Giải Toàn 12 - Táºp Hai trang 18
Lời giải chi tiết SGK Lớp 12 · Môn ToĂ¡n · Trang 18–19
🔍 Kiến thức cần nhớ
Ý nghĩa hình học của tích phân
- Tích phân xác định có thể được tính thông qua diện tích hình phẳng
- Ví dụ: ∫√(1-x²)dx từ -1 đến 1 bằng diện tích nửa hình tròn bán kính 1, tức là π/2
Tính chất của tích phân
Cho f(x), g(x) là các hàm số liên tục trên đoạn [a; b]. Khi đó:
- ∫kf(x)dx từ a đến b = k∫f(x)dx từ a đến b (k là hằng số)
- ∫[f(x) + g(x)]dx từ a đến b = ∫f(x)dx từ a đến b + ∫g(x)dx từ a đến b
- ∫[f(x) - g(x)]dx từ a đến b = ∫f(x)dx từ a đến b - ∫g(x)dx từ a đến b
- ∫f(x)dx từ a đến b = ∫f(x)dx từ a đến c + ∫f(x)dx từ c đến b (a < c < b)
Giá trị trung bình của hàm số
Giá trị trung bình của hàm số liên tục f(x) trên đoạn [a; b] được định nghĩa là:
1/(b-a) × ∫f(x)dx từ a đến b
⚙️ Bài tập
Luyện tập 2
Đề bài: Sử dụng ý nghĩa hình học của tích phân, tính:
a) ∫(2x + 1)dx từ 1 đến 3
b) ∫√(4 - x²)dx từ -2 đến 2
Cách 1 — Phương pháp hình học (theo yêu cầu đề bài)
Câu a) ∫(2x + 1)dx từ 1 đến 3
Bước 1: Nhận dạng hàm số y = 2x + 1 là đường thẳng
Bước 2: Xác định các điểm đặc biệt:
- Khi x = 1: y = 2(1) + 1 = 3 → điểm A(1; 3)
- Khi x = 3: y = 2(3) + 1 = 7 → điểm B(3; 7)
Bước 3: Vùng cần tính là hình thang có:
- Đáy nhỏ: y₁ = 3 (tại x = 1)
- Đáy lớn: y₂ = 7 (tại x = 3)
- Chiều cao: h = 3 - 1 = 2
Bước 4: Áp dụng công thức diện tích hình thang:
S = (đáy nhỏ + đáy lớn) × chiều cao / 2 = (3 + 7) × 2 / 2 = 10
Câu b) ∫√(4 - x²)dx từ -2 đến 2
Bước 1: Nhận dạng hàm số y = √(4 - x²)
Ta có: y² = 4 - x² → x² + y² = 4 (với y ≥ 0)
Đây là phương trình nửa trên của đường tròn tâm O, bán kính R = 2.
Bước 2: Xác định vùng tích phân
- x chạy từ -2 đến 2 bao trùm toàn bộ nửa trên đường tròn
Bước 3: Tính diện tích nửa hình tròn bán kính 2:
S = πR²/2 = π × 2²/2 = 2π
Cách 2 — Phương pháp tính trực tiếp (nguyên hàm)
Câu a) ∫(2x + 1)dx từ 1 đến 3
∫(2x + 1)dx = x² + x + C
Áp dụng công thức Newton-Leibniz:
= (x² + x) | từ 1 đến 3
= (3² + 3) - (1² + 1)
= 12 - 2 = 10
Câu b) ∫√(4 - x²)dx từ -2 đến 2
Đặt x = 2sin(t), dx = 2cos(t)dt
- Khi x = -2: t = -π/2
- Khi x = 2: t = π/2
√(4 - x²) = √(4 - 4sin²t) = 2cos(t)
∫√(4 - x²)dx = ∫2cos(t) × 2cos(t)dt = 4∫cos²(t)dt
= 4∫(1 + cos2t)/2 dt = 2∫(1 + cos2t)dt
= 2(t + sin2t/2) | từ -π/2 đến π/2
= 2[(π/2 + 0) - (-π/2 + 0)] = 2 × π = 2π
💡 Mẹo nhớ: Khi gặp √(a² - x²), hãy liên tưởng đến phương trình đường tròn x² + y² = a². Dùng ý nghĩa hình học sẽ nhanh hơn nhiều!
Vận dụng 1
Đề bài: Giải quyết bài toán ở tình huống mở đầu.
⚠️ Lưu ý: Bài này yêu cầu xem lại tình huống mở đầu của bài học. Thông thường đó là bài toán về quãng đường hoặc diện tích liên quan đến tích phân.
HĐ4 - Nhận biết tính chất của tích phân
Đề bài: Tính và so sánh:
a) ∫2xdx từ 0 đến 1 và 2∫xdx từ 0 đến 1
b) ∫(x² + x)dx từ 0 đến 1 và ∫x²dx từ 0 đến 1 + ∫xdx từ 0 đến 1
c) ∫xdx từ 0 đến 3 và ∫xdx từ 0 đến 1 + ∫xdx từ 1 đến 3
Cách 1 — Tính trực tiếp và so sánh
Câu a)
• ∫2xdx từ 0 đến 1 = x² | từ 0 đến 1 = 1 - 0 = 1
• 2∫xdx từ 0 đến 1 = 2 × (x²/2) | từ 0 đến 1 = 2 × (1/2 - 0) = 1
Kết luận: ∫2xdx từ 0 đến 1 = 2∫xdx từ 0 đến 1 ✓
→ Minh họa tính chất 1: ∫kf(x)dx = k∫f(x)dx
Câu b)
• ∫(x² + x)dx từ 0 đến 1 = (x³/3 + x²/2) | từ 0 đến 1 = 1/3 + 1/2 = 5/6
• ∫x²dx từ 0 đến 1 + ∫xdx từ 0 đến 1 = (x³/3) | từ 0 đến 1 + (x²/2) | từ 0 đến 1 = 1/3 + 1/2 = 5/6
Kết luận: ∫(x² + x)dx = ∫x²dx + ∫xdx ✓
→ Minh họa tính chất 2: ∫[f(x) + g(x)]dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx
Câu c)
• ∫xdx từ 0 đến 3 = (x²/2) | từ 0 đến 3 = 9/2 - 0 = 9/2
• ∫xdx từ 0 đến 1 + ∫xdx từ 1 đến 3 = (x²/2) | từ 0 đến 1 + (x²/2) | từ 1 đến 3
= (1/2 - 0) + (9/2 - 1/2) = 1/2 + 4 = 9/2
Kết luận: ∫xdx từ 0 đến 3 = ∫xdx từ 0 đến 1 + ∫xdx từ 1 đến 3 ✓
→ Minh họa tính chất 4: ∫f(x)dx từ a đến b = ∫f(x)dx từ a đến c + ∫f(x)dx từ c đến b
Cách 2 — Giải thích bằng lý thuyết
Các kết quả trên là minh họa trực tiếp cho 4 tính chất cơ bản của tích phân, có thể chứng minh từ định nghĩa tích phân thông qua nguyên hàm.
💡 Mẹo nhớ: Tích phân có tính chất tuyến tính - nghĩa là "hằng số đưa ra ngoài được" và "tổng tách ra được".
Luyện tập 3
Đề bài: Tính các tích phân sau:
a) ∫(2x + cosx)dx từ 0 đến 2π
b) ∫(3^x - 3/x)dx từ 1 đến 2
c) ∫(1/cos²x - 1/sin²x)dx từ π/6 đến π/3
Câu a) ∫(2x + cosx)dx từ 0 đến 2π
Cách 1 — Tách tích phân
∫(2x + cosx)dx = ∫2xdx + ∫cosxdx
= (x² + sinx) | từ 0 đến 2π
= [(2π)² + sin(2π)] - [0² + sin(0)]
= 4π² + 0 - 0 - 0 = 4π²
Cách 2 — Tính trực tiếp
Nguyên hàm của (2x + cosx) là x² + sinx
∫(2x + cosx)dx từ 0 đến 2π = (x² + sinx) | từ 0 đến 2π = 4π² - 0 = 4π²
Câu b) ∫(3^x - 3/x)dx từ 1 đến 2
Cách 1 — Tách tích phân
∫(3^x - 3/x)dx = ∫3^x dx - 3∫(1/x)dx
= (3^x/ln3 - 3ln|x|) | từ 1 đến 2
= (3²/ln3 - 3ln2) - (3¹/ln3 - 3ln1)
= (9/ln3 - 3ln2) - (3/ln3 - 0)
= 9/ln3 - 3/ln3 - 3ln2
= 6/ln3 - 3ln2
Cách 2 — Rút gọn kết quả
6/ln3 - 3ln2 = 6/ln3 - 3ln2
Có thể viết: = (6 - 3ln2 × ln3)/ln3 hoặc giữ nguyên dạng 6/ln3 - 3ln2
Câu c) ∫(1/cos²x - 1/sin²x)dx từ π/6 đến π/3
Cách 1 — Sử dụng công thức lượng giác
Ta có:
- 1/cos²x = sec²x, nguyên hàm là tanx
- 1/sin²x = csc²x, nguyên hàm là -cotx
∫(1/cos²x - 1/sin²x)dx = tanx - (-cotx) = tanx + cotx
= (tanx + cotx) | từ π/6 đến π/3
Tại x = π/3: tan(π/3) + cot(π/3) = √3 + 1/√3 = √3 + √3/3 = 4√3/3
Tại x = π/6: tan(π/6) + cot(π/6) = 1/√3 + √3 = √3/3 + √3 = 4√3/3
Kết quả: 4√3/3 - 4√3/3 = 0
Cách 2 — Nhận xét tính đối xứng
Đặt f(x) = 1/cos²x - 1/sin²x
Nhận xét: f(π/2 - x) = 1/sin²x - 1/cos²x = -f(x)
Đoạn [π/6; π/3] đối xứng qua π/4, nên tích phân bằng 0
⚠️ Lưu ý thi: Bài này thường gặp trong đề thi! Nhớ công thức nguyên hàm của 1/cos²x và 1/sin²x.
Luyện tập 4
Đề bài: Tính ∫|2x - 3|dx từ 0 đến 3
Cách 1 — Phương pháp cơ bản (chia đoạn)
Bước 1: Xét dấu của biểu thức trong trị tuyệt đối
2x - 3 = 0 ⟺ x = 3/2
- Khi 0 ≤ x < 3/2: 2x - 3 < 0 → |2x - 3| = -(2x - 3) = 3 - 2x
- Khi 3/2 ≤ x ≤ 3: 2x - 3 ≥ 0 → |2x - 3| = 2x - 3
Bước 2: Tách tích phân
∫|2x - 3|dx từ 0 đến 3 = ∫(3 - 2x)dx từ 0 đến 3/2 + ∫(2x - 3)dx từ 3/2 đến 3
Bước 3: Tính từng tích phân
• ∫(3 - 2x)dx từ 0 đến 3/2 = (3x - x²) | từ 0 đến 3/2
= (3 × 3/2 - (3/2)²) - 0
= 9/2 - 9/4 = 9/4
• ∫(2x - 3)dx từ 3/2 đến 3 = (x² - 3x) | từ 3/2 đến 3
= (9 - 9) - ((3/2)² - 3 × 3/2)
= 0 - (9/4 - 9/2)
= 0 - (-9/4) = 9/4
Bước 4: Cộng kết quả
∫|2x - 3|dx từ 0 đến 3 = 9/4 + 9/4 = 9/2
Cách 2 — Phương pháp hình học
|2x - 3| tạo thành hai tam giác:
- Tam giác 1: đỉnh tại (3/2; 0), đáy từ x = 0 đến x = 3/2, chiều cao = 3
- Tam giác 2: đỉnh tại (3/2; 0), đáy từ x = 3/2 đến x = 3, chiều cao = 3
S₁ = (1/2) × (3/2) × 3 = 9/4
S₂ = (1/2) × (3/2) × 3 = 9/4
Tổng: S = 9/4 + 9/4 = 9/2
💡 Mẹo nhớ: Khi tính tích phân chứa trị tuyệt đối, LUÔN phải tìm nghiệm của biểu thức bên trong để chia đoạn tích phân!
Vận dụng 2
Đề bài: Giả sử nhiệt độ (tính bằng °C) tại thời điểm t giờ trong khoảng thời gian từ 6 giờ sáng đến 12 giờ trưa ở một địa phương vào một ngày nào đó được mô hình hoá bởi hàm số:
T(t) = 20 + 1,5(t - 6), với 6 ≤ t ≤ 12
Tìm nhiệt độ trung bình vào ngày đó trong khoảng thời gian từ 6 giờ sáng đến 12 giờ trưa.
Cách 1 — Áp dụng công thức giá trị trung bình
Bước 1: Xác định các tham số
- a = 6 (6 giờ sáng)
- b = 12 (12 giờ trưa)
- f(t) = T(t) = 20 + 1,5(t - 6)
Bước 2: Áp dụng công thức giá trị trung bình
T_tb = 1/(b - a) × ∫T(t)dt từ a đến b
T_tb = 1/(12 - 6) × ∫[20 + 1,5(t - 6)]dt từ 6 đến 12
Bước 3: Tính tích phân
∫[20 + 1,5(t - 6)]dt từ 6 đến 12 = ∫[20 + 1,5t - 9]dt từ 6 đến 12
= ∫[11 + 1,5t]dt từ 6 đến 12
= (11t + 0,75t²) | từ 6 đến 12
= (11 × 12 + 0,75 × 144) - (11 × 6 + 0,75 × 36)
= (132 + 108) - (66 + 27)
= 240 - 93 = 147
Bước 4: Tính giá trị trung bình
T_tb = 147/6 = 24,5°C
Cách 2 — Phương pháp đổi biến đơn giản
Đặt u = t - 6, khi đó:
- Khi t = 6: u = 0
- Khi t = 12: u = 6
- T = 20 + 1,5u
T_tb = 1/6 × ∫(20 + 1,5u)du từ 0 đến 6
= 1/6 × (20u + 0,75u²) | từ 0 đến 6
= 1/6 × (120 + 27 - 0)
= 147/6 = 24,5°C
Kết luận: Nhiệt độ trung bình trong khoảng thời gian từ 6 giờ sáng đến 12 giờ trưa là 24,5°C.
⚠️ Lưu ý thi: Dạng bài tính giá trị trung bình của hàm số hay xuất hiện trong các bài toán thực tế. Nhớ công thức: TB = 1/(b-a) × ∫f(x)dx
🎯 Ghi nhớ: 1. Tích phân có 4 tính chất cơ bản: đưa hằng số ra ngoài, tách tổng/hiệu, và chia đoạn lấy tích phân 2. Khi gặp √(a² - x²), hãy nghĩ đến phương trình đường tròn và dùng ý nghĩa hình học 3. Tích phân chứa trị tuyệt đối |f(x)| cần xét dấu và chia đoạn 4. Giá trị trung bình của hàm f(x) trên [a; b] = 1/(b-a) × ∫f(x)dx từ a đến b