Giải Toán 7 - Tập 2 trang 29

Phần 5: BẬC VÀ CÁC HỆ SỐ CỦA MỘT ĐA THỨC

---

HĐ1

Đề bài: Trong đa thức P = -3x^4 + 5x^2 - 2x + 1, bậc của hạng tử 5x^2 là 2 (số mũ của x^2). Hãy xác định bậc của các hạng tử trong P.

Cách giải

Nhắc lại: Bậc của một hạng tử là số mũ của biến trong hạng tử đó.

Đa thức P = -3x^4 + 5x^2 - 2x + 1 có các hạng tử:

Đáp án: Bậc của các hạng tử lần lượt là: 4, 2, 1, 0.

---

HĐ2

Đề bài: Trong đa thức P, hạng tử nào có bậc cao nhất? Tìm hệ số và bậc của hạng tử đó.

Cách giải

Từ HĐ1, ta đã xác định bậc của các hạng tử:

• -3x^4 có bậc 4
• 5x^2 có bậc 2
• -2x có bậc 1
• 1 có bậc 0

So sánh: 4 > 2 > 1 > 0

Vậy hạng tử có bậc cao nhất là -3x^4.

Đáp án: - Hạng tử có bậc cao nhất: -3x^4 - Bậc của hạng tử đó: 4 - Hệ số của hạng tử đó: -3

---

HĐ3

Đề bài: Trong đa thức P, hạng tử nào có bậc bằng 0?

Cách giải

Hạng tử có bậc bằng 0 là hạng tử không chứa biến (gọi là hạng tử tự do).

Trong P = -3x^4 + 5x^2 - 2x + 1:

• Hạng tử 1 không chứa biến x
• Vậy hạng tử 1 có bậc bằng 0

Đáp án: Hạng tử có bậc bằng 0 là 1 (hệ số tự do).

---

Luyện tập 5

Đề bài: Xác định bậc, hệ số cao nhất và hệ số tự do của mỗi đa thức sau:

a) 5x^2 - 2x + 1 - 3x^4

b) 1,5x^2 - 3,4x^4 + 0,5x^2 - 1

---

Câu a) 5x^2 - 2x + 1 - 3x^4

Cách 1 — Sắp xếp theo bậc giảm dần

Bước 1: Sắp xếp đa thức theo bậc giảm dần

5x^2 - 2x + 1 - 3x^4 = -3x^4 + 5x^2 - 2x + 1

Bước 2: Xác định các thành phần

• Hạng tử có bậc cao nhất: -3x^4 (bậc 4)
• Hệ số cao nhất: -3
• Hạng tử tự do (bậc 0): 1
• Hệ số tự do: 1

Đáp án câu a: - Bậc của đa thức: 4 - Hệ số cao nhất: -3 - Hệ số tự do: 1

Cách 2 — Liệt kê bậc từng hạng tử

Bậc cao nhất là 4 → Bậc đa thức = 4, hệ số cao nhất = -3, hệ số tự do = 1.

---

Câu b) 1,5x^2 - 3,4x^4 + 0,5x^2 - 1

Cách 1 — Thu gọn rồi xác định

Bước 1: Thu gọn đa thức (gộp các hạng tử đồng dạng)

1,5x^2 - 3,4x^4 + 0,5x^2 - 1

= -3,4x^4 + (1,5x^2 + 0,5x^2) - 1

= -3,4x^4 + 2x^2 - 1

Bước 2: Xác định các thành phần

• Hạng tử có bậc cao nhất: -3,4x^4 (bậc 4)
• Hệ số cao nhất: -3,4
• Hạng tử tự do: -1
• Hệ số tự do: -1

Đáp án câu b: - Bậc của đa thức: 4 - Hệ số cao nhất: -3,4 - Hệ số tự do: -1

Cách 2 — Tính nhanh

Nhìn vào đa thức ban đầu:

• Hạng tử bậc cao nhất là -3,4x^4 (bậc 4) → không có hạng tử nào khác bậc 4 để gộp
• Hệ số tự do: -1

💡 Mẹo nhớ: - Bậc = bậc cao nhất của các hạng tử - Hệ số cao nhất = hệ số của hạng tử bậc cao nhất - Hệ số tự do = số không chứa biến (hạng tử bậc 0)

---

Phần 6: NGHIỆM CỦA ĐA THỨC MỘT BIẾN

---

HĐ4

Đề bài: Cho G(x) = x^2 - 4. Tính các giá trị G(-2); G(-1); G(0); G(1); G(2).

Cách giải

Công thức: G(x) = x^2 - 4

Tính G(-2):

G(-2) = (-2)^2 - 4 = 4 - 4 = 0

Tính G(-1):

G(-1) = (-1)^2 - 4 = 1 - 4 = -3

Tính G(0):

G(0) = 0^2 - 4 = 0 - 4 = -4

Tính G(1):

G(1) = 1^2 - 4 = 1 - 4 = -3

Tính G(2):

G(2) = 2^2 - 4 = 4 - 4 = 0

Đáp án: - G(-2) = 0 - G(-1) = -3 - G(0) = -4 - G(1) = -3 - G(2) = 0

💡 Mẹo bấm máy: Bấm ALPHA → X → x^2 → - → 4 → CALC → nhập giá trị x → =

---

HĐ5

Đề bài: Với giá trị nào của x thì G(x) có giá trị bằng 0?

Cách giải

Từ kết quả HĐ4:

• G(-2) = 0 ✓
• G(2) = 0 ✓

Vậy G(x) = 0 khi x = -2 hoặc x = 2.

Đáp án: G(x) = 0 khi x = -2 hoặc x = 2.

💡 Ghi nhớ: Giá trị x làm cho đa thức bằng 0 được gọi là nghiệm của đa thức.

---

Luyện tập 6

---

Bài 1

Đề bài: Tính giá trị của đa thức F(x) = 2x^2 - 3x - 2 tại x = -1; x = 0; x = 1; x = 2. Từ đó hãy tìm một nghiệm của đa thức F(x).

Cách 1 — Thay từng giá trị

Công thức: F(x) = 2x^2 - 3x - 2

Tính F(-1):

F(-1) = 2×(-1)^2 - 3×(-1) - 2

F(-1) = 2×1 - (-3) - 2

F(-1) = 2 + 3 - 2
F(-1) = 3

Tính F(0):

F(0) = 2×0^2 - 3×0 - 2

F(0) = 0 - 0 - 2
F(0) = -2

Tính F(1):

F(1) = 2×1^2 - 3×1 - 2

F(1) = 2 - 3 - 2
F(1) = -3

Tính F(2):

F(2) = 2×2^2 - 3×2 - 2

F(2) = 2×4 - 6 - 2

F(2) = 8 - 6 - 2

F(2) = 0 ✓

Đáp án: - F(-1) = 3 - F(0) = -2 - F(1) = -3 - F(2) = 0 Vì F(2) = 0 nên x = 2 là một nghiệm của đa thức F(x).

Cách 2 — Lập bảng

Nghiệm: x = 2 (vì F(2) = 0)

💡 Mẹo bấm máy: Nhập 2X^2 - 3X - 2 → CALC → nhập x = -1 → = (được 3). Tiếp tục bấm CALC cho các giá trị khác.

---

Bài 2

Đề bài: Tìm nghiệm của đa thức E(x) = x^2 + x.

Cách 1 — Phân tích thành nhân tử

Bước 1: Phân tích E(x)

E(x) = x^2 + x = x(x + 1)

Bước 2: Giải E(x) = 0

x(x + 1) = 0

Tích bằng 0 khi một trong hai thừa số bằng 0:

• x = 0, hoặc
• x + 1 = 0 → x = -1

Bước 3: Thử lại

E(0) = 0^2 + 0 = 0 ✓

E(-1) = (-1)^2 + (-1) = 1 - 1 = 0 ✓

Đáp án: Đa thức E(x) = x^2 + x có hai nghiệm: x = 0 và x = -1.

Cách 2 — Thử các giá trị đơn giản

Thử x = 0: E(0) = 0 + 0 = 0 ✓ → x = 0 là nghiệm

Thử x = -1: E(-1) = 1 + (-1) = 0 ✓ → x = -1 là nghiệm

Thử x = 1: E(1) = 1 + 1 = 2 ≠ 0

💡 Mẹo nhớ: Khi đa thức có hệ số tự do bằng 0 (không có số tự do), thì x = 0 luôn là một nghiệm!

---

Vận dụng

Đề bài: Trở lại bài toán mở đầu, hãy thực hiện các yêu cầu sau với đa thức H(x) = -5x^2 + 15x:

---

Câu a)

Đề bài: Xác định bậc, hệ số cao nhất và hệ số tự do của đa thức H(x) = -5x^2 + 15x.

Cách giải

Đa thức H(x) = -5x^2 + 15x có các hạng tử:

• -5x^2: bậc 2, hệ số -5
• 15x: bậc 1, hệ số 15
• Không có hạng tử tự do (hệ số tự do = 0)

Đáp án câu a: - Bậc của đa thức: 2 - Hệ số cao nhất: -5 - Hệ số tự do: 0

---

Câu b)

Đề bài: Tại sao x = 0 là một nghiệm của H(x)? Kết quả đó nói lên điều gì?

Cách giải

Kiểm tra x = 0 có phải nghiệm không:

H(0) = -5×0^2 + 15×0 = 0 + 0 = 0

Vì H(0) = 0 nên x = 0 là nghiệm của H(x).

Ý nghĩa thực tế:

Trong bài toán mở đầu, H(x) biểu thị độ cao của quả bóng golf so với mặt đất, với x là khoảng cách theo phương ngang.

Khi x = 0, quả bóng ở vị trí xuất phát (điểm đánh bóng), độ cao H(0) = 0 nghĩa là quả bóng đang ở mặt đất.

Đáp án câu b: - x = 0 là nghiệm vì H(0) = -5×0^2 + 15×0 = 0 - Ý nghĩa: Tại vị trí xuất phát (x = 0), quả bóng golf ở trên mặt đất (độ cao bằng 0).

---

Câu c)

Đề bài: Tính giá trị của H(x) khi x = 1; x = 2 và x = 3 để tìm nghiệm khác 0 của H(x). Nghiệm ấy có ý nghĩa gì? Từ đó hãy trả lời câu hỏi của bài toán.

Cách giải

Công thức: H(x) = -5x^2 + 15x

Tính H(1):

H(1) = -5×1^2 + 15×1 = -5 + 15 = 10

Tính H(2):

H(2) = -5×2^2 + 15×2 = -5×4 + 30 = -20 + 30 = 10

Tính H(3):

H(3) = -5×3^2 + 15×3 = -5×9 + 45 = -45 + 45 = 0 ✓

Vì H(3) = 0 nên x = 3 là nghiệm khác 0 của H(x).

Ý nghĩa của nghiệm x = 3:

Khi x = 3, độ cao H(3) = 0, nghĩa là quả bóng golf rơi xuống mặt đất tại vị trí cách điểm đánh bóng 3 đơn vị khoảng cách theo phương ngang.

Trả lời câu hỏi bài toán:

Quả bóng golf rơi xuống đất tại vị trí cách điểm đánh bóng 3 đơn vị (theo phương ngang).

Đáp án câu c: - H(1) = 10 - H(2) = 10 - H(3) = 0 - Nghiệm khác 0: x = 3 - Ý nghĩa: Quả bóng golf rơi xuống mặt đất tại vị trí cách điểm xuất phát 3 đơn vị khoảng cách.

Cách 2 — Phân tích nhân tử để tìm nghiệm

H(x) = -5x^2 + 15x = -5x(x - 3)

H(x) = 0 khi:

• -5x = 0 → x = 0
• x - 3 = 0 → x = 3

Vậy hai nghiệm là x = 0 và x = 3.

💡 Mẹo bấm máy: Nhập -5X^2 + 15X → CALC → nhập x = 3 → = (được 0)

---

🎯 Ghi nhớ: - Bậc của đa thức = bậc của hạng tử có bậc cao nhất - Hệ số cao nhất = hệ số của hạng tử bậc cao nhất - Hệ số tự do = hệ số của hạng tử bậc 0 (số không chứa biến) - Nghiệm của đa thức = giá trị của x làm cho đa thức bằng 0 - Nếu hệ số tự do = 0 thì x = 0 là một nghiệm của đa thức