá Vật lí | 6 | 10 | 16 |
| Không khá Vật lí | 8 | 1 | 9 |
| Tổng | 14 | 11 | 25 |
Từ bảng:
- a) P(khá cả hai) = 6/25
- b) P(khá Toán, không khá Lý) = 8/25
- c) P(khá Toán | khá Lý) = 6/16 = 3/8
⚠️ Lưu ý thi: Bài toán hai tập hợp thường dùng công thức n(A ∪ B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B). Lập bảng 2×2 giúp kiểm tra nhanh và tránh sai sót.
Câu 6.20
Đề bài: Chuồng I có 5 con gà mái, 2 con gà trống. Chuồng II có 3 con gà mái, 5 con gà trống. Bác Mai bắt một con gà trong số đó theo cách sau: "Bác tung một con xúc xắc cân đối, đồng chất. Nếu số chấm chia hết cho 3 thì bác chọn chuồng I. Nếu số chấm không chia hết cho 3 thì bác chọn chuồng II. Sau đó, từ chuồng đã chọn bác bắt ngẫu nhiên một con gà". Tính xác suất để bác Mai bắt được con gà mái.
Cách 1 — Công thức xác suất toàn phần
Bước 1: Xác định xác suất chọn chuồng
Tung xúc xắc có 6 kết quả: 1, 2, 3, 4, 5, 6
- Số chia hết cho 3: {3, 6} → 2 kết quả
- Số không chia hết cho 3: {1, 2, 4, 5} → 4 kết quả
P(chọn chuồng I) = 2/6 = 1/3
P(chọn chuồng II) = 4/6 = 2/3
Bước 2: Xác định xác suất bắt gà mái từ mỗi chuồng
- Chuồng I: 5 gà mái, 2 gà trống → P(gà mái | chuồng I) = 5/7
- Chuồng II: 3 gà mái, 5 gà trống → P(gà mái | chuồng II) = 3/8
Bước 3: Áp dụng công thức xác suất toàn phần
Gọi M là biến cố "bắt được gà mái"
P(M) = P(M | chuồng I) × P(chuồng I) + P(M | chuồng II) × P(chuồng II)
P(M) = (5/7) × (1/3) + (3/8) × (2/3)
P(M) = 5/21 + 6/24
P(M) = 5/21 + 1/4
P(M) = 20/84 + 21/84 = 41/84
Cách 2 — Phương pháp cây xác suất
Xúc xắc
/ \
(1/3) I II (2/3)
/ \
Chuồng I Chuồng II
/ \ / \
Mái(5/7) Trống(2/7) Mái(3/8) Trống(5/8)P(Gà mái) = (1/3)×(5/7) + (2/3)×(3/8) = 5/21 + 2/8 = 5/21 + 1/4
Quy đồng: 5/21 + 1/4 = 20/84 + 21/84 = 41/84
💡 Mẹo nhớ: Bài toán "chọn nguồn rồi chọn phần tử" luôn dùng công thức xác suất toàn phần. Vẽ cây xác suất giúp hình dung rõ ràng các nhánh.
Câu 6.21
Đề bài: Một loại vaccine được tiêm ở địa phương X. Người có bệnh nền thì với xác suất 0,35 có phản ứng phụ sau tiêm; người không có bệnh nền thì chỉ có phản ứng phụ sau tiêm với xác suất 0,16. Chọn ngẫu nhiên một người được tiêm vaccine và người này có phản ứng phụ. Tính xác suất để người này có bệnh nền, biết rằng tỉ lệ người có bệnh nền ở địa phương X là 18%.
Cách 1 — Công thức Bayes
Bước 1: Đặt các biến cố
- B: người có bệnh nền
- B̄: người không có bệnh nền
- R: người có phản ứng phụ sau tiêm
Bước 2: Xác định các xác suất đã cho
- P(B) = 0,18 (tỉ lệ có bệnh nền)
- P(B̄) = 1 - 0,18 = 0,82
- P(R|B) = 0,35 (xác suất phản ứng phụ khi có bệnh nền)
- P(R|B̄) = 0,16 (xác suất phản ứng phụ khi không có bệnh nền)
Bước 3: Tính P(R) theo công thức xác suất toàn phần
P(R) = P(R|B)×P(B) + P(R|B̄)×P(B̄)
P(R) = 0,35 × 0,18 + 0,16 × 0,82
P(R) = 0,063 + 0,1312 = 0,1942
Bước 4: Áp dụng công thức Bayes
P(B|R) = P(R|B) × P(B) / P(R)
P(B|R) = (0,35 × 0,18) / 0,1942
P(B|R) = 0,063 / 0,1942
P(B|R) ≈ 0,3244 (hay khoảng 32,44%)
Cách 2 — Phương pháp giả sử tổng số người
Bước 1: Giả sử có 10000 người được tiêm vaccine
- Số người có bệnh nền: 10000 × 0,18 = 1800 người
- Số người không có bệnh nền: 10000 × 0,82 = 8200 người
Bước 2: Tính số người có phản ứng phụ
- Người có bệnh nền và phản ứng phụ: 1800 × 0,35 = 630 người
- Người không có bệnh nền và phản ứng phụ: 8200 × 0,16 = 1312 người
- Tổng số người phản ứng phụ: 630 + 1312 = 1942 người
Bước 3: Tính xác suất
P(Có bệnh nền | Phản ứng phụ) = 630 / 1942 ≈ 0,3244 ≈ 32,44%
⚠️ Lưu ý thi: Công thức Bayes thường xuất hiện trong các bài toán "xác suất ngược" - biết kết quả, hỏi nguyên nhân. Dạng bài này hay ra trong đề thi THPT Quốc gia.
💡 Mẹo nhớ: Công thức Bayes: P(B|A) = P(A|B)×P(B) / P(A). Nhớ: "Xác suất nguyên nhân = (Xác suất kết quả khi có nguyên nhân × Xác suất nguyên nhân) / Xác suất kết quả"
Trang 81 — Hoạt động thực hành trải nghiệm
Nội dung: Trang này giới thiệu hoạt động thực hành sử dụng phần mềm GeoGebra để:
- Tính nguyên hàm và tích phân
- Tính gần đúng tích phân bằng phương pháp hình thang
Đây là phần hướng dẫn thực hành, không có bài tập cần giải.
Trang trình bày cách dùng lệnh IntegralSymbolic trong GeoGebra CAS để tính nguyên hàm của các hàm số như:
- sin(2x) → (-1/2)cos(2x) + C
- (x + √x) / ∛x
- x(1 + x²)^(3/2)
- x·sin(2x + 1)
🎯 Ghi nhớ: - Xác suất có điều kiện: P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B) - Công thức xác suất toàn phần: Dùng khi có nhiều "nguồn" dẫn đến cùng một kết quả - Công thức Bayes: Dùng khi biết kết quả, cần tìm xác suất của nguyên nhân - Với bài toán hai tập hợp, luôn nhớ: n(A ∪ B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B)