Giải Toàn 12 - Táºp Hai trang 12
Lời giải chi tiết SGK Lớp 12 · Môn ToĂ¡n · Trang 12–13
Hai trang này gồm phần lý thuyết cuối cùng về nguyên hàm (nguyên hàm hàm số mũ) cùng bảng tổng kết, và toàn bộ phần BÀI TẬP của bài học.
Tóm tắt lý thuyết
Nguyên hàm của hàm số mũ:
$$\int e^x\,dx = e^x + C \qquad \int a^x\,dx = \frac{a^x}{\ln a} + C \;(0 < a \neq 1)$$
Bảng nguyên hàm thường gặp:
| Nguyên hàm | Nguyên hàm | ||
|---|---|---|---|
| $\int 0\,dx = C$ | $\int 1\,dx = x + C$ | ||
| $\int x^\alpha dx = \dfrac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}+C\;(\alpha\neq-1)$ | $\int \dfrac{1}{x}\,dx = \ln | x | + C$ |
| $\int e^x dx = e^x + C$ | $\int a^x dx = \dfrac{a^x}{\ln a}+C$ | ||
| $\int \cos x\,dx = \sin x + C$ | $\int \sin x\,dx = -\cos x + C$ | ||
| $\int \dfrac{1}{\sin^2 x}dx = -\cot x + C$ | $\int \dfrac{1}{\cos^2 x}dx = \tan x + C$ |
Luyện tập 7
Tìm:
a) $\displaystyle\int 4^x\,dx = \dfrac{4^x}{\ln 4} + C.$
b) $\displaystyle\int \dfrac{1}{e^x}\,dx = \int e^{-x}\,dx = -e^{-x} + C = -\dfrac{1}{e^x} + C.$
c) $\displaystyle\int\!\left(2\cdot 3^x - \tfrac{1}{3}\cdot 7^x\right)dx = 2\cdot\dfrac{3^x}{\ln 3} - \dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{7^x}{\ln 7} + C.$
Bài 4.1: Kiểm tra nguyên hàm
a) $F(x) = x\ln x$, $f(x) = 1 + \ln x$ trên $(0;+\infty)$.
$$F'(x) = \ln x + x\cdot\frac{1}{x} = \ln x + 1 = f(x).$$
Vậy $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$. ✔
b) $F(x) = e^{\sin x}$, $f(x) = e^{\cos x}$ trên $\mathbb{R}$.
$$F'(x) = \cos x \cdot e^{\sin x} \neq e^{\cos x} = f(x).$$
Vậy $F(x)$ không là nguyên hàm của $f(x)$. ✘
Bài 4.2: Tìm nguyên hàm
a) $f(x) = 3x^2 + 2x - 1$
$$\int f(x)\,dx = x^3 + x^2 - x + C.$$
b) $f(x) = x^3 - x$
$$\int f(x)\,dx = \frac{x^4}{4} - \frac{x^2}{2} + C.$$
c) $f(x) = (2x+1)^2 = 4x^2 + 4x + 1$
$$\int f(x)\,dx = \frac{4}{3}x^3 + 2x^2 + x + C.$$
d) $f(x) = \left(2x - \dfrac{1}{x}\right)^2 = 4x^2 - 4 + \dfrac{1}{x^2}$
$$\int f(x)\,dx = \frac{4}{3}x^3 - 4x - \frac{1}{x} + C.$$
Bài 4.3: Tìm nguyên hàm
a) $\displaystyle\int\!\left(3\sqrt{x} + \dfrac{1}{\sqrt[3]{x}}\right)dx = \int\!\left(3x^{1/2} + x^{-1/3}\right)dx$
$$= 3\cdot\frac{x^{3/2}}{3/2} + \frac{x^{2/3}}{2/3} + C = 2x\sqrt{x} + \frac{3}{2}\sqrt[3]{x^2} + C.$$
b) $\displaystyle\int \sqrt{x}\,(7x^2 - 3)\,dx = \int\!\left(7x^{5/2} - 3x^{1/2}\right)dx$ với $x>0$
$$= 7\cdot\frac{x^{7/2}}{7/2} - 3\cdot\frac{x^{3/2}}{3/2} + C = 2x^3\sqrt{x} - 2x\sqrt{x} + C.$$
c) $\displaystyle\int \dfrac{(2x+1)^2}{x^2}\,dx = \int \dfrac{4x^2 + 4x + 1}{x^2}\,dx = \int\!\left(4 + \dfrac{4}{x} + \dfrac{1}{x^2}\right)dx$
$$= 4x + 4\ln|x| - \frac{1}{x} + C.$$
d) $\displaystyle\int\!\left(2^x + \dfrac{3}{x^2}\right)dx = \dfrac{2^x}{\ln 2} - \dfrac{3}{x} + C.$
Bài 4.4: Tìm nguyên hàm
a) $\displaystyle\int\!\left(2\cos x - \dfrac{3}{\sin^2 x}\right)dx = 2\sin x + 3\cot x + C.$
b) $\displaystyle\int 4\sin^2\dfrac{x}{2}\,dx$. Dùng $\sin^2\dfrac{x}{2} = \dfrac{1-\cos x}{2}$:
$$= \int 2(1 - \cos x)\,dx = 2x - 2\sin x + C.$$
c) $\displaystyle\int\!\left(\sin\dfrac{x}{2} - \cos\dfrac{x}{2}\right)^2 dx$. Khai triển:
$$\left(\sin\tfrac{x}{2} - \cos\tfrac{x}{2}\right)^2 = 1 - 2\sin\tfrac{x}{2}\cos\tfrac{x}{2} = 1 - \sin x.$$
$$\Rightarrow \int (1 - \sin x)\,dx = x + \cos x + C.$$
d) $\displaystyle\int (x + \tan^2 x)\,dx$. Dùng $\tan^2 x = \dfrac{1}{\cos^2 x} - 1$:
$$= \int\!\left(x + \frac{1}{\cos^2 x} - 1\right)dx = \frac{x^2}{2} + \tan x - x + C.$$
Bài 4.5: Tính f(4)
Đề: $f'(x) = 2x + \dfrac{1}{x^2}$ trên $(0;+\infty)$, $f(1) = 1$.
$$f(x) = \int\!\left(2x + \frac{1}{x^2}\right)dx = x^2 - \frac{1}{x} + C.$$
Thay $f(1) = 1$: $\;1 - 1 + C = 1 \Rightarrow C = 1$.
$$f(x) = x^2 - \frac{1}{x} + 1 \;\Rightarrow\; f(4) = 16 - \frac{1}{4} + 1 = \frac{67}{4} = 16{,}75.$$
Bài 4.6: Tìm biểu thức f(x)
Hệ số góc tiếp tuyến tại $M$ chính là đạo hàm: $f'(x) = (x-1)^2$.
$$f(x) = \int (x-1)^2\,dx = \frac{(x-1)^3}{3} + C.$$
Điểm $M$ trùng gốc tọa độ khi nằm trên trục tung, tức khi $x = 0$ thì $f(0) = 0$:
$$\frac{(0-1)^3}{3} + C = 0 \;\Rightarrow\; -\frac{1}{3} + C = 0 \;\Rightarrow\; C = \frac{1}{3}.$$
$$f(x) = \frac{(x-1)^3}{3} + \frac{1}{3}.$$
Bài 4.7: Độ cao viên đạn
Vận tốc $v(t) = 160 - 9{,}8t$ (m/s). Độ cao là nguyên hàm của vận tốc:
$$h(t) = \int (160 - 9{,}8t)\,dt = 160t - 4{,}9t^2 + C.$$
Lúc $t = 0$ viên đạn ở mặt đất nên $h(0) = 0 \Rightarrow C = 0$:
$$h(t) = 160t - 4{,}9t^2.$$
a) Sau $t = 5$ giây:
$$h(5) = 160\cdot 5 - 4{,}9\cdot 25 = 800 - 122{,}5 = 677{,}5 \text{ (m)}.$$
b) Độ cao lớn nhất đạt khi $v(t) = 0$:
$$160 - 9{,}8t = 0 \Rightarrow t = \frac{160}{9{,}8} \approx 16{,}33 \text{ (s)}.$$
Thay vào:
$$h_{\max} = 160\cdot\frac{160}{9{,}8} - 4{,}9\left(\frac{160}{9{,}8}\right)^2 = \frac{160^2}{2\cdot 9{,}8} = \frac{25600}{19{,}6} \approx 1306{,}1 \text{ (m)}.$$
Vậy viên đạn đạt độ cao lớn nhất khoảng 1306,1 m.
Có chỗ nào em muốn thầy giải kỹ hơn không?