Giải Toàn 12 - Tập Hai trang 92

Hai trang này thuộc phần BÀI TẬP ÔN TẬP CUỐI NĂM, mục A – Trắc nghiệm (các bài 1 đến 13). Đây là tổng hợp kiến thức cả năm: khảo sát hàm số, nguyên hàm – tích phân, hình học không gian Oxyz, vectơ và thống kê. Mình giải chi tiết từng câu nhé.

---

Bài 1: Khoảng nghịch biến của hàm số

Đề: Khoảng nghịch biến của hàm số $y = x^3 - 6x^2 + 9x + 1$.

Lời giải:

$$y' = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x-1)(x-3)$$

$y' < 0 \iff 1 < x < 3$.

Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng $(1; 3)$.

Đáp án: C.

---

Bài 2: Giá trị lớn nhất trên đoạn

Đề: Giá trị lớn nhất $M$ của hàm số $y = \dfrac{x^2+3}{x-1}$ trên đoạn $[2; 4]$.

Lời giải:

$$y' = \frac{2x(x-1) - (x^2+3)}{(x-1)^2} = \frac{x^2 - 2x - 3}{(x-1)^2} = \frac{(x-3)(x+1)}{(x-1)^2}$$

Trên $[2;4]$, $y'=0 \iff x=3$. Tính giá trị tại các điểm:

• $y(2) = \dfrac{4+3}{1} = 7$
• $y(3) = \dfrac{9+3}{2} = 6$ (cực tiểu)
• $y(4) = \dfrac{16+3}{3} = \dfrac{19}{3} \approx 6{,}33$

Vậy $M = 7$.

Đáp án: B.

---

Bài 3: Tổng số đường tiệm cận

Đề: Tổng số các đường tiệm cận của đồ thị hàm số $y = \dfrac{\sqrt{x^2-1}}{x}$.

Lời giải:

• Tập xác định: $x^2 - 1 \ge 0$ và $x \ne 0$, tức $x \le -1$ hoặc $x \ge 1$. Vì miền không chứa lân cận của $x=0$ nên không có tiệm cận đứng.
• Khi $x \to +\infty$: $\dfrac{\sqrt{x^2-1}}{x} \to \dfrac{|x|}{x} = 1$ → tiệm cận ngang $y = 1$.
• Khi $x \to -\infty$: $\dfrac{\sqrt{x^2-1}}{x} \to \dfrac{-x}{x} = -1$ → tiệm cận ngang $y = -1$.

Tổng cộng 2 đường tiệm cận.

Đáp án: C.

---

Bài 4: Nhận dạng đồ thị

Đề: Đường cong trong hình là đồ thị của hàm số nào?

Lời giải:

• Đồ thị là hàm bậc ba (có 1 cực đại, 1 cực tiểu), nhánh bên phải đi lên nên hệ số $a > 0$. Loại A (a<0), loại C (bậc hai), loại D (phân thức).
• Còn lại B: $y = x^3 - 3x^2 + 3$, có $y' = 3x^2 - 6x$, cực đại tại $x=0$ ($y=3$), cực tiểu tại $x=2$ ($y=-1$), phù hợp với đồ thị.

Đáp án: B.

---

Bài 5: Nguyên hàm

Đề: Cho $f(x) = x^2 + 3$. Khẳng định đúng?

Lời giải:

$$\int (x^2 + 3)\,dx = \frac{x^3}{3} + 3x + C$$

Đáp án: D.

---

Bài 6: Tích phân với điều kiện ban đầu

Đề: Cho $f(0)=1$ và $f'(x) = 2\sin x + 1$. Tính $\displaystyle\int_0^{\pi/2} f(x)\,dx$.

Lời giải:

Tìm $f(x)$:

$$f(x) = \int (2\sin x + 1)\,dx = -2\cos x + x + C$$

$f(0) = -2 + 0 + C = 1 \Rightarrow C = 3$, nên $f(x) = -2\cos x + x + 3$.

Tính tích phân:

$$\int_0^{\pi/2} (-2\cos x + x + 3)\,dx = \left[-2\sin x + \frac{x^2}{2} + 3x\right]_0^{\pi/2}$$

$$= -2 + \frac{\pi^2}{8} + \frac{3\pi}{2} = \frac{\pi^2 + 12\pi - 16}{8}$$

Đáp án: A.

---

Bài 7: Diện tích hình phẳng

Đề: $S$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi $y=f(x)$, $y=0$, $x=-1$, $x=4$.

Lời giải:

Từ đồ thị: $f(x) \ge 0$ trên $[-1; 1]$ và $f(x) \le 0$ trên $[1; 4]$. Do đó:

$$S = \int_{-1}^{1} f(x)\,dx - \int_{1}^{4} f(x)\,dx$$

(Phần dưới trục $Ox$ phải lấy dấu trừ để diện tích dương.)

Đáp án: B.

---

Bài 8: Thể tích khối tròn xoay

Đề: $(H)$ giới hạn bởi $y = 2\sqrt{x}$, $y=0$, $x=0$, $x=4$. Tính thể tích khi quay quanh $Ox$.

Lời giải:
$$V = \pi \int_0^4 (2\sqrt{x})^2\,dx = \pi \int_0^4 4x\,dx = \pi \big[2x^2\big]_0^4 = 32\pi$$

Đáp án: B.

---

Bài 9: Tổng các vectơ trong tứ diện

Đề: Tứ diện $ABCD$, $G$ là trọng tâm tam giác $BCD$, $M$ là trung điểm $AG$. Tính $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD}$.

Lời giải:

Vì $G$ là trọng tâm $\triangle BCD$: $\overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD} = \vec{0}$.

$$\overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD} = 3\overrightarrow{MG} + (\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}) = 3\overrightarrow{MG}$$

Vì $M$ là trung điểm $AG$: $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MG} = \vec{0} \Rightarrow \overrightarrow{MA} = -\overrightarrow{MG}$.

Vậy:

$$\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD} = -\overrightarrow{MG} + 3\overrightarrow{MG} = 2\overrightarrow{MG}$$

Đáp án: B.

---

Bài 10: Tỉ số trong hình hộp

Đề: Hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ tâm $O$, $G$ là trọng tâm $\triangle BDA'$. Tính $\dfrac{AG}{AO}$.

Lời giải:

Chọn tọa độ: $A=(0,0,0)$, $B=(1,0,0)$, $D=(0,1,0)$, $A'=(0,0,1)$. Khi đó $C'=(1,1,1)$.

• Tâm $O$ là trung điểm $AC'$: $O = \left(\tfrac12, \tfrac12, \tfrac12\right)$
• Trọng tâm: $G = \dfrac{B+D+A'}{3} = \left(\tfrac13, \tfrac13, \tfrac13\right)$

Ba điểm $A$, $G$, $O$ thẳng hàng, nên:
$$\frac{AG}{AO} = \frac{1/3}{1/2} = \frac{2}{3}$$

Đáp án: C.

---

Bài 11: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Đề: $d: \begin{cases} x=2-t \\ y=3 \\ z=-1+2t\end{cases}$ và $(P): 2x - y - 2z + 1 = 0$. Tính côsin góc giữa $d$ và $(P)$.

Lời giải:

Vectơ chỉ phương $\vec{u} = (-1; 0; 2)$, vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (2; -1; -2)$.
$$\sin\varphi = \frac{|\vec{u}\cdot\vec{n}|}{|\vec{u}||\vec{n}|} = \frac{|-2+0-4|}{\sqrt{5}\cdot 3} = \frac{6}{3\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}}$$

$$\cos\varphi = \sqrt{1 - \frac{4}{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$$

Đáp án: B.

---

Bài 12: Phương trình mặt phẳng (ABC)

Đề: $M(2; -1; 3)$. $A$, $B$, $C$ là hình chiếu vuông góc của $M$ trên $Ox$, $Oy$, $Oz$. Viết phương trình $(ABC)$.

Lời giải:

Hình chiếu: $A(2;0;0)$, $B(0;-1;0)$, $C(0;0;3)$. Dùng phương trình đoạn chắn:

$$\frac{x}{2} + \frac{y}{-1} + \frac{z}{3} = 1 \;\Longrightarrow\; 3x - 6y + 2z = 6 \;\Longrightarrow\; 3x - 6y + 2z - 6 = 0$$

Đáp án: phương trình $3x - 6y + 2z - 6 = 0$ (lựa chọn có hạng tử $-6$).

---

Bài 13: Thống kê mẫu số liệu ghép nhóm

Bảng số liệu:

a) Khoảng biến thiên

Khoảng biến thiên = đầu mút phải của nhóm cuối − đầu mút trái của nhóm đầu = $10 - 0 = 10$.

Đáp án: B.

b) Độ lệch chuẩn

Giá trị đại diện (trung điểm): $1, 3, 5, 7, 9$; $n = 35$.

Số trung bình:

$$\bar{x} = \frac{1\cdot3 + 3\cdot8 + 5\cdot15 + 7\cdot7 + 9\cdot2}{35} = \frac{169}{35} \approx 4{,}829$$

Phương sai:

$$\sum f x^2 = 1^2\cdot3 + 3^2\cdot8 + 5^2\cdot15 + 7^2\cdot7 + 9^2\cdot2 = 3+72+375+343+162 = 955$$

$$s^2 = \frac{955}{35} - \bar{x}^2 = 27{,}286 - 23{,}315 \approx 3{,}97$$

Độ lệch chuẩn: $s = \sqrt{3{,}97} \approx 1{,}99$.

Đáp án: A.

---

Bảng đáp án nhanh: