Giải Toàn 12 - Tập Hai trang 86

🔍 Kiến thức cần nhớ

Phương pháp hình thang (Công thức hình thang)

Để tính gần đúng tích phân ∫[a,b] f(x)dx, ta chia đoạn [a, b] thành n đoạn con bằng nhau với bước nhảy h = (b-a)/n.

Công thức hình thang:

∫[a,b] f(x)dx ≈ h/2 × [f(x₀) + 2f(x₁) + 2f(x₂) + ... + 2f(xₙ₋₁) + f(xₙ)]

Trong đó:

• x₀ = a, xₙ = b
• xᵢ = a + i×h (với i = 0, 1, 2, ..., n)

---

⚙️ Bài tập

Thực hành 2

Đề bài: Sử dụng phương pháp hình thang, tính gần đúng ∫[1,2] (e^x)/x dx với độ chính xác 0,01.

---

Cách 1 — Phương pháp hình thang cơ bản

Bước 1: Xác định sai số và số đoạn chia n

Để đạt độ chính xác 0,01, ta cần chọn n sao cho sai số đủ nhỏ.

Sai số của phương pháp hình thang: |E| ≤ (b-a)³ × M₂ / (12n²)

Trong đó M₂ = max|f''(x)| trên [1, 2].

Với f(x) = e^x/x, việc tính f''(x) khá phức tạp. Ta có thể thử với n = 10 hoặc n = 20 để đảm bảo độ chính xác.

Chọn n = 10 (để an toàn với độ chính xác 0,01)

Bước 2: Tính các giá trị cần thiết

• a = 1, b = 2
• h = (2 - 1)/10 = 0,1
• Các điểm chia: x₀ = 1; x₁ = 1,1; x₂ = 1,2; ...; x₁₀ = 2

Bước 3: Tính f(xᵢ) = e^xᵢ/xᵢ

Bước 4: Áp dụng công thức hình thang

∫[1,2] (e^x)/x dx ≈ (h/2) × [f(x₀) + 2f(x₁) + 2f(x₂) + ... + 2f(x₉) + f(x₁₀)]

= (0,1/2) × [2,7183 + 2×(2,7311 + 2,7668 + 2,8225 + 2,8966 + 2,9878 + 3,0956 + 3,2200 + 3,3609 + 3,5189) + 3,6945]

= 0,05 × [2,7183 + 2×(27,4002) + 3,6945]

= 0,05 × [2,7183 + 54,8004 + 3,6945]

= 0,05 × 61,2132

≈ 3,061

---

Cách 2 — Phương pháp với n = 5 (nhanh hơn)

Bước 1: Chọn n = 5, h = (2-1)/5 = 0,2

Bước 2: Các điểm chia: 1; 1,2; 1,4; 1,6; 1,8; 2

Bước 3: Tính f(xᵢ):

Bước 4: Áp dụng công thức:

∫[1,2] (e^x)/x dx ≈ (0,2/2) × [2,7183 + 2×(2,7668 + 2,8966 + 3,0956 + 3,3609) + 3,6945]

= 0,1 × [2,7183 + 2×12,1199 + 3,6945]

= 0,1 × [2,7183 + 24,2398 + 3,6945]

= 0,1 × 30,6526

≈ 3,065

💡 Mẹo nhớ: Công thức hình thang: "Đầu cuối hệ số 1, ở giữa hệ số 2, nhân với h/2"

---

Vận dụng

Đề bài: Một thân cây dài 4,8 m được cắt thành các khúc gỗ dài 60 cm. Người ta đo đường kính của mỗi mặt cắt ngang và diện tích S của nó được ghi lại trong bảng dưới đây, ở đây x (cm) là khoảng cách tính từ đỉnh thân cây đến vết cắt.

Tìm thể tích gần đúng của thân cây này.

---

Cách 1 — Phương pháp hình thang (theo hướng dẫn SGK)

Bước 1: Xác định bài toán

Thể tích cần tính: V = ∫[0,480] S(x)dx

Trong đó S(x) là diện tích mặt cắt ngang tại vị trí cách đỉnh thân cây một khoảng x (cm).

Bước 2: Xác định các tham số

• a = 0, b = 480
• n = 8 (có 9 điểm đo, tạo thành 8 đoạn)
• h = (480 - 0)/8 = 60 cm

Bước 3: Áp dụng công thức hình thang

V ≈ (h/2) × [S(x₀) + 2S(x₁) + 2S(x₂) + ... + 2S(x₇) + S(x₈)]

V ≈ (60/2) × [240 + 2×(248 + 256 + 260 + 264 + 272 + 298 + 316) + 320]

Bước 4: Tính toán

Tổng các giá trị ở giữa:

248 + 256 + 260 + 264 + 272 + 298 + 316 = 1914

V ≈ 30 × [240 + 2×1914 + 320]

V ≈ 30 × [240 + 3828 + 320]

V ≈ 30 × 4388

V ≈ 131 640 cm³ = 131,64 dm³ ≈ 131,64 lít

Hoặc: V ≈ 0,13164 m³

---

Cách 2 — Tính nhanh bằng cách nhóm

Công thức hình thang dạng gọn:

V ≈ h × [(S₀ + Sₙ)/2 + S₁ + S₂ + ... + Sₙ₋₁]

V ≈ 60 × [(240 + 320)/2 + 248 + 256 + 260 + 264 + 272 + 298 + 316]

V ≈ 60 × [280 + 1914]

V ≈ 60 × 2194

V ≈ 131 640 cm³

---

Kết luận: Thể tích gần đúng của thân cây là 131 640 cm³ hay khoảng 0,132 m³ (≈ 132 lít).

⚠️ Lưu ý thi: Đây là dạng bài ứng dụng tích phân trong thực tế, thường xuất hiện trong đề thi. Cần nhớ: - Thể tích = ∫ S(x)dx khi biết diện tích mặt cắt ngang - Khi có bảng số liệu rời rạc → dùng phương pháp hình thang

💡 Mẹo nhớ: Công thức nhanh: V ≈ h × (Trung bình đầu cuối + Tổng các giá trị giữa)

---

Trang 85 — Nội dung lý thuyết

Trang 85 không có bài tập, đây là phần đọc thêm về "Vẽ đồ hoạ 3D với phần mềm GeoGebra".

Nội dung giới thiệu:

• Phần mềm AutoCAD và GeoGebra hỗ trợ vẽ hình 2D, 3D
• Giới thiệu về "Tam giác Penrose" - một hình ảnh bất khả trong không gian
• Giới thiệu về "Cầu thang bất khả" (Impossible Staircase) của hoạ sĩ Oscar Reutersvard
• Khuyến khích học sinh trải nghiệm với GeoGebra để thiết kế 3D

---

🎯 Ghi nhớ: 1. Công thức hình thang: ∫[a,b] f(x)dx ≈ (h/2) × [f(a) + 2×(tổng các giá trị giữa) + f(b)] 2. Ứng dụng tính thể tích: Khi biết diện tích mặt cắt S(x), thể tích V = ∫ S(x)dx 3. Khi có dữ liệu dạng bảng: Phương pháp hình thang là công cụ hiệu quả để tính gần đúng tích phân