Giải Toán 6 - Tập 1 trang 23

Tóm tắt lý thuyết

Luỹ thừa bậc $n$ của số tự nhiên $a$ là tích của $n$ thừa số bằng nhau, mỗi thừa số bằng $a$:

$$a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n \text{ thừa số}} \quad (n \in \mathbb{N}^*)$$

• $a^n$ đọc là "a mũ n" hoặc "a luỹ thừa n".
• $a$ là cơ số, $n$ là số mũ.
• Phép nhân nhiều thừa số bằng nhau gọi là phép nâng lên luỹ thừa.

Chú ý quan trọng:

• $a^1 = a$
• $a^2$ gọi là a bình phương
• $a^3$ gọi là a lập phương
• Các số $0, 1, 4, 9, 16,\ldots$ gọi là số chính phương (vì chúng là bình phương của một số tự nhiên).

Nhân hai luỹ thừa cùng cơ số: giữ nguyên cơ số, cộng các số mũ:

$$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$$

Bài toán mở đầu: Bàn cờ vua

Số hạt thóc trên các ô tăng gấp đôi: ô 1 có 1 hạt, ô 2 có 2 hạt, ô 3 có 4 hạt... Tổng số thóc trên cả bàn cờ là $2^{64} - 1$ hạt, nặng tới 369 tỉ tấn. Vì vậy nhà vua không thể có đủ thóc để thưởng.

HĐ1: Số thừa số 2 ở ô thứ 8

Đề: Để tìm số hạt thóc ở ô thứ 8, ta phải thực hiện phép nhân có bao nhiêu thừa số 2?

Lời giải:

Quan sát bảng: ô thứ $n$ có số thừa số 2 là $(n-1)$.

• Ô 1: 1 (không có thừa số 2)
• Ô 2: $2$ → 1 thừa số 2
• Ô 3: $2 \cdot 2$ → 2 thừa số 2
• Ô 4: $2 \cdot 2 \cdot 2$ → 3 thừa số 2

Vậy ô thứ 8 cần thực hiện phép nhân có 7 thừa số 2: $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^7 = 128$ hạt.

Bài: Ví dụ 1 (tham khảo)

a) $3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 3^5$, cơ số là 3, số mũ là 5.

b) $11^2 = 11 \cdot 11 = 121$.

Bài: Luyện tập 1 – Bảng bình phương

Đề: Hoàn thành bảng bình phương của các số tự nhiên từ 1 đến 10.

Lời giải: Ta tính $a^2 = a \cdot a$ cho từng số.

Đây là các số em nên thuộc lòng vì dùng rất nhiều về sau.

Bài: Vận dụng

Câu 1: Số hạt thóc ở ô thứ 7

Đề: Tính số hạt thóc có trong ô thứ 7 của bàn cờ.

Lời giải:

Ô thứ 7 có $(7-1) = 6$ thừa số 2:

$$2^6 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 64 \text{ (hạt thóc)}$$

Câu 2: Viết số thành tổng các luỹ thừa của 10

Đề: Hãy viết mỗi số tự nhiên sau thành tổng giá trị các chữ số của nó bằng cách dùng các luỹ thừa của 10 theo mẫu:

$$4257 = 4 \cdot 10^3 + 2 \cdot 10^2 + 5 \cdot 10 + 7$$
a) 23 197; b) 203 184.

Lời giải:

Nhắc lại: $10 = 10^1$, $100 = 10^2$, $1000 = 10^3$, $10000 = 10^4$. Mỗi chữ số nhân với luỹ thừa của 10 ứng với vị trí của nó.

a) Số 23 197 có 5 chữ số (2, 3, 1, 9, 7):

$$23\,197 = 2 \cdot 10^4 + 3 \cdot 10^3 + 1 \cdot 10^2 + 9 \cdot 10 + 7$$

b) Số 203 184 có 6 chữ số (2, 0, 3, 1, 8, 4):

$$203\,184 = 2 \cdot 10^5 + 0 \cdot 10^4 + 3 \cdot 10^3 + 1 \cdot 10^2 + 8 \cdot 10 + 4$$

Có thể bỏ số hạng chứa 0, viết gọn:

$$203\,184 = 2 \cdot 10^5 + 3 \cdot 10^3 + 1 \cdot 10^2 + 8 \cdot 10 + 4$$

Bài: HĐ2 – Nhân hai luỹ thừa cùng cơ số

Đề:
a) Viết kết quả phép nhân sau dưới dạng một luỹ thừa của 7: $7^2 \cdot 7^3 = (7 \cdot 7) \cdot (7 \cdot 7 \cdot 7) = ?$
b) Nêu nhận xét về mối liên hệ giữa các số mũ của 7 trong hai thừa số và trong tích tìm được ở câu a.

Lời giải:

a) Đếm tổng số thừa số 7:

$$7^2 \cdot 7^3 = \underbrace{(7 \cdot 7)}_{2 \text{ số}} \cdot \underbrace{(7 \cdot 7 \cdot 7)}_{3 \text{ số}} = \underbrace{7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7}_{5 \text{ số}} = 7^5$$

b) Nhận xét: Số mũ của tích bằng tổng các số mũ của hai thừa số: $2 + 3 = 5$. Đây chính là quy tắc $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

Bài: Luyện tập 2 – Viết kết quả dưới dạng một luỹ thừa

Đề: Viết kết quả phép tính dưới dạng một luỹ thừa:
a) $5^3 \cdot 5^7$; b) $2^4 \cdot 2^5 \cdot 2^9$; c) $10^2 \cdot 10^4 \cdot 10^6 \cdot 10^8$.

Lời giải: Áp dụng quy tắc giữ nguyên cơ số, cộng các số mũ.

a) $5^3 \cdot 5^7 = 5^{3+7} = 5^{10}$

b) $2^4 \cdot 2^5 \cdot 2^9 = 2^{4+5+9} = 2^{18}$

c) $10^2 \cdot 10^4 \cdot 10^6 \cdot 10^8 = 10^{2+4+6+8} = 10^{20}$

Em lưu ý: quy tắc này chỉ dùng được khi các luỹ thừa có cùng cơ số nhé. Nếu khác cơ số thì không cộng số mũ được.