Giải Toán 7 - Tập 2 trang 39

Hai trang ảnh em gửi thực ra là trang 38 (phần Bài tập của Bài 27) và trang 39 (mở đầu Bài 28). Thầy sẽ giải hết phần bài tập ở trang 38 và tóm tắt phần lý thuyết mở đầu ở trang 39 nhé.

---

Tóm tắt lý thuyết liên quan

Phép nhân đa thức có các tính chất:

• Giao hoán: $A \cdot B = B \cdot A$
• Kết hợp: $(A \cdot B) \cdot C = A \cdot (B \cdot C)$
• Phân phối với phép cộng: $A \cdot (B + C) = A \cdot B + A \cdot C$

Muốn nhân hai đa thức, ta lấy từng hạng tử của đa thức này nhân với từng hạng tử của đa thức kia rồi cộng các kết quả lại (nhớ thu gọn các hạng tử đồng dạng).

---

Luyện tập 2

Đề: Tính $(x^3 - 2x^2 + x - 1)(3x - 2)$.

Lấy mỗi hạng tử của đa thức thứ nhất nhân với $3x - 2$:

$$
\begin{aligned}

&= 3x^4 - 2x^3 - 6x^3 + 4x^2 + 3x^2 - 2x - 3x + 2\\

&= 3x^4 - 8x^3 + 7x^2 - 5x + 2
\end{aligned}
$$

Cách 2 (đặt tính theo cột) cũng cho kết quả y hệt: $3x^4 - 8x^3 + 7x^2 - 5x + 2$.

---

Vận dụng 2

Đề: Rút gọn $(x - 2)(2x^3 - x^2 + 1) + (x - 2)x^2(1 - 2x)$.

Đặt nhân tử chung $(x - 2)$:

$$

(x-2)\big[2x^3 - x^2 + 1 + x^2(1 - 2x)\big]
$$

Trong ngoặc: $x^2(1 - 2x) = x^2 - 2x^3$, nên

$$

2x^3 - x^2 + 1 + x^2 - 2x^3 = 1
$$

Vậy biểu thức $= (x - 2)\cdot 1 = x - 2$.

---

Vận dụng 3

Đây là bài "đoán tuổi" của anh Pi, dựa trên quy trình đã nêu ở phần trước. Cách trình bày chung như sau (em thay đúng các bước phép tính trong đề gốc của mình vào):

• Gọi $x$ là tuổi cần đoán.
• Mỗi yêu cầu tính toán cho ra một đa thức biến $x$. Ví dụ "kết quả thứ nhất" và "kết quả thứ hai" sẽ là hai đa thức bậc nhất theo $x$.
• Cộng hai kết quả lại, các hạng tử chứa $x$ thường triệt tiêu, chỉ còn lại đa thức bậc nhất dạng $ax + b$ (hoặc dạng có thể tách $x$ ra dễ dàng).
• Từ đa thức cuối cùng, ta giải ra $x$ — đó chính là "bí mật" của trò đoán tuổi: khi biết kết quả cuối, chỉ cần làm phép ngược lại là tìm được tuổi.

---

Bài 7.23: Thực hiện các phép nhân

a) $6x^2 \cdot (2x^3 - 3x^2 + 5x - 4)$

$$

= 12x^5 - 18x^4 + 30x^3 - 24x^2
$$

b) $(-1{,}2x^2) \cdot (2{,}5x^4 - 2x^3 + x^2 - 1{,}5)$

$$

= -3x^6 + 2{,}4x^5 - 1{,}2x^4 + 1{,}8x^2
$$

---

Bài 7.24: Rút gọn các biểu thức

a) $4x^2(5x^2 + 3) - 6x(3x^3 - 2x + 1) - 5x^3(2x - 1)$

$$
\begin{aligned}

&= 20x^4 + 12x^2 - 18x^4 + 12x^2 - 6x - 10x^4 + 5x^3\\

&= (20 - 18 - 10)x^4 + 5x^3 + (12 + 12)x^2 - 6x\\

&= -8x^4 + 5x^3 + 24x^2 - 6x
\end{aligned}
$$

b) $\dfrac{3}{2}x\left(x^2 - \dfrac{2}{3}x + 2\right) - \dfrac{5}{3}x^2\left(x + \dfrac{6}{5}\right)$

$$
\begin{aligned}

&= \frac{3}{2}x^3 - x^2 + 3x - \frac{5}{3}x^3 - 2x^2\\

&= \left(\frac{3}{2} - \frac{5}{3}\right)x^3 + (-1 - 2)x^2 + 3x\\

&= -\frac{1}{6}x^3 - 3x^2 + 3x
\end{aligned}
$$

(Vì $\frac{3}{2} - \frac{5}{3} = \frac{9 - 10}{6} = -\frac{1}{6}$.)

---

Bài 7.25: Thực hiện các phép nhân

a) $(x^2 - x)(2x^2 - x - 10)$

$$
\begin{aligned}

&= 2x^4 - x^3 - 10x^2 - 2x^3 + x^2 + 10x\\

&= 2x^4 - 3x^3 - 9x^2 + 10x
\end{aligned}
$$

b) $(0{,}2x^2 - 3x) \cdot 5(x^2 - 7x + 3)$

Trước hết $5(x^2 - 7x + 3) = 5x^2 - 35x + 15$, rồi nhân:

$$
\begin{aligned}

&= (0{,}2x^2 - 3x)(5x^2 - 35x + 15)\\

&= x^4 - 7x^3 + 3x^2 - 15x^3 + 105x^2 - 45x\\

&= x^4 - 22x^3 + 108x^2 - 45x
\end{aligned}
$$

---

Bài 7.26

a) Tính $(x^2 - 2x + 5)(x - 2)$:

$$
\begin{aligned}

&= x^3 - 2x^2 + 5x - 2x^2 + 4x - 10\\

&= x^3 - 4x^2 + 9x - 10
\end{aligned}
$$

b) Suy ra $(x^2 - 2x + 5)(2 - x)$.

Để ý $2 - x = -(x - 2)$, nên:

$$

(x^2 - 2x + 5)(2 - x) = -\big[(x^2 - 2x + 5)(x - 2)\big] = -x^3 + 4x^2 - 9x + 10
$$

Cách làm: chỉ cần đổi dấu kết quả ở câu a) vì thừa số thứ hai chỉ khác dấu, không phải tính lại từ đầu.

---

Bài 7.27: Thể tích hình hộp chữ nhật

Ba kích thước là $x$; $x + 1$; $x - 1$ (cm), với $x > 1$.

$$

V = x(x + 1)(x - 1) = x(x^2 - 1) = x^3 - x \ \ (\text{cm}^3)
$$

Thầy dùng hằng đẳng thức $(x+1)(x-1) = x^2 - 1$ cho gọn.

---

Bài 7.28: Nhân hai đa thức

a) $(5x^3 - 2x^2 + 4x - 4)(x^3 + 3x^2 - 5)$

$$
\begin{aligned}

&= 5x^6 + 15x^5 - 25x^3 - 2x^5 - 6x^4 + 10x^2 + 4x^4 + 12x^3 - 20x - 4x^3 - 12x^2 + 20\\

&= 5x^6 + 13x^5 - 2x^4 - 17x^3 - 2x^2 - 20x + 20
\end{aligned}
$$

b) $(-2{,}5x^4 + 0{,}5x^2 + 1)(4x^3 - 2x + 6)$

$$
\begin{aligned}

&= -10x^7 + 5x^5 - 15x^4 + 2x^5 - x^3 + 3x^2 + 4x^3 - 2x + 6\\

&= -10x^7 + 7x^5 - 15x^4 + 3x^3 + 3x^2 - 2x + 6
\end{aligned}
$$

---

Bài 7.29: Diện tích mảnh vườn

Gọi $x$ là số cọc dùng để rào hết chiều rộng.

• Số cọc rào chiều dài nhiều hơn chiều rộng 20 chiếc, nên chiều dài có $x + 20$ cọc.
• Khi cắm $n$ cọc liên tiếp dọc một cạnh thì có $n - 1$ khoảng cách, mỗi khoảng dài $0{,}1$ m.

Suy ra:

• Chiều rộng: $0{,}1(x - 1)$ m
• Chiều dài: $0{,}1(x + 20 - 1) = 0{,}1(x + 19)$ m

Diện tích:

$$
\begin{aligned}

S &= 0{,}1(x + 19) \cdot 0{,}1(x - 1)\\

&= 0{,}01(x + 19)(x - 1)\\

&= 0{,}01(x^2 + 18x - 19)\\

&= 0{,}01x^2 + 0{,}18x - 0{,}19 \ \ (\text{m}^2)
\end{aligned}
$$

---

Trang 39 – Mở đầu Bài 28: Phép chia đa thức một biến

Trang này là phần lý thuyết mở đầu, chưa có bài tập. Nội dung chính:

Mục tiêu của bài: thực hiện được phép chia hai đa thức một biến và vận dụng các tính chất của phép tính về đa thức.

Các khái niệm cần nhớ:

Phép chia hết (định nghĩa): Cho hai đa thức $A$ và $B$ với $B \neq 0$. Nếu tồn tại đa thức $Q$ sao cho $A = B \cdot Q$ thì ta có phép chia hết:

$$
A : B = Q \quad \text{hay} \quad \frac{A}{B} = Q
$$

trong đó:

• $A$ là đa thức bị chia
• $B$ là đa thức chia
• $Q$ là đa thức thương (gọi tắt là thương)

Khi đó ta nói đa thức $A$ chia hết cho đa thức $B$.

Ví dụ mở đầu với đơn thức: vì $6x^4 = (-2x^3)\cdot(-3x)$ nên $6x^4 : (-2x^3) = -3x$.

Lưu ý: kí hiệu $B \neq 0$ nghĩa là $B$ không phải đa thức không.

Bài toán mở đầu của trang đặt ra: tìm đa thức $P$ sao cho $A = B \cdot P$ với $A = 2x^4 - 3x^3 - 3x^2 + 6x - 2$ và $B = x^2 - 2$. Đây chính là lý do cần học cách chia hai đa thức, sẽ được trình bày ở các trang tiếp theo.

Em muốn thầy giải luôn bài toán mở đầu $A : B$ này không? Nói thầy biết nhé.