Giải Toàn 12 - Tập Hai trang 84

Hai trang này thuộc bài thực hành dùng phần mềm GeoGebra và mở đầu phương pháp tính gần đúng tích phân bằng hình thang. Phần bài tập duy nhất cần giải là Thực hành 1, còn lại là lý thuyết và ví dụ minh hoạ.

Tóm tắt lý thuyết

Tính tích phân gần đúng bằng GeoGebra

• Lệnh NIntegral(, , ) cho kết quả gần đúng của tích phân xác định.
• Lệnh IntegralSymbolic() (tiếng Việt: TíchPhân) dùng để tìm nguyên hàm.
• Lệnh tích phân xác định bằng tiếng Việt là TíchPhânXácĐịnh(, , ).

Phương pháp hình thang
$$\int_a^b f(x)\,dx \approx \frac{b-a}{2n}\Big[f(x_0)+2f(x_1)+2f(x_2)+\dots+2f(x_{n-1})+f(x_n)\Big]$$
trong đó đoạn $[a;b]$ được chia thành $n$ đoạn con bằng nhau, mỗi đoạn dài $\Delta x = \dfrac{b-a}{n}$.

Đánh giá sai số: nếu $f''(x)$ liên tục trên $[a;b]$ thì
$$|E| \le \frac{(b-a)^3 M}{12n^2}, \quad M = \max_{x\in[a;b]} |f''(x)|.$$

Thuật toán 3 bước: (1) tính $f''(x)$ và tìm $M$; (2) chọn $n$ nhỏ nhất sao cho $\dfrac{(b-a)^3 M}{12n^2} < \varepsilon$; (3) chia đoạn và áp dụng công thức hình thang.

Bài Thực hành 1: Dùng GeoGebra tính tích phân

Câu a

Đề: Tính $\displaystyle\int \frac{x^2 - 2x + 2}{x+1}\,dx$.

Đây là nguyên hàm, mình giải bằng cách chia đa thức cho gọn.

Chia tử cho mẫu:

$$x^2 - 2x + 2 = (x+1)(x-3) + 5$$

Kiểm tra: $(x+1)(x-3) = x^2 - 2x - 3$, cộng $5$ được $x^2 - 2x + 2$. ✓

Vậy:

$$\frac{x^2 - 2x + 2}{x+1} = x - 3 + \frac{5}{x+1}$$

Lấy nguyên hàm từng số hạng:

$$\int \frac{x^2 - 2x + 2}{x+1}\,dx = \frac{x^2}{2} - 3x + 5\ln|x+1| + C$$

Câu b

Đề: Tính $\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} e^x \cos 2x\,dx$.

Dùng công thức nguyên hàm dạng tích mũ–lượng giác (lấy theo từng phần hai lần):

$$\int e^x \cos 2x\,dx = \frac{e^x(\cos 2x + 2\sin 2x)}{5} + C$$

Tính tích phân xác định từ $0$ đến $\dfrac{\pi}{2}$:

Kết quả:

$$\int_0^{\frac{\pi}{2}} e^x \cos 2x\,dx = -\frac{e^{\pi/2}}{5} - \frac{1}{5} = -\frac{e^{\pi/2}+1}{5} \approx -1{,}16$$

(Vì $e^{\pi/2} \approx 4{,}81$, nên giá trị $\approx -\dfrac{5{,}81}{5} \approx -1{,}16$. Khi nhập vào GeoGebra bằng lệnh NIntegral em sẽ thấy đúng con số gần $-1{,}16$ này.)

Ví dụ minh hoạ (trang 83)

Đề: Tính gần đúng $\displaystyle\int_0^1 e^{-x^2}\,dx$ với độ chính xác nhỏ hơn $0{,}01$.

Sách mới làm tới Bước 1 (tìm $M$):

• $f(x) = e^{-x^2}$
• $f'(x) = -2x e^{-x^2}$
• $f''(x) = 4x^2 e^{-x^2} - 2e^{-x^2}$
• $f'''(x) = 4x(3 - 2x^2)e^{-x^2}$, cho $f'''(x) = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = \pm\sqrt{\dfrac{3}{2}}$.

So sánh giá trị $|f''|$ tại các điểm tới hạn trong $[0;1]$: $f''(0) = -2$, $f''(1) = \dfrac{2}{e}$, nên
$$M = \max_{x\in[0;1]} |f''(x)| = |f''(0)| = 2.$$

Đây là điểm khởi đầu để sang trang sau chọn $n$ và áp dụng công thức hình thang. Nếu em muốn, gửi tiếp trang 84 thật (phần tiếp theo của ví dụ) mình giải trọn vẹn các bước còn lại nhé.