Giải Toàn 12 - Tập Hai trang 16

🔍 Kiến thức cần nhớ

1. Định lí 1 - Diện tích hình thang cong

Nếu hàm số f(x) liên tục và không âm trên đoạn [a; b], thì diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b là:

S = F(b) − F(a)

trong đó F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên đoạn [a; b].

2. Định nghĩa tích phân

Cho f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b]. Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên đoạn [a; b] thì hiệu số F(b) − F(a) được gọi là tích phân từ a đến b của hàm số f(x), kí hiệu là:

∫[a→b] f(x)dx = F(x)|[a→b] = F(b) − F(a)

3. Các chú ý quan trọng

• a là cận dưới, b là cận trên
• f(x)dx là biểu thức dưới dấu tích phân
• f(x) là hàm số dưới dấu tích phân
• Tích phân không phụ thuộc vào cách kí hiệu biến: ∫[a→b] f(x)dx = ∫[a→b] f(t)dt = ∫[a→b] f(u)du

4. Quy ước

• ∫[a→a] f(x)dx = 0
• ∫[a→b] f(x)dx = −∫[b→a] f(x)dx

5. Ý nghĩa hình học của tích phân

Nếu hàm số f(x) liên tục và không âm trên đoạn [a; b], thì tích phân ∫[a→b] f(x)dx là diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b.

---

⚙️ Bài tập

Luyện tập 1

Đề bài: Tính các tích phân sau:

a) ∫[0→1] e^x dx

b) ∫[1→e] (1/x) dx

c) ∫[0→π/2] sin(x) dx

d) ∫[π/6→π/3] dx/sin²x

---

Câu a) ∫[0→1] e^x dx

Cách 1 — Phương pháp cơ bản (sử dụng công thức nguyên hàm)

Bước 1: Tìm nguyên hàm của f(x) = e^x

Ta có: ∫e^x dx = e^x + C

Vậy F(x) = e^x là một nguyên hàm của e^x.

Bước 2: Áp dụng công thức Newton-Leibniz

∫[0→1] e^x dx = e^x |[0→1] = e^1 − e^0 = e − 1

Đáp số: e − 1 ≈ 1,718

Cách 2 — Tính nhanh

Nhận dạng ngay: e^x là hàm có nguyên hàm chính là nó.

∫[0→1] e^x dx = e − 1

💡 Mẹo nhớ: Nguyên hàm của e^x là chính nó: ∫e^x dx = e^x + C

---

Câu b) ∫[1→e] (1/x) dx

Cách 1 — Phương pháp cơ bản

Bước 1: Tìm nguyên hàm của f(x) = 1/x

Ta có: ∫(1/x) dx = ln|x| + C

Với x ∈ [1; e], x > 0 nên |x| = x.

Vậy F(x) = ln(x) là một nguyên hàm.

Bước 2: Áp dụng công thức Newton-Leibniz

∫[1→e] (1/x) dx = ln(x) |[1→e] = ln(e) − ln(1) = 1 − 0 = 1

Đáp số: 1

Cách 2 — Nhận dạng nhanh

Cận trên là e, cận dưới là 1 → đây là tích phân "đặc biệt" cho kết quả đẹp.

∫[1→e] (1/x) dx = ln(e) − ln(1) = 1 − 0 = 1

⚠️ Lưu ý thi: Tích phân ∫[1→e] (1/x) dx = 1 là kết quả hay gặp trong đề thi!

---

Câu c) ∫[0→π/2] sin(x) dx

Cách 1 — Phương pháp cơ bản

Bước 1: Tìm nguyên hàm của f(x) = sin(x)

Ta có: ∫sin(x) dx = −cos(x) + C

Vậy F(x) = −cos(x) là một nguyên hàm.

Bước 2: Áp dụng công thức Newton-Leibniz

∫[0→π/2] sin(x) dx = −cos(x) |[0→π/2]

= −cos(π/2) − (−cos(0))

= −0 − (−1)

= 0 + 1 = 1

Đáp số: 1

Cách 2 — Sử dụng ý nghĩa hình học

Tích phân này là diện tích hình thang cong dưới đường sin(x) từ 0 đến π/2, bằng đúng 1 đơn vị diện tích.

💡 Mẹo nhớ: ∫[0→π/2] sin(x) dx = ∫[0→π/2] cos(x) dx = 1

---

Câu d) ∫[π/6→π/3] dx/sin²x

Cách 1 — Phương pháp cơ bản

Bước 1: Nhận dạng hàm số

Ta có: 1/sin²x = csc²x (hàm cosecant bình phương)

Bước 2: Tìm nguyên hàm

Ta có: ∫(1/sin²x) dx = ∫csc²x dx = −cot(x) + C

(Vì (cot x)' = −1/sin²x nên ∫(1/sin²x) dx = −cot x + C)

Bước 3: Áp dụng công thức Newton-Leibniz

∫[π/6→π/3] dx/sin²x = −cot(x) |[π/6→π/3]

= −cot(π/3) − (−cot(π/6))

= −cot(π/3) + cot(π/6)

Bước 4: Tính giá trị

• cot(π/3) = cos(π/3)/sin(π/3) = (1/2)/(√3/2) = 1/√3 = √3/3
• cot(π/6) = cos(π/6)/sin(π/6) = (√3/2)/(1/2) = √3

Vậy: −√3/3 + √3 = √3 − √3/3 = (3√3 − √3)/3 = 2√3/3

Đáp số: 2√3/3

Cách 2 — Ghi nhớ công thức trực tiếp

Biết ngay ∫(1/sin²x) dx = −cot(x) + C, thay cận nhanh:

= cot(π/6) − cot(π/3) = √3 − √3/3 = 2√3/3

⚠️ Lưu ý thi: Nhớ các nguyên hàm lượng giác cơ bản: - ∫(1/sin²x) dx = −cot(x) + C - ∫(1/cos²x) dx = tan(x) + C

---

🎯 Ghi nhớ

💡 Mẹo thi nhanh: - Với tích phân xác định, sau khi tìm nguyên hàm, không cần viết + C - Luôn kiểm tra: thay cận trên trước, trừ đi kết quả khi thay cận dưới