Giải Toán 6 - Tập 1 trang 47

Hai trang này tiếp tục bài học về Ước chung lớn nhất (ƯCLN), gồm cách tìm ƯCLN bằng phân tích thừa số nguyên tố, tìm ước chung từ ƯCLN, và cách rút gọn phân số về tối giản. Mình sẽ tóm tắt lý thuyết rồi giải hết các câu hỏi, luyện tập, vận dụng nhé.

Tóm tắt lý thuyết

Tìm ƯCLN bằng phân tích ra thừa số nguyên tố:

1. Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố.
2. Chọn ra các thừa số nguyên tố chung.
3. Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ nhỏ nhất.

Tìm ước chung qua ƯCLN: muốn tìm ƯC của các số, ta tìm ƯCLN của chúng rồi tìm tất cả các ước của ƯCLN đó.

Rút gọn phân số: chia cả tử và mẫu cho một ước chung khác 1. Phân số $\dfrac{a}{b}$ là tối giản khi $\text{ƯCLN}(a,b)=1$. Để đưa về tối giản, chia cả tử và mẫu cho $\text{ƯCLN}(a,b)$.

---

Bài 1: Tìm ƯCLN(45, 150)

Đề: Tìm ƯCLN(45, 150), biết $45 = 3^2 \cdot 5$ và $150 = 2 \cdot 3 \cdot 5^2$.

Lời giải:

• Thừa số nguyên tố chung của 45 và 150 là $3$ và $5$.
• Số mũ nhỏ nhất của $3$ là $1$, của $5$ là $1$.

$$\text{ƯCLN}(45, 150) = 3 \cdot 5 = 15.$$

Bài 2: Luyện tập 2 – Tìm ƯCLN(36, 84)

Lời giải:

• Phân tích ra thừa số nguyên tố:

$$36 = 2^2 \cdot 3^2; \qquad 84 = 2^2 \cdot 3 \cdot 7.$$

• Thừa số nguyên tố chung: $2$ và $3$. Số mũ nhỏ nhất của $2$ là $2$, của $3$ là $1$.

$$\text{ƯCLN}(36, 84) = 2^2 \cdot 3 = 12.$$

Bài 3: Vận dụng 2 – Bài toán xếp hàng diễu binh

Đề: Một đại đội bộ binh có ba trung đội: trung đội I có 24 chiến sĩ, trung đội II có 28 chiến sĩ, trung đội III có 36 chiến sĩ. Cả ba trung đội phải xếp thành các hàng dọc đều nhau mà không có chiến sĩ nào bị lẻ hàng. Hỏi xếp được nhiều nhất bao nhiêu hàng dọc?

Phân tích: Số hàng dọc phải là ước chung của 24, 28, 36 (để mỗi trung đội chia đều). Muốn nhiều hàng nhất thì lấy ƯCLN.

Lời giải:
$$24 = 2^3 \cdot 3; \quad 28 = 2^2 \cdot 7; \quad 36 = 2^2 \cdot 3^2.$$

• Thừa số nguyên tố chung: chỉ có $2$, số mũ nhỏ nhất là $2$.

$$\text{ƯCLN}(24, 28, 36) = 2^2 = 4.$$

Vậy xếp được nhiều nhất 4 hàng dọc.

Bài 4: Tìm ƯC(75, 105)

Đề: Biết ƯCLN(75, 105) = 15, hãy tìm ƯC(75, 105).

Lời giải: ƯC(75, 105) chính là tập các ước của 15.

$$\text{ƯC}(75, 105) = \text{Ư}(15) = \{1; 3; 5; 15\}.$$

Bài 5: Thử thách nhỏ – Bài toán tham quan bảo tàng

Đề: Cô Lan tổ chức tham quan, mỗi em mua một vé. Số tiền thu được mỗi ngày:

a) Giá một vé có thể là bao nhiêu, biết giá vé lớn hơn 2 000 đồng?
b) Có bao nhiêu học sinh tham gia, biết số học sinh trong khoảng từ 20 đến 40 người?

Lời giải:

Tính theo đơn vị nghìn đồng: số tiền các ngày là 56, 28, 42, 98 (nghìn). Vì mỗi em đóng đúng một vé nên giá vé phải chia hết mọi số tiền, tức giá vé là ước chung của bốn số đó.

$$56 = 2^3 \cdot 7; \quad 28 = 2^2 \cdot 7; \quad 42 = 2 \cdot 3 \cdot 7; \quad 98 = 2 \cdot 7^2.$$

• Thừa số nguyên tố chung: $2$ và $7$, số mũ nhỏ nhất đều là $1$.

$$\text{ƯCLN}(56, 28, 42, 98) = 2 \cdot 7 = 14.$$

Ước chung của bốn số: $\{1; 2; 7; 14\}$ (nghìn đồng).

a) Giá vé lớn hơn 2 000 đồng nên giá vé có thể là 7 000 đồng hoặc 14 000 đồng.

b) Tổng số tiền thu được cả tuần:

$$56\,000 + 28\,000 + 42\,000 + 98\,000 = 224\,000 \text{ (đồng)}.$$

Số học sinh = tổng tiền : giá vé.

• Nếu giá vé 7 000 đồng: $224\,000 : 7\,000 = 32$ học sinh (thỏa mãn 20–40).
• Nếu giá vé 14 000 đồng: $224\,000 : 14\,000 = 16$ học sinh (không thỏa mãn).

Vậy giá vé là 7 000 đồng và có 32 học sinh tham gia chuyến đi.

Bài 6: Phân số 16/10 đã tối giản chưa?

Đề: Phân số $\dfrac{16}{10}$ đã là phân số tối giản chưa? Nếu chưa, hãy rút gọn về phân số tối giản.

Lời giải:

• $\text{ƯCLN}(16, 10) = 2 \neq 1$, nên $\dfrac{16}{10}$ chưa là phân số tối giản.
• Chia cả tử và mẫu cho 2:

$$\frac{16}{10} = \frac{16 : 2}{10 : 2} = \frac{8}{5}.$$

Phân số tối giản là $\dfrac{8}{5}$.

---

Các ví dụ 3, 4, 5 trong sách đã có sẵn lời giải mẫu, mình giữ nguyên kết quả: ƯCLN(56,140,168)=28; ƯC(75,105,120)={1;3;5;15}; và Ví dụ 5: $\dfrac{8}{5}$ đã tối giản còn $\dfrac{36}{54}=\dfrac{2}{3}$. Em chú ý mẹo nhỏ: nếu $\text{ƯCLN}(a,b)=1$ thì $a$ và $b$ gọi là hai số nguyên tố cùng nhau nhé.