Giải Toán 7 - Tập 2 trang 43
Lời giải chi tiết SGK Lớp 7 · Môn ToĂ¡n · Trang 43–44
Tóm tắt lý thuyết: Chia đa thức cho đa thức – trường hợp chia có dư
Ví dụ chia $D = 5x^3 - 3x^2 - x + 7$ cho $E = x^2 + 1$ cho kết quả:
$$D = E\cdot(5x - 3) + (-6x + 10)$$
Trong đó thương là $5x - 3$, dư là $G = -6x + 10$.
Quy tắc cần nhớ khi chia đa thức $A$ cho đa thức $B$:
- Đa thức dư $R$ phải bằng $0$ hoặc có bậc nhỏ hơn bậc của $B$.
- Nếu thương là $Q$, dư là $R$ thì $A = B\cdot Q + R$.
Trả lời nhanh các hoạt động:
- HĐ4: Dư $G = -6x + 10$ có bậc bằng 1, nhỏ hơn bậc của $E$ (bậc 2), nên phép chia dừng lại, không chia tiếp được.
- HĐ5: $E\cdot(5x-3) + G = (x^2+1)(5x-3) + (-6x+10) = 5x^3 - 3x^2 + 5x - 3 - 6x + 10 = 5x^3 - 3x^2 - x + 7 = D$. Đẳng thức đúng.
Luyện tập 3
Đề: Tìm dư $R$ và thương $Q$ trong phép chia $A = 3x^4 - 6x - 5$ cho $B = x^2 + 3x - 1$, rồi viết $A = B\cdot Q + R$.
Đặt phép chia (viết đủ hạng tử khuyết: $3x^4 + 0x^3 + 0x^2 - 6x - 5$):
| Bước | Phép tính | Kết quả còn lại |
|---|---|---|
| 1 | $3x^4 : x^2 = 3x^2$; $\;3x^2(x^2+3x-1)=3x^4+9x^3-3x^2$ | $-9x^3 + 3x^2 - 6x - 5$ |
| 2 | $-9x^3 : x^2 = -9x$; $\;-9x(x^2+3x-1)=-9x^3-27x^2+9x$ | $30x^2 - 15x - 5$ |
| 3 | $30x^2 : x^2 = 30$; $\;30(x^2+3x-1)=30x^2+90x-30$ | $-105x + 25$ |
Dư $-105x + 25$ có bậc 1 < bậc 2 nên dừng lại.
- Thương: $Q = 3x^2 - 9x + 30$
- Dư: $R = -105x + 25$
$$A = (x^2 + 3x - 1)(3x^2 - 9x + 30) + (-105x + 25)$$
Thử thách nhỏ
Đề: Tìm dư trong phép chia $x^3 - 3x^2 + x - 1$ cho $x^2 - 3x$.
Mẹo của bạn Vuông: để ý $x^3 - 3x^2 = x^2(x - 3)$ còn $x^2 - 3x = x(x-3)$. Hai hạng tử đầu của đa thức bị chia chính là phần chia hết, nên ta tách:
$$x^3 - 3x^2 + x - 1 = (x^2 - 3x)\cdot x + (x - 1)$$
Phần $x - 1$ có bậc 1 < bậc 2, không chia tiếp được. Vậy dư là $x - 1$.
Vuông làm nhanh vì nhìn ra ngay $x^3 - 3x^2$ chia hết cho $x^2 - 3x$ (được thương $x$), phần còn lại $x - 1$ chính là dư.
Bài 7.30: Tính
a) $8x^5 : 4x^3 = (8:4)x^{5-3} = 2x^2$
b) $120x^7 : (-24x^5) = (120:(-24))x^{7-5} = -5x^2$
c) $\dfrac{3}{4}(-x)^3 : \dfrac{1}{8}x = -\dfrac{3}{4}x^3 : \dfrac{1}{8}x = \left(-\dfrac{3}{4}:\dfrac{1}{8}\right)x^{3-1} = -6x^2$
d) $-3{,}72x^4 : (-4x^2) = (-3{,}72 : (-4))x^{4-2} = 0{,}93x^2$
Bài 7.31: Thực hiện phép chia
a) $(-5x^3 + 15x^2 + 18x) : (-5x)$
Chia từng hạng tử cho $-5x$:
$$= \frac{-5x^3}{-5x} + \frac{15x^2}{-5x} + \frac{18x}{-5x} = x^2 - 3x - 3{,}6$$
b) $(-2x^5 - 4x^3 + 3x^2) : 2x^2$
$$= \frac{-2x^5}{2x^2} + \frac{-4x^3}{2x^2} + \frac{3x^2}{2x^2} = -x^3 - 2x + 1{,}5$$
Bài 7.32: Thực hiện phép chia bằng cách đặt tính chia
a) $(6x^3 - 2x^2 - 9x + 3) : (3x - 1)$
| Bước | Phép tính | Kết quả còn lại |
|---|---|---|
| 1 | $6x^3 : 3x = 2x^2$; $\;2x^2(3x-1)=6x^3-2x^2$ | $-9x + 3$ |
| 2 | $-9x : 3x = -3$; $\;-3(3x-1)=-9x+3$ | $0$ |
Thương $Q = 2x^2 - 3$, dư $R = 0$.
b) $(4x^4 + 14x^3 - 21x - 9) : (2x^2 - 3)$
Viết đủ: $4x^4 + 14x^3 + 0x^2 - 21x - 9$.
| Bước | Phép tính | Kết quả còn lại |
|---|---|---|
| 1 | $4x^4 : 2x^2 = 2x^2$; $\;2x^2(2x^2-3)=4x^4-6x^2$ | $14x^3 + 6x^2 - 21x - 9$ |
| 2 | $14x^3 : 2x^2 = 7x$; $\;7x(2x^2-3)=14x^3-21x$ | $6x^2 - 9$ |
| 3 | $6x^2 : 2x^2 = 3$; $\;3(2x^2-3)=6x^2-9$ | $0$ |
Thương $Q = 2x^2 + 7x + 3$, dư $R = 0$.
Bài 7.33: Chia $0{,}5x^5 + 3{,}2x^3 - 2x^2$ cho $0{,}25x^n$
a) $n = 2$, tức chia cho $0{,}25x^2$. Mọi hạng tử đều chia hết:
$$= \frac{0{,}5x^5}{0{,}25x^2} + \frac{3{,}2x^3}{0{,}25x^2} + \frac{-2x^2}{0{,}25x^2} = 2x^3 + 12{,}8x - 8$$
b) $n = 3$, tức chia cho $0{,}25x^3$. Hạng tử $-2x^2$ có bậc 2 < 3 nên không chia được, trở thành dư:
$$0{,}5x^5 + 3{,}2x^3 - 2x^2 = 0{,}25x^3(2x^2 + 12{,}8) + (-2x^2)$$
Thương $Q = 2x^2 + 12{,}8$, dư $R = -2x^2$.
Bài 7.34: Tìm thương $Q(x)$ và dư $R(x)$
a) $F(x) = 6x^4 - 3x^3 + 15x^2 + 2x - 1$; $G(x) = 3x^2$
Chia các hạng tử có bậc $\geq 2$ cho $3x^2$; phần $2x - 1$ (bậc 1) thành dư:
$$\frac{6x^4}{3x^2} = 2x^2,\quad \frac{-3x^3}{3x^2} = -x,\quad \frac{15x^2}{3x^2} = 5$$
Thương $Q(x) = 2x^2 - x + 5$, dư $R(x) = 2x - 1$.
$$F(x) = 3x^2(2x^2 - x + 5) + (2x - 1)$$
b) $F(x) = 12x^4 + 10x^3 - x - 3$; $G(x) = 3x^2 + x + 1$
Viết đủ: $12x^4 + 10x^3 + 0x^2 - x - 3$.
| Bước | Phép tính | Kết quả còn lại |
|---|---|---|
| 1 | $12x^4 : 3x^2 = 4x^2$; $\;4x^2(3x^2+x+1)=12x^4+4x^3+4x^2$ | $6x^3 - 4x^2 - x - 3$ |
| 2 | $6x^3 : 3x^2 = 2x$; $\;2x(3x^2+x+1)=6x^3+2x^2+2x$ | $-6x^2 - 3x - 3$ |
| 3 | $-6x^2 : 3x^2 = -2$; $\;-2(3x^2+x+1)=-6x^2-2x-2$ | $-x - 1$ |
Thương $Q(x) = 4x^2 + 2x - 2$, dư $R(x) = -x - 1$.
$$F(x) = (3x^2 + x + 1)(4x^2 + 2x - 2) + (-x - 1)$$
Bài 7.35: Giúp bạn Tâm
Đề: Tìm thương và dư trong phép chia $21x - 4$ cho $3x^2$.
Lý do bạn Tâm lúng túng: đa thức bị chia $21x - 4$ có bậc 1, còn đa thức chia $3x^2$ có bậc 2. Vì bậc của đa thức bị chia đã nhỏ hơn bậc đa thức chia nên không thực hiện được bước chia nào cả.
Theo quy tắc, dư phải có bậc nhỏ hơn bậc đa thức chia, mà $21x - 4$ đã thỏa điều đó. Vậy:
- Thương $Q = 0$
- Dư $R = 21x - 4$
$$21x - 4 = 3x^2 \cdot 0 + (21x - 4)$$
Tóm lại: khi đa thức bị chia có bậc nhỏ hơn đa thức chia thì thương bằng 0 và dư chính là đa thức bị chia.