HocKhaThư viện lời giải bài tập

Giải Toán 6 - Tập 1 trang 55

Lời giải chi tiết SGK Lớp 6 · Môn ToĂ¡n · Trang 55–56

LUYỆN TẬP CHUNG (Trang 54 - phần ví dụ)

Trang 54 chứa các ví dụ mẫu về ƯCLN và BCNN, không phải bài tập cần giải.

BÀI TẬP (Trang 55)

Bài 2.45

Đề bài: Cho bảng sau:

a934120152987
b125170281
ƯCLN(a, b)3????
BCNN(a, b)36????
ƯCLN(a, b) × BCNN(a, b)108????
a × b108????

a) Tìm các số thích hợp thay vào ô trống của bảng.

b) So sánh ƯCLN(a, b) × BCNN(a, b) và a × b. Em rút ra kết luận gì?

Cách giải

Phần a) Điền bảng:

Cột 1: a = 9, b = 12 (đã cho sẵn để kiểm tra)

  • 9 = 3²
  • 12 = 2² × 3
  • ƯCLN(9, 12) = 3
  • BCNN(9, 12) = 2² × 3² = 36
  • ƯCLN × BCNN = 3 × 36 = 108
  • a × b = 9 × 12 = 108 ✓

Cột 2: a = 34, b = 51

  • 34 = 2 × 17
  • 51 = 3 × 17
  • ƯCLN(34, 51) = 17 (thừa số chung là 17)
  • BCNN(34, 51) = 2 × 3 × 17 = 102
  • ƯCLN × BCNN = 17 × 102 = 1734
  • a × b = 34 × 51 = 1734 ✓

Cột 3: a = 120, b = 70

  • 120 = 2³ × 3 × 5
  • 70 = 2 × 5 × 7
  • ƯCLN(120, 70) = 2 × 5 = 10
  • BCNN(120, 70) = 2³ × 3 × 5 × 7 = 840
  • ƯCLN × BCNN = 10 × 840 = 8400
  • a × b = 120 × 70 = 8400 ✓

Cột 4: a = 15, b = 28

  • 15 = 3 × 5
  • 28 = 2² × 7
  • ƯCLN(15, 28) = 1 (không có thừa số chung → hai số nguyên tố cùng nhau)
  • BCNN(15, 28) = 2² × 3 × 5 × 7 = 420
  • ƯCLN × BCNN = 1 × 420 = 420
  • a × b = 15 × 28 = 420 ✓

Cột 5: a = 2987, b = 1

  • ƯCLN(2987, 1) = 1 (mọi số đều có ƯCLN với 1 bằng 1)
  • BCNN(2987, 1) = 2987 (mọi số đều có BCNN với 1 bằng chính nó)
  • ƯCLN × BCNN = 1 × 2987 = 2987
  • a × b = 2987 × 1 = 2987 ✓
Bảng hoàn chỉnh: | a | 9 | 34 | 120 | 15 | 2987 | |---|---|---|---|---|---| | b | 12 | 51 | 70 | 28 | 1 | | ƯCLN(a, b) | 3 | 17 | 10 | 1 | 1 | | BCNN(a, b) | 36 | 102 | 840 | 420 | 2987 | | ƯCLN(a, b) × BCNN(a, b) | 108 | 1734 | 8400 | 420 | 2987 | | a × b | 108 | 1734 | 8400 | 420 | 2987 |

Phần b) Kết luận:

Đáp án: ƯCLN(a, b) × BCNN(a, b) = a × b Kết luận: Tích của ƯCLN và BCNN của hai số luôn bằng tích của hai số đó.
💡 Mẹo nhớ: "Ước nhân Bội bằng Tích hai số" (Ư × B = a × b)

Bài 2.46

Đề bài: Tìm ƯCLN và BCNN của:

a) 3 × 5² và 5² × 7

b) 2² × 3 × 5; 3² × 7 và 3 × 5 × 11

Cách giải

Câu a) 3 × 5² và 5² × 7

Hai số đã được phân tích sẵn:

  • Số thứ nhất: 3 × 5² = 3 × 25 = 75
  • Số thứ hai: 5² × 7 = 25 × 7 = 175

Tìm ƯCLN:

  • Thừa số nguyên tố chung: 5
  • Số mũ nhỏ nhất của 5: là 2
  • ƯCLN = 5² = 25

Tìm BCNN:

  • Tất cả thừa số nguyên tố: 3, 5, 7
  • Số mũ lớn nhất: 3¹, 5², 7¹
  • BCNN = 3 × 5² × 7 = 3 × 25 × 7 = 525
Đáp án câu a: ƯCLN(75, 175) = 25; BCNN(75, 175) = 525

Câu b) 2² × 3 × 5; 3² × 7 và 3 × 5 × 11

Ba số:

  • Số 1: 2² × 3 × 5 = 60
  • Số 2: 3² × 7 = 63
  • Số 3: 3 × 5 × 11 = 165

Tìm ƯCLN:

  • Thừa số nguyên tố chung của cả 3 số: chỉ có 3
  • Số mũ nhỏ nhất của 3: là 1
  • ƯCLN = 3

Tìm BCNN:

  • Tất cả thừa số nguyên tố: 2, 3, 5, 7, 11
  • Số mũ lớn nhất: 2², 3², 5¹, 7¹, 11¹
  • BCNN = 2² × 3² × 5 × 7 × 11 = 4 × 9 × 5 × 7 × 11 = 13860
Đáp án câu b: ƯCLN(60, 63, 165) = 3; BCNN(60, 63, 165) = 13860
💡 Mẹo nhớ: - ƯCLN: lấy thừa số chung, mũ nhỏ nhất - BCNN: lấy tất cả thừa số, mũ lớn nhất

Bài 2.47

Đề bài: Các phân số sau đã tối giản chưa? Nếu chưa, hãy rút gọn về phân số tối giản.

a) 15/17

b) 70/105

Cách giải

Câu a) 15/17

Kiểm tra ƯCLN(15, 17):

  • 15 = 3 × 5
  • 17 là số nguyên tố

Vì 17 là số nguyên tố và 17 không chia hết cho 3 hay 5, nên ƯCLN(15, 17) = 1.

Đáp án câu a: Phân số 15/17 đã tối giản.

Câu b) 70/105

Tìm ƯCLN(70, 105):

  • 70 = 2 × 5 × 7
  • 105 = 3 × 5 × 7
  • ƯCLN(70, 105) = 5 × 7 = 35

Rút gọn: 70/105 = (70 ÷ 35)/(105 ÷ 35) = 2/3

Đáp án câu b: Phân số 70/105 chưa tối giản. Rút gọn được 2/3.
💡 Mẹo bấm máy: Bấm 70 a b/c 105 = → máy tự rút gọn thành 2/3

Bài 2.48

Đề bài: Hai vận động viên chạy xung quanh một sân vận động. Hai vận động viên xuất phát tại cùng một thời điểm, cùng vị trí và chạy cùng chiều. Vận động viên thứ nhất chạy một vòng sân hết 360 giây, vận động viên thứ hai chạy một vòng sân mất 420 giây. Hỏi sau bao nhiêu phút họ gặp lại nhau, biết tốc độ di chuyển của họ không đổi?

Cách 1 — Dùng BCNN

Hai vận động viên gặp lại nhau tại điểm xuất phát khi cả hai đều hoàn thành một số nguyên vòng.

Thời gian để họ gặp lại nhau là BCNN(360, 420).

Phân tích ra thừa số nguyên tố:

  • 360 = 2³ × 3² × 5
  • 420 = 2² × 3 × 5 × 7

Tìm BCNN:

  • BCNN(360, 420) = 2³ × 3² × 5 × 7 = 8 × 9 × 5 × 7 = 2520 giây

Đổi ra phút: 2520 ÷ 60 = 42 phút

Đáp án: Sau 42 phút họ gặp lại nhau.
Cách 2 — Tính từng bước
  • 360 = 2³ × 3² × 5
  • 420 = 2² × 3 × 5 × 7
  • ƯCLN(360, 420) = 2² × 3 × 5 = 60
  • BCNN = (360 × 420) ÷ 60 = 151200 ÷ 60 = 2520 giây = 42 phút
Đáp án: Sau 42 phút họ gặp lại nhau.
💡 Mẹo nhớ: Bài toán "gặp lại" → tìm BCNN

Bài 2.49

Đề bài: Quy đồng mẫu các phân số sau:

a) 4/9 và 7/15

b) 5/12, 7/15 và 4/27

Cách giải

Câu a) 4/9 và 7/15

Bước 1: Tìm BCNN(9, 15)

  • 9 = 3²
  • 15 = 3 × 5
  • BCNN(9, 15) = 3² × 5 = 45

Bước 2: Quy đồng

  • 4/9 = (4 × 5)/(9 × 5) = 20/45
  • 7/15 = (7 × 3)/(15 × 3) = 21/45
Đáp án câu a: 4/9 = 20/45 và 7/15 = 21/45

Câu b) 5/12, 7/15 và 4/27

Bước 1: Tìm BCNN(12, 15, 27)

  • 12 = 2² × 3
  • 15 = 3 × 5
  • 27 = 3³
  • BCNN(12, 15, 27) = 2² × 3³ × 5 = 4 × 27 × 5 = 540

Bước 2: Quy đồng

  • 5/12 = (5 × 45)/(12 × 45) = 225/540
  • 7/15 = (7 × 36)/(15 × 36) = 252/540
  • 4/27 = (4 × 20)/(27 × 20) = 80/540
Đáp án câu b: 5/12 = 225/540; 7/15 = 252/540; 4/27 = 80/540
💡 Mẹo nhớ: Quy đồng mẫu → tìm BCNN các mẫu số

Bài 2.50

Đề bài: Từ ba tấm gỗ có độ dài là 56 dm, 48 dm và 40 dm, bác thợ mộc muốn cắt thành các thanh gỗ có độ dài như nhau mà không để thừa mẩu gỗ nào. Hỏi bác cắt như thế nào để được các thanh gỗ có độ dài lớn nhất có thể?

Cách giải

Để cắt không thừa mẩu gỗ nào, độ dài mỗi thanh phải là ước chung của 56, 48 và 40.

Để thanh gỗ dài nhất có thể, ta tìm ƯCLN(56, 48, 40).

Phân tích ra thừa số nguyên tố:

  • 56 = 2³ × 7
  • 48 = 2⁴ × 3
  • 40 = 2³ × 5

Tìm ƯCLN:

  • Thừa số chung: 2
  • Số mũ nhỏ nhất: 3
  • ƯCLN(56, 48, 40) = 2³ = 8

Số thanh gỗ cắt được:

  • Từ tấm 56 dm: 56 ÷ 8 = 7 thanh
  • Từ tấm 48 dm: 48 ÷ 8 = 6 thanh
  • Từ tấm 40 dm: 40 ÷ 8 = 5 thanh
  • Tổng: 7 + 6 + 5 = 18 thanh
Đáp án: Bác thợ mộc cắt mỗi thanh gỗ dài 8 dm, được tổng cộng 18 thanh.
💡 Mẹo nhớ: Bài toán "chia đều không dư" → tìm ƯCLN

Bài 2.51

Đề bài: Học sinh lớp 6A khi xếp thành hàng 2, hàng 3, hàng 7 đều vừa đủ hàng. Hỏi số học sinh lớp 6A là bao nhiêu, biết rằng số học sinh nhỏ hơn 45?

Cách giải

Số học sinh chia hết cho 2, 3 và 7 → Số học sinh là bội chung của 2, 3, 7.

Tìm BCNN(2, 3, 7):

  • 2, 3, 7 đều là số nguyên tố
  • BCNN(2, 3, 7) = 2 × 3 × 7 = 42

Các bội của 42: 0, 42, 84, 126, ...

Vì số học sinh nhỏ hơn 45 và phải lớn hơn 0, nên số học sinh = 42.

Đáp án: Lớp 6A có 42 học sinh.

Bài 2.52

Đề bài: Hai số có BCNN là 2³ × 3 × 5³ và ƯCLN là 2² × 5. Biết một trong hai số bằng 2² × 3 × 5, tìm số còn lại.

Cách giải

Dữ kiện:

  • BCNN = 2³ × 3 × 5³
  • ƯCLN = 2² × 5
  • Số thứ nhất: a = 2² × 3 × 5 = 60
  • Số thứ hai: b = ?

Áp dụng công thức: ƯCLN(a, b) × BCNN(a, b) = a × b

Suy ra: b = (ƯCLN × BCNN) ÷ a

Tính:

  • ƯCLN × BCNN = (2² × 5) × (2³ × 3 × 5³) = 2^(2+3) × 3 × 5^(1+3) = 2⁵ × 3 × 5⁴
  • a = 2² × 3 × 5
  • b = (2⁵ × 3 × 5⁴) ÷ (2² × 3 × 5) = 2^(5-2) × 3^(1-1) × 5^(4-1) = 2³ × 5³

Tính giá trị: b = 8 × 125 = 1000

Đáp án: Số còn lại là 2³ × 5³ = 1000.
🎯 Ghi nhớ chung cho bài tập trang 55-56: - ƯCLN: dùng cho bài toán chia đều, cắt đều, rút gọn phân số - BCNN: dùng cho bài toán gặp lại, quy đồng mẫu, xếp hàng đều - Công thức vàng: ƯCLN(a, b) × BCNN(a, b) = a × b
Chế độ đọc sách →