Giải Toàn 12 - Tập Hai trang 14

🔍 Kiến thức cần nhớ

Khái niệm hình thang cong

Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b (a < b), trong đó f(x) là hàm liên tục không âm trên đoạn [a; b], gọi là một hình thang cong.

Diện tích hình thang (công thức hình học)

Với hình thang vuông có đáy song song với trục Oy:

• Diện tích = (đáy lớn + đáy nhỏ) × chiều cao / 2

---

⚙️ Bài tập

---

HĐ1. Diện tích của hình thang

Đề bài: Kí hiệu T là hình thang vuông giới hạn bởi đường thẳng y = x + 1, trục hoành và hai đường thẳng x = 1, x = t (1 ≤ t ≤ 4) (H.4.3).

a) Tính diện tích S của T khi t = 4.

b) Tính diện tích S(t) của T khi t ∈ [1; 4].

c) Chứng minh rằng S(t) là một nguyên hàm của hàm số f(t) = t + 1, t ∈ [1; 4] và diện tích S = S(4) − S(1).

---

Câu a) Tính diện tích S của T khi t = 4

Cách 1 — Phương pháp hình học cơ bản

Phân tích: Khi t = 4, hình thang vuông T giới hạn bởi:

• Đường thẳng y = x + 1
• Trục hoành (y = 0)
• Đường thẳng x = 1 và x = 4

Xác định các đỉnh của hình thang:

• Tại x = 1: y = 1 + 1 = 2 → điểm (1; 2)
• Tại x = 4: y = 4 + 1 = 5 → điểm (4; 5)
• Hai điểm trên trục hoành: (1; 0) và (4; 0)

Áp dụng công thức diện tích hình thang:

• Đáy nhỏ = 2 (chiều cao tại x = 1)
• Đáy lớn = 5 (chiều cao tại x = 4)
• Chiều cao hình thang = 4 − 1 = 3

S = (đáy lớn + đáy nhỏ) × chiều cao / 2

S = (5 + 2) × 3 / 2 = 7 × 3 / 2 = 21/2 (đơn vị diện tích)

Cách 2 — Tính trực tiếp bằng tích phân (nếu đã biết)

S = ∫₁⁴ (x + 1) dx = [x²/2 + x]₁⁴ = (16/2 + 4) − (1/2 + 1) = 12 − 3/2 = 21/2

💡 Mẹo nhớ: Diện tích hình thang vuông với cạnh xiên là đường thẳng y = ax + b luôn có thể tính bằng công thức hình học hoặc tích phân, kết quả phải khớp nhau.

---

Câu b) Tính diện tích S(t) của T khi t ∈ [1; 4]

Cách 1 — Phương pháp hình học

Xác định các yếu tố:

• Tại x = 1: y = 2 → đáy nhỏ = 2
• Tại x = t: y = t + 1 → đáy lớn = t + 1
• Chiều cao hình thang = t − 1

Áp dụng công thức:

S(t) = [(t + 1) + 2] × (t − 1) / 2

S(t) = (t + 3)(t − 1) / 2

S(t) = (t² + 3t − t − 3) / 2

S(t) = (t² + 2t − 3) / 2

S(t) = t²/2 + t − 3/2 với t ∈ [1; 4]

Cách 2 — Kiểm tra bằng giá trị đặc biệt

Khi t = 1: S(1) = 1/2 + 1 − 3/2 = 0 ✓ (hình thang suy biến thành điểm)

Khi t = 4: S(4) = 16/2 + 4 − 3/2 = 8 + 4 − 3/2 = 21/2 ✓ (khớp với câu a)

---

Câu c) Chứng minh S(t) là nguyên hàm của f(t) = t + 1

Cách 1 — Tính đạo hàm trực tiếp

Ta có: S(t) = t²/2 + t − 3/2

Tính đạo hàm:

S'(t) = (t²/2)' + (t)' − (3/2)'

S'(t) = 2t/2 + 1 − 0

S'(t) = t + 1 = f(t) ✓

Vậy S(t) là một nguyên hàm của f(t) = t + 1 trên [1; 4].

Kiểm tra S = S(4) − S(1):

S(4) − S(1) = (16/2 + 4 − 3/2) − (1/2 + 1 − 3/2)

= (8 + 4 − 3/2) − (1/2 + 1 − 3/2)

= 21/2 − 0

= 21/2 ✓

Cách 2 — Giải thích ý nghĩa

Đây chính là định lý Newton-Leibniz: Nếu F(x) là nguyên hàm của f(x) thì:
∫ₐᵇ f(x)dx = F(b) − F(a)

⚠️ Lưu ý thi: Bài này minh họa ý tưởng cốt lõi của tích phân: diện tích hình thang cong bằng hiệu giá trị nguyên hàm tại hai đầu mút.

---

HĐ2. Diện tích của hình thang cong

Đề bài: Xét hình thang cong giới hạn bởi đồ thị y = x², trục hoành và hai đường thẳng x = 1, x = 2. Gọi S(x) là diện tích phần hình thang cong nằm giữa hai đường thẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ bằng 1 và x (H.4.5).

---

Câu a) So sánh [S(x+h) − S(x)]/h với x² và 2xh + h² khi h > 0, x + h < 2

Cách 1 — Phương pháp hình học (so sánh diện tích)

Phân tích hình học:

• S(x + h) − S(x) là diện tích phần hình thang cong từ x đến x + h
• Hình chữ nhật MNPQ có chiều cao h, chiều rộng x² → diện tích = x² × h
• Hình chữ nhật MNEF có chiều cao h, chiều rộng (x + h)² → diện tích = (x + h)² × h

So sánh:

Vì y = x² là hàm tăng trên [1; 2], phần diện tích S(x + h) − S(x) bị kẹp giữa hai hình chữ nhật:

Diện tích MNPQ ≤ S(x + h) − S(x) ≤ Diện tích MNEF

x² × h ≤ S(x + h) − S(x) ≤ (x + h)² × h

Chia cả hai vế cho h > 0:

x² ≤ [S(x + h) − S(x)] / h ≤ (x + h)²

x² ≤ [S(x + h) − S(x)] / h ≤ x² + 2xh + h²

Suy ra:

0 ≤ [S(x + h) − S(x)] / h − x² ≤ 2xh + h²

---

Câu b) Đánh giá hiệu S(x) − S(x + h) khi h < 0, x + h > 1

Cách 1 — Tương tự phần a với h < 0

Khi h < 0 (tức x + h < x), ta có:

• S(x) − S(x + h) là diện tích từ x + h đến x
• Tương tự cách lập luận ở phần a nhưng đổi chiều

Kết quả:

(x + h)² ≤ [S(x) − S(x + h)] / (−h) ≤ x²

Nhân cả hai vế với (−1) và lưu ý h < 0:

x² ≤ [S(x + h) − S(x)] / h ≤ (x + h)²

Suy ra:

2xh + h² ≤ [S(x + h) − S(x)] / h − x² ≤ 0

---

Câu c) Chứng minh S'(x) = x² với x ∈ (1; 2)

Cách 1 — Sử dụng kết quả phần a và b

Từ phần a (h > 0): 0 ≤ [S(x + h) − S(x)] / h − x² ≤ 2xh + h²

Từ phần b (h < 0): 2xh + h² ≤ [S(x + h) − S(x)] / h − x² ≤ 0

Kết hợp hai kết quả: Với mọi h ≠ 0, ta có:

|[S(x + h) − S(x)] / h − x²| ≤ 2x|h| + h²

Khi h → 0:

lim(h→0) [2x|h| + h²] = 0

Theo định lý kẹp (định lý bánh sandwich):

lim(h→0) {[S(x + h) − S(x)] / h − x²} = 0

⟹ lim(h→0) [S(x + h) − S(x)] / h = x²

Vậy S'(x) = x² với x ∈ (1; 2)

💡 Mẹo nhớ: Đây là cách chứng minh đạo hàm của hàm diện tích chính bằng hàm dưới dấu tích phân - ý tưởng then chốt của giải tích.

---

Câu d) Tính S biết S(1) = 0 và S(x) = x³/3 + C

Cách 1 — Sử dụng điều kiện đầu

Từ S'(x) = x² và S'(1) = 1, S'(2) = 4, ta có S(x) là nguyên hàm của x².

Công thức tổng quát: S(x) = x³/3 + C

Xác định C từ điều kiện S(1) = 0:

S(1) = 1³/3 + C = 0

1/3 + C = 0

C = −1/3

Vậy: S(x) = x³/3 − 1/3

Tính diện tích S = S(2):

S = S(2) = 2³/3 − 1/3 = 8/3 − 1/3 = 7/3 (đơn vị diện tích)

Cách 2 — So sánh S và F(2) − F(1)

Gọi F(x) = x³/3 là một nguyên hàm của f(x) = x² trên [1; 2].

F(2) − F(1) = 8/3 − 1/3 = 7/3

So sánh: S = F(2) − F(1) = 7/3 ✓

⚠️ Lưu ý thi: Kết quả này minh họa công thức Newton-Leibniz: ∫₁² x² dx = [x³/3]₁² = 8/3 − 1/3 = 7/3

---

🎯 Ghi nhớ

1. Hình thang cong là hình giới hạn bởi đồ thị hàm số không âm, trục hoành và hai đường thẳng đứng.

1. Ý tưởng cốt lõi: Diện tích hình thang cong được tính bằng hiệu giá trị nguyên hàm: S = F(b) − F(a)

1. Mối liên hệ quan trọng: Nếu S(x) là hàm diện tích thì S'(x) = f(x), tức hàm diện tích là nguyên hàm của hàm dưới dấu tích phân.

1. Công thức Newton-Leibniz: ∫ₐᵇ f(x)dx = F(b) − F(a), trong đó F là nguyên hàm của f.