Giải Toán 7 - Tập 2 trang 33

Lời giải chi tiết SGK Lớp 7 · Môn ToĂ¡n · Trang 33–34

Tóm tắt lý thuyết

Hai trang này nói về cộng và trừ hai đa thức một biến.

Cộng hai đa thức:

Cách 1: bỏ dấu ngoặc, nhóm các hạng tử cùng bậc rồi thu gọn.
Cách 2: đặt tính cộng theo cột (các hạng tử cùng bậc thẳng cột với nhau). Nếu đa thức khuyết một bậc nào đó thì để trống ô tương ứng.

Tính chất phép cộng đa thức (giống số thực):

Giao hoán: $A + B = B + A$
Kết hợp: $(A + B) + C = A + (B + C)$
Cộng với đa thức không: $A + 0 = 0 + A = A$

Trừ hai đa thức: cũng có hai cách như phép cộng (bỏ ngoặc thu gọn, hoặc đặt tính trừ theo cột).

Chú ý quan hệ: Nếu $Q + R = P$ thì $R = P - Q$, và ngược lại.

Câu hỏi (Tìm tổng – trang 32 chuyển sang)

Đề: Tìm tổng của hai đa thức $x^3 - 5x + 2$ và $x^3 - x^2 + 6x - 4$.

$$(x^3 - 5x + 2) + (x^3 - x^2 + 6x - 4)$$

$$= (x^3 + x^3) - x^2 + (-5x + 6x) + (2 - 4)$$

$$= 2x^3 - x^2 + x - 2$$

Luyện tập 1

Đề: Cho $M = 0,5x^4 - 4x^3 + 2x - 2,5$ và $N = 2x^3 + x^2 + 1,5$. Tính $M + N$ theo hai cách.

Cách 1 (nhóm hạng tử cùng bậc):

$$M + N = (0,5x^4 - 4x^3 + 2x - 2,5) + (2x^3 + x^2 + 1,5)$$

$$= 0,5x^4 + (-4x^3 + 2x^3) + x^2 + 2x + (-2,5 + 1,5)$$

$$= 0,5x^4 - 2x^3 + x^2 + 2x - 1$$

Cách 2 (đặt tính cộng theo cột):

   0,5x⁴ − 4x³        + 2x − 2,5
 +        2x³ + x²         + 1,5
 ───────────────────────────────
   0,5x⁴ − 2x³ + x² + 2x − 1

Kết quả: $M + N = 0,5x^4 - 2x^3 + x^2 + 2x - 1$.

Vận dụng 1

Đề: Đặt tính cộng tìm tổng ba đa thức:

$$A = 2x^3 - 5x^2 + x - 7;\quad B = x^2 - 2x + 6;\quad C = -x^3 + 4x^2 - 1$$

   2x³ − 5x² +  x − 7
        + x² − 2x + 6
 + −x³ + 4x²      − 1
 ─────────────────────
    x³ +  0  − x  − 2

Cộng từng cột:

$x^3$: $2 - 1 = 1 \to x^3$
$x^2$: $-5 + 1 + 4 = 0$
$x$: $1 - 2 = -1 \to -x$
hằng số: $-7 + 6 - 1 = -2$

Kết quả: $A + B + C = x^3 - x - 2$.

Luyện tập 2

Đề: Cho $M = 0,5x^4 - 4x^3 + 2x - 2,5$ và $N = 2x^3 + x^2 + 1,5$. Tính $M - N$ theo hai cách.

Cách 1 (bỏ ngoặc, thu gọn):

$$M - N = (0,5x^4 - 4x^3 + 2x - 2,5) - (2x^3 + x^2 + 1,5)$$

$$= 0,5x^4 - 4x^3 + 2x - 2,5 - 2x^3 - x^2 - 1,5$$

$$= 0,5x^4 - 6x^3 - x^2 + 2x - 4$$

Cách 2 (đặt tính trừ theo cột):

   0,5x⁴ − 4x³        + 2x − 2,5
 −        2x³ + x²         + 1,5
 ───────────────────────────────
   0,5x⁴ − 6x³ − x² + 2x − 4

Kết quả: $M - N = 0,5x^4 - 6x^3 - x^2 + 2x - 4$.

Vận dụng 2

Đề: Cho $A = x^4 - 3x^2 - 2x + 1$. Tìm các đa thức $B$ và $C$ sao cho:

$$A + B = 2x^5 + 5x^3 - 2;\qquad A - C = x^3$$

Tìm $B$: từ $A + B = 2x^5 + 5x^3 - 2 \Rightarrow B = (2x^5 + 5x^3 - 2) - A$

$$B = (2x^5 + 5x^3 - 2) - (x^4 - 3x^2 - 2x + 1)$$

$$= 2x^5 + 5x^3 - 2 - x^4 + 3x^2 + 2x - 1$$

$$\boxed{B = 2x^5 - x^4 + 5x^3 + 3x^2 + 2x - 3}$$

Tìm $C$: từ $A - C = x^3 \Rightarrow C = A - x^3$

$$C = (x^4 - 3x^2 - 2x + 1) - x^3$$

$$\boxed{C = x^4 - x^3 - 3x^2 - 2x + 1}$$

Bài 7.12

Đề: Tìm tổng của hai đa thức sau bằng cách nhóm các hạng tử cùng bậc:

$$x^2 - 3x + 2 \quad \text{và} \quad 4x^3 - x^2 + x - 1$$

$$(x^2 - 3x + 2) + (4x^3 - x^2 + x - 1)$$

$$= 4x^3 + (x^2 - x^2) + (-3x + x) + (2 - 1)$$

$$= 4x^3 - 2x + 1$$

Kết quả: $4x^3 - 2x + 1$.

Bài 7.13

Đề: Tìm hiệu sau theo cách đặt tính trừ: $(-x^3 - 5x + 2) - (3x + 8)$.

   −x³ − 5x + 2
 −        3x + 8
 ────────────────
   −x³ − 8x − 6

Cụ thể: $-5x - 3x = -8x$; $2 - 8 = -6$.

Kết quả: $-x^3 - 8x - 6$.

Bài 7.14

Đề: Cho $A = 6x^4 - 4x^3 + x - \dfrac{1}{3}$ và $B = -3x^4 - 2x^3 - 5x^2 + x + \dfrac{2}{3}$. Tính $A + B$ và $A - B$.

Tính $A + B$:

$$A + B = (6x^4 - 3x^4) + (-4x^3 - 2x^3) - 5x^2 + (x + x) + \left(-\tfrac{1}{3} + \tfrac{2}{3}\right)$$

$$= 3x^4 - 6x^3 - 5x^2 + 2x + \tfrac{1}{3}$$

Tính $A - B$:

$$A - B = (6x^4 + 3x^4) + (-4x^3 + 2x^3) + 5x^2 + (x - x) + \left(-\tfrac{1}{3} - \tfrac{2}{3}\right)$$

$$= 9x^4 - 2x^3 + 5x^2 - 1$$

Kết quả:

$A + B = 3x^4 - 6x^3 - 5x^2 + 2x + \dfrac{1}{3}$
$A - B = 9x^4 - 2x^3 + 5x^2 - 1$

Bài 7.15

Đề: Cho $A = 3x^4 - 2x^3 - x + 1$; $B = -2x^3 + 4x^2 + 5x$; $C = -3x^4 + 2x^2 + 5$. Tính $A + B + C$; $A - B + C$ và $A - B - C$.

Tính $A + B + C$:

$$= (3x^4 - 3x^4) + (-2x^3 - 2x^3) + (4x^2 + 2x^2) + (-x + 5x) + (1 + 5)$$

$$= -4x^3 + 6x^2 + 4x + 6$$

Tính $A - B + C$:

Trước hết $A - B = 3x^4 + (-2x^3 + 2x^3) - 4x^2 + (-x - 5x) + 1 = 3x^4 - 4x^2 - 6x + 1$.

Cộng thêm $C$:

$$A - B + C = (3x^4 - 3x^4) + (-4x^2 + 2x^2) - 6x + (1 + 5)$$

$$= -2x^2 - 6x + 6$$

Tính $A - B - C$:

Từ $A - B = 3x^4 - 4x^2 - 6x + 1$, trừ $C$:

$$A - B - C = (3x^4 + 3x^4) + (-4x^2 - 2x^2) - 6x + (1 - 5)$$

$$= 6x^4 - 6x^2 - 6x - 4$$

Kết quả:

$A + B + C = -4x^3 + 6x^2 + 4x + 6$
$A - B + C = -2x^2 - 6x + 6$
$A - B - C = 6x^4 - 6x^2 - 6x - 4$

Bài 7.16

Đề: Nam mua ba loại sách. Cần mua $x$ cuốn sách khoa học, $x + 8$ cuốn sách tham khảo và $x + 5$ cuốn truyện tranh. Giá bán: truyện tranh 15 000 đ, sách tham khảo 12 500 đ, sách khoa học 21 500 đ.

a) Viết đa thức biểu thị số tiền phải trả cho từng loại sách:

Truyện tranh: $15\,000(x + 5) = 15\,000x + 75\,000$ (đồng)
Sách tham khảo: $12\,500(x + 8) = 12\,500x + 100\,000$ (đồng)
Sách khoa học: $21\,500 \cdot x = 21\,500x$ (đồng)

b) Tổng số tiền Nam phải trả:

$$S = (15\,000x + 75\,000) + (12\,500x + 100\,000) + 21\,500x$$

$$= (15\,000 + 12\,500 + 21\,500)x + (75\,000 + 100\,000)$$

$$= 49\,000x + 175\,000 \text{ (đồng)}$$

Bài 7.17

Đề: Mảnh đất hình chữ nhật chiều dài 65 m. Bể bơi có chiều rộng $x$ mét, chiều dài gấp 3 lần chiều rộng (tức $3x$). Theo Hình 7.1, bể cách mép trên 4 m, cách mép dưới 5 m. Tìm đa thức (biến $x$):

a) Diện tích bể bơi:

Chiều rộng bể $= x$, chiều dài bể $= 3x$.
$$S_{\text{bể}} = x \cdot 3x = 3x^2 \text{ (m}^2)$$

b) Diện tích mảnh đất:

Chiều dài mảnh đất là 65 m. Chiều rộng mảnh đất = chiều rộng bể cộng hai khoảng đất trên và dưới = $4 + x + 5 = x + 9$ (m).

$$S_{\text{đất}} = 65(x + 9) = 65x + 585 \text{ (m}^2)$$

c) Diện tích phần đất xung quanh bể bơi:

$$S_{\text{xq}} = S_{\text{đất}} - S_{\text{bể}} = (65x + 585) - 3x^2$$

$$= -3x^2 + 65x + 585 \text{ (m}^2)$$

Kết quả:

a) $3x^2$ (m²)
b) $65x + 585$ (m²)
c) $-3x^2 + 65x + 585$ (m²)

Chế độ đọc sách →