Giải Toàn 12 - Tập Hai trang 94

⚙️ Bài tập

---

Câu 14

Đề bài: Trong một nhóm 25 người, có 15 người thích uống trà, 17 người thích uống cà phê, 9 người thích uống cả cà phê và trà. Chọn ngẫu nhiên một người trong nhóm. Biết rằng người đó thích uống cà phê. Xác suất để người đó thích uống trà là

A. 9/17 B. 8/17 C. 9/19 D. 10/19

Cách 1 — Sử dụng công thức xác suất có điều kiện

Bước 1: Xác định các tập hợp

• Gọi T là tập người thích uống trà: |T| = 15
• Gọi C là tập người thích uống cà phê: |C| = 17
• Số người thích cả hai: |T ∩ C| = 9

Bước 2: Áp dụng công thức xác suất có điều kiện

Xác suất để người đó thích uống trà, biết rằng người đó thích uống cà phê:

P(T|C) = P(T ∩ C) / P(C)

Bước 3: Tính toán

• P(C) = 17/25
• P(T ∩ C) = 9/25

Do đó: P(T|C) = (9/25) / (17/25) = 9/17

Đáp án: A. 9/17

Cách 2 — Lập luận trực tiếp

Vì đã biết người được chọn thích uống cà phê, nên không gian mẫu thu hẹp còn 17 người (những người thích cà phê).

Trong 17 người này, có 9 người thích cả trà và cà phê.

Xác suất = 9/17

Đáp án: A. 9/17

💡 Mẹo nhớ: Xác suất có điều kiện P(A|B) = n(A ∩ B) / n(B) - tức là thu hẹp không gian mẫu về B, rồi đếm phần giao.

---

Câu 15

Đề bài: Trong số 40 học sinh lớp 12A, có 22 em đăng kí thi ngành Kinh tế, 25 em đăng kí thi ngành Luật, 3 em không đăng kí cả hai ngành này. Chọn ngẫu nhiên một học sinh, biết rằng em đó đăng kí thi ngành luật. Xác suất để em đó đăng kí thi ngành kinh tế là

A. 3/5 B. 2/5 C. 3/7 D. 4/7

Cách 1 — Sử dụng công thức tập hợp và xác suất có điều kiện

Bước 1: Xác định số liệu

• Tổng số học sinh: n = 40
• Số HS đăng kí Kinh tế: |K| = 22
• Số HS đăng kí Luật: |L| = 25
• Số HS không đăng kí cả hai: 3

Bước 2: Tìm số học sinh đăng kí ít nhất một ngành

Số HS đăng kí ít nhất một ngành = 40 - 3 = 37

Bước 3: Áp dụng công thức hợp

|K ∪ L| = |K| + |L| - |K ∩ L|

37 = 22 + 25 - |K ∩ L|

|K ∩ L| = 47 - 37 = 10

Bước 4: Tính xác suất có điều kiện

P(K|L) = |K ∩ L| / |L| = 10/25 = 2/5

Đáp án: B. 2/5

Cách 2 — Sử dụng biểu đồ Venn

Vẽ biểu đồ Venn:

• Chỉ Kinh tế: 22 - 10 = 12
• Chỉ Luật: 25 - 10 = 15
• Cả hai: 10
• Không ngành nào: 3
• Kiểm tra: 12 + 15 + 10 + 3 = 40 ✓

Biết HS đăng kí Luật (25 em), trong đó có 10 em đăng kí cả Kinh tế.

Xác suất = 10/25 = 2/5

Đáp án: B. 2/5

⚠️ Lưu ý thi: Bài này hay sai ở bước tìm giao. Nhớ dùng công thức |A ∪ B| = |A| + |B| - |A ∩ B|

---

B – TỰ LUẬN

---

Câu 16

Đề bài: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a) y = x³ - 3x²

Cách 1 — Phương pháp chuẩn SGK

Bước 1: Tập xác định
D = ℝ

Bước 2: Sự biến thiên

Đạo hàm: y' = 3x² - 6x = 3x(x - 2)

y' = 0 ⟺ x = 0 hoặc x = 2

Bảng xét dấu y':

Cực trị:

• Cực đại tại x = 0: y_CĐ = 0
• Cực tiểu tại x = 2: y_CT = 8 - 12 = -4

Giới hạn:

• lim(x→-∞) y = -∞
• lim(x→+∞) y = +∞

Bước 3: Bảng biến thiên

Bước 4: Đồ thị

• Điểm cực đại: (0; 0)
• Điểm cực tiểu: (2; -4)
• Điểm uốn: y'' = 6x - 6 = 0 ⟹ x = 1, y = -2. Điểm uốn I(1; -2)
• Giao với Ox: x³ - 3x² = 0 ⟺ x²(x - 3) = 0 ⟺ x = 0 hoặc x = 3

---

b) y = (2x + 1)/(x + 2)

Cách 1 — Phương pháp chuẩn SGK

Bước 1: Tập xác định
D = ℝ \ {-2}

Bước 2: Sự biến thiên

Đạo hàm:

y' = [2(x + 2) - (2x + 1) × 1] / (x + 2)²

y' = (2x + 4 - 2x - 1) / (x + 2)²

y' = 3 / (x + 2)²

y' > 0, ∀x ≠ -2 ⟹ Hàm số đồng biến trên (-∞; -2) và (-2; +∞)

Tiệm cận:

• Tiệm cận đứng: x = -2
• Tiệm cận ngang: y = lim(x→±∞) (2x + 1)/(x + 2) = 2

Bước 3: Bảng biến thiên

Bước 4: Đồ thị

• Tiệm cận đứng: x = -2
• Tiệm cận ngang: y = 2
• Giao với Oy: x = 0 ⟹ y = 1/2, điểm (0; 1/2)
• Giao với Ox: y = 0 ⟹ x = -1/2, điểm (-1/2; 0)
• Tâm đối xứng: I(-2; 2)

---

c) y = (2x² + x - 2)/(x - 1)

Cách 1 — Phương pháp chuẩn SGK

Bước 1: Tập xác định
D = ℝ \ {1}

Bước 2: Biến đổi về dạng chuẩn

Thực hiện phép chia:

2x² + x - 2 = (x - 1)(2x + 3) + 1

Vậy: y = 2x + 3 + 1/(x - 1)

Bước 3: Sự biến thiên

Đạo hàm:

y' = 2 - 1/(x - 1)²

y' = 0 ⟺ (x - 1)² = 1/2 ⟺ x - 1 = ±√2/2

⟹ x = 1 + √2/2 hoặc x = 1 - √2/2

Xét dấu y':

• y' > 0 khi |x - 1| > √2/2
• y' < 0 khi |x - 1| < √2/2

Cực trị:

• x₁ = 1 - √2/2: y₁ = 2(1 - √2/2) + 3 + 1/(-√2/2) = 5 - √2 - √2 = 5 - 2√2
• x₂ = 1 + √2/2: y₂ = 2(1 + √2/2) + 3 + 1/(√2/2) = 5 + √2 + √2 = 5 + 2√2

Tiệm cận:

• Tiệm cận đứng: x = 1
• Tiệm cận xiên: y = 2x + 3

Bước 4: Bảng biến thiên

---

Câu 17

Đề bài: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

a) y = √[(x + 1)/(x² + 1)] trên đoạn [-1; 2]

Cách 1 — Khảo sát đạo hàm

Bước 1: Đặt u = (x + 1)/(x² + 1), ta có y = √u

Bước 2: Tìm đạo hàm của u

u' = [(x² + 1) - (x + 1)(2x)] / (x² + 1)²

u' = (x² + 1 - 2x² - 2x) / (x² + 1)²

u' = (-x² - 2x + 1) / (x² + 1)²

u' = 0 ⟺ -x² - 2x + 1 = 0 ⟺ x² + 2x - 1 = 0

x = (-2 ± √8)/2 = -1 ± √2

Trong [-1; 2]: x = -1 + √2 ≈ 0,414 ∈ [-1; 2]

Bước 3: Tính giá trị tại các điểm đặc biệt

• Tại x = -1: y = √(0/2) = 0
• Tại x = 2: y = √(3/5) = √(3/5) = √15/5
• Tại x = -1 + √2:
• x + 1 = √2
• x² + 1 = (-1 + √2)² + 1 = 1 - 2√2 + 2 + 1 = 4 - 2√2 = 2(2 - √2)
• u = √2 / [2(2 - √2)] = √2(2 + √2) / [2(4 - 2)] = √2(2 + √2) / 4 = (2√2 + 2) / 4 = (√2 + 1) / 2
• y = √[(√2 + 1)/2]

Bước 4: So sánh

• y(-1) = 0
• y(2) = √(3/5) ≈ 0,775
• y(-1 + √2) = √[(√2 + 1)/2] ≈ √1,207 ≈ 1,099

Kết quả:

• min y = 0 tại x = -1
• max y = √[(√2 + 1)/2] tại x = -1 + √2

---

b) y = x + √(1 - x²)

Cách 1 — Khảo sát đạo hàm

Bước 1: Tập xác định

1 - x² ≥ 0 ⟺ -1 ≤ x ≤ 1

Bước 2: Tính đạo hàm

y' = 1 + (-2x) / [2√(1 - x²)] = 1 - x/√(1 - x²)

y' = 0 ⟺ √(1 - x²) = x

Điều kiện: x ≥ 0

Bình phương: 1 - x² = x² ⟹ x² = 1/2 ⟹ x = √2/2 (vì x > 0)

Bước 3: Tính giá trị

• Tại x = -1: y = -1 + 0 = -1
• Tại x = 1: y = 1 + 0 = 1
• Tại x = √2/2: y = √2/2 + √(1 - 1/2) = √2/2 + √2/2 = √2

Kết quả:

• min y = -1 tại x = -1
• max y = √2 tại x = √2/2

Cách 2 — Đặt x = cos t

Đặt x = cos t với t ∈ [0; π]

y = cos t + sin t = √2 × sin(t + π/4)

Với t ∈ [0; π] ⟹ t + π/4 ∈ [π/4; 5π/4]

• max sin(t + π/4) = 1 khi t + π/4 = π/2 ⟹ t = π/4 ⟹ max y = √2
• min sin(t + π/4) = sin(5π/4) = -√2/2 khi t = π ⟹ min y = √2 × (-√2/2) = -1

💡 Mẹo nhớ: Với biểu thức dạng a×cos t + b×sin t, biến đổi về √(a² + b²) × sin(t + φ)

---

Câu 18

Đề bài: Khi đạp phanh thì một ô tô chuyển động chậm dần đều với gia tốc 10 m/s².

a) Nếu khi bắt đầu đạp phanh ô tô đang chạy với vận tốc 54 km/h thì sau bao lâu kể từ khi đạp phanh, ô tô sẽ dừng lại?

Cách 1 — Sử dụng công thức vận tốc

Bước 1: Đổi đơn vị
v₀ = 54 km/h = 54 × 1000/3600 = 15 m/s

Bước 2: Áp dụng công thức vận tốc

v(t) = v₀ - a×t (chuyển động chậm dần đều)

Ô tô dừng lại khi v(t) = 0:

0 = 15 - 10×t
t = 15/10 = 1,5 (giây)

Đáp án: Sau 1,5 giây ô tô sẽ dừng lại

---

b) Nếu ô tô dừng lại trong vòng 20 m sau khi đạp phanh thì vận tốc lớn nhất của ô tô ngay trước lúc đạp phanh (tính bằng km/h) có thể là bao nhiêu?

Cách 1 — Sử dụng công thức quãng đường

Bước 1: Thiết lập phương trình

• Quãng đường: s = v₀×t - (1/2)×a×t²
• Vận tốc: v = v₀ - a×t

Khi dừng lại: v = 0 ⟹ t = v₀/a

Bước 2: Thay vào công thức quãng đường

s = v₀ × (v₀/a) - (1/2) × a × (v₀/a)²

s = v₀²/a - v₀²/(2a)
s = v₀²/(2a)

Bước 3: Giải bất phương trình
s ≤ 20
v₀²/(2×10) ≤ 20
v₀² ≤ 400
v₀ ≤ 20 m/s

Bước 4: Đổi đơn vị
v₀ ≤ 20 × 3600/1000 = 72 km/h

Đáp án: Vận tốc lớn nhất là 72 km/h

💡 Mẹo nhớ: Công thức quan trọng: s = v₀²/(2a) cho chuyển động chậm dần đều đến khi dừng

---

Câu 19

Đề bài: Tìm hàm số f(x) biết rằng f'(x) = x - 1/x² + 2 và f(1) = 2.

Cách 1 — Tích phân nguyên hàm

Bước 1: Tìm nguyên hàm

f(x) = ∫(x - 1/x² + 2)dx

f(x) = ∫x dx - ∫x⁻² dx + ∫2 dx

f(x) = x²/2 - x⁻¹/(-1) + 2x + C

f(x) = x²/2 + 1/x + 2x + C

Bước 2: Xác định hằng số C từ điều kiện f(1) = 2

f(1) = 1/2 + 1 + 2 + C = 2

7/2 + C = 2

C = 2 - 7/2 = -3/2

Kết quả:

f(x) = x²/2 + 1/x + 2x - 3/2

💡 Mẹo bấm máy: Kiểm tra lại bằng cách tính f(1) = 1/2 + 1 + 2 - 3/2 = 2 ✓

---

Câu 20

Đề bài: Tính các tích phân sau:

a) I = ∫₀² |x² - x| dx

Cách 1 — Chia khoảng theo dấu

Bước 1: Xét dấu x² - x = x(x - 1)

• x² - x = 0 ⟺ x = 0 hoặc x = 1
• x² - x < 0 khi 0 < x < 1
• x² - x > 0 khi x < 0 hoặc x > 1

Bước 2: Chia tích phân

I = ∫₀¹ |x² - x| dx + ∫₁² |x² - x| dx

I = ∫₀¹ (x - x²) dx + ∫₁² (x² - x) dx

Bước 3: Tính từng phần

∫₀¹ (x - x²) dx = [x²/2 - x³/3]₀¹ = 1/2 - 1/3 = 1/6

∫₁² (x² - x) dx = [x³/3 - x²/2]₁² = (8/3 - 2) - (1/3 - 1/2) = 8/3 - 2 - 1/3 + 1/2 = 7/3 - 3/2 = 14/6 - 9/6 = 5/6

Kết quả: I = 1/6 + 5/6 = 1

---

b) I = ∫₀¹ (2x - 1)³ dx

Cách 1 — Đặt ẩn phụ

Bước 1: Đặt u = 2x - 1 ⟹ du = 2dx ⟹ dx = du/2

Đổi cận: x = 0 ⟹ u = -1; x = 1 ⟹ u = 1

Bước 2: Tính tích phân

I = ∫₋₁¹ u³ × (1/2) du = (1/2) × [u⁴/4]₋₁¹ = (1/8) × [1 - 1] = 0

Kết quả: I = 0

Cách 2 — Nhận xét tính chẵn lẻ

Hàm f(u) = u³ là hàm lẻ, tích phân trên đoạn đối xứng [-1; 1] nên I = 0.

---

c) I = ∫₀^(π/4) (3sin x - 2/cos²x) dx

Cách 1 — Tính trực tiếp

Bước 1: Tách tích phân

I = ∫₀^(π/4) 3sin x dx - ∫₀^(π/4) 2/cos²x dx

Bước 2: Tính từng phần
∫ 3sin x dx = -3cos x

∫ 2/cos²x dx = 2tan x

Bước 3: Tính giá trị

I = [-3cos x - 2tan x]₀^(π/4)

I = (-3cos(π/4) - 2tan(π/4)) - (-3cos 0 - 2tan 0)

I = (-3 × √2/2 - 2 × 1) - (-3 - 0)

I = -3√2/2 - 2 + 3

I = 1 - 3√2/2

Kết quả: I = 1 - 3√2/2 = (2 - 3√2)/2

---

d) I = ∫₁² (2eˣ - 1/x) dx

Cách 1 — Tính trực tiếp

Bước 1: Tách tích phân

I = ∫₁² 2eˣ dx - ∫₁² (1/x) dx

Bước 2: Tính nguyên hàm
∫ 2eˣ dx = 2eˣ

∫ (1/x) dx = ln|x|

Bước 3: Tính giá trị

I = [2eˣ - ln x]₁²

I = (2e² - ln 2) - (2e - ln 1)

I = 2e² - ln 2 - 2e

Kết quả: I = 2e² - 2e - ln 2 = 2e(e - 1) - ln 2

---

Câu 21

Đề bài: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x² - 1, y = x + 5, x = -2, x = 3.

Cách 1 — Công thức diện tích

Bước 1: Xác định vị trí tương đối của hai đường

Xét hiệu: (x + 5) - (x² - 1) = -x² + x + 6 = -(x² - x - 6) = -(x - 3)(x + 2)

• Với x ∈ [-2; 3]: -(x - 3)(x + 2) ≥ 0 (vì x - 3 ≤ 0 và x + 2 ≥ 0)

Vậy trên [-2; 3], đường y = x + 5 nằm phía trên y = x² - 1.

Bước 2: Tính diện tích

S = ∫₋₂³ [(x + 5) - (x² - 1)] dx

S = ∫₋₂³ (-x² + x + 6) dx

S = [-x³/3 + x²/2 + 6x]₋₂³

Bước 3: Tính giá trị

Tại x = 3: -27/3 + 9/2 + 18 = -9 + 9/2 + 18 = 9 + 9/2 = 27/2

Tại x = -2: -(-8)/3 + 4/2 + (-12) = 8/3 + 2 - 12 = 8/3 - 10 = -22/3

S = 27/2 - (-22/3) = 27/2 + 22/3 = 81/6 + 44/6 = 125/6

Kết quả: S = 125/6 (đơn vị diện tích)

---

Câu 22

Đề bài: Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi các đường y = -x² + 2x, y = 0, x = 0 và x = 2. Tính thể tích của khối tròn xoay thu được khi quay hình phẳng (H) xung quanh trục Ox.

Cách 1 — Công thức thể tích khối tròn xoay

Bước 1: Xác định miền (H)

• Parabol y = -x² + 2x = x(2 - x) cắt trục Ox tại x = 0 và x = 2
• Trên [0; 2]: y ≥ 0

Bước 2: Áp dụng công thức

V = π × ∫₀² y² dx = π × ∫₀² (-x² + 2x)² dx

Bước 3: Khai triển

(-x² + 2x)² = x⁴ - 4x³ + 4x²

Bước 4: Tính tích phân

V = π × ∫₀² (x⁴ - 4x³ + 4x²) dx

V = π × [x⁵/5 - x⁴ + 4x³/3]₀²

V = π × (32/5 - 16 + 32/3)

V = π × (96/15 - 240/15 + 160/15)
V = π × 16/15

Kết quả: V = 16π/15 (đơn vị thể tích)

---

Câu 23

**Đề bài