Giải Toán 7 - Tập 2 trang 37

Hai trang này thuộc Bài 27 "Phép nhân đa thức một biến". Ảnh thực tế là trang 36 và 37 của sách. Mình sẽ tóm tắt lý thuyết và giải hết các hoạt động, ví dụ, bài luyện tập nhé.

Tóm tắt lý thuyết

Quy tắc nhân đơn thức với đa thức
Muốn nhân một đơn thức với một đa thức, ta nhân đơn thức với từng hạng tử của đa thức rồi cộng các tích lại.

Quy tắc nhân đa thức với đa thức
Muốn nhân một đa thức với một đa thức, ta nhân mỗi hạng tử của đa thức này với từng hạng tử của đa thức kia rồi cộng các tích lại.

Bài toán đoán tuổi (mở đầu)

Đây là bài toán vui giúp khám phá phép nhân đa thức. Nếu gọi tuổi là $x$ thì:

• Kết quả thứ nhất: $(x+1)^2$
• Kết quả thứ hai: $(x-1)^2$
• Hiệu hai kết quả: $(x+1)^2 - (x-1)^2 = 4x$

Vậy anh Pi chỉ cần lấy kết quả cuối chia cho 4 là ra tuổi. Học xong bài này em sẽ hiểu vì sao.

HĐ1: Nhắc lại cách nhân hai đơn thức

Tính $(12x^3) \cdot (-5x^2)$.

Nhân hệ số với hệ số, biến với biến (cộng số mũ):

$$(12x^3) \cdot (-5x^2) = [12 \cdot (-5)] \cdot (x^3 \cdot x^2) = -60x^5$$

HĐ2: Dùng tính chất phân phối

Tìm tích $2x \cdot (3x^2 - 8x + 1)$.

Nhân $2x$ với từng hạng tử rồi cộng lại:

$$2x \cdot (3x^2 - 8x + 1) = 2x \cdot 3x^2 + 2x \cdot (-8x) + 2x \cdot 1 = 6x^3 - 16x^2 + 2x$$

Luyện tập 1

Tính $(-2x^2) \cdot (3x - 4x^3 + 7 - x^2)$.

Nhân $-2x^2$ với từng hạng tử:

$$\begin{aligned}

(-2x^2)\cdot(3x - 4x^3 + 7 - x^2) &= (-2x^2)(3x) + (-2x^2)(-4x^3) + (-2x^2)(7) + (-2x^2)(-x^2)\\

&= -6x^3 + 8x^5 - 14x^2 + 2x^4
\end{aligned}$$

Sắp xếp theo bậc giảm dần:

$$= 8x^5 + 2x^4 - 6x^3 - 14x^2$$

Vận dụng 1

a) Rút gọn $P(x) = 7x^2(x^2 - 5x + 2) - 5x(x^3 - 7x^2 + 3x)$.

Khai triển từng cụm:

$$7x^2(x^2 - 5x + 2) = 7x^4 - 35x^3 + 14x^2$$

$$-5x(x^3 - 7x^2 + 3x) = -5x^4 + 35x^3 - 15x^2$$

Cộng lại và nhóm các hạng tử cùng bậc:

$$P(x) = (7x^4 - 5x^4) + (-35x^3 + 35x^3) + (14x^2 - 15x^2) = 2x^4 - x^2$$

b) Tính giá trị $P(x)$ khi $x = -\dfrac{1}{2}$.

Thay vào biểu thức đã rút gọn (gọn hơn nhiều so với thay vào biểu thức gốc):

$$P\left(-\tfrac{1}{2}\right) = 2\left(-\tfrac{1}{2}\right)^4 - \left(-\tfrac{1}{2}\right)^2 = 2 \cdot \tfrac{1}{16} - \tfrac{1}{4} = \tfrac{1}{8} - \tfrac{1}{4} = -\tfrac{1}{8}$$

Thử thách nhỏ

Rút gọn $x^3(x + 2) - x(x^3 + 2^3) - 2x(x^2 - 2^2)$.

Lưu ý $2^3 = 8$ và $2^2 = 4$. Khai triển từng cụm:

$$x^3(x+2) = x^4 + 2x^3$$

$$-x(x^3 + 8) = -x^4 - 8x$$

$$-2x(x^2 - 4) = -2x^3 + 8x$$

Cộng tất cả:

$$\begin{aligned}

&= (x^4 - x^4) + (2x^3 - 2x^3) + (-8x + 8x)\\
&= 0
\end{aligned}$$

Kết quả bằng $0$ với mọi $x$. Một biểu thức trông phức tạp mà rút gọn lại triệt tiêu hết, khá thú vị.

HĐ3: Nhân hai đa thức

Tính $(2x - 3)(x^2 - 5x + 1)$ theo ba bước.

Bước 1. Nhân $2x$ với $x^2 - 5x + 1$:

$$2x(x^2 - 5x + 1) = 2x^3 - 10x^2 + 2x$$

Bước 2. Nhân $-3$ với $x^2 - 5x + 1$:

$$-3(x^2 - 5x + 1) = -3x^2 + 15x - 3$$

Bước 3. Cộng hai kết quả và thu gọn:
$$\begin{aligned}

(2x-3)(x^2-5x+1) &= 2x^3 - 10x^2 + 2x - 3x^2 + 15x - 3\\

&= 2x^3 + (-10x^2 - 3x^2) + (2x + 15x) - 3\\

&= 2x^3 - 13x^2 + 17x - 3
\end{aligned}$$

Hai ví dụ trong sách (Ví dụ 1 và Ví dụ 2) đã có lời giải sẵn, mình giữ nguyên làm mẫu cho cách trình bày và cách đặt tính nhân theo cột. Nếu em muốn mình giải lại từng bước cho hai ví dụ đó, cứ nói nhé.