Giải Toán 7 - Tập 2 trang 47
Lời giải chi tiết SGK Lớp 7 · Môn ToĂ¡n · Trang 47–48
BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG VII
Bài 7.42
Đề bài: Một hãng taxi quy định giá cước như sau: 0,5 km đầu tiên giá 8 000 đồng; tiếp theo cứ mỗi kilômét giá 11 000 đồng. Giả sử một người thuê xe đi x (kilômét).
a) Chứng tỏ rằng biểu thức biểu thị số tiền mà người đó phải trả là một đa thức. Tìm bậc, hệ số cao nhất và hệ số tự do của đa thức đó.
b) Giá trị của đa thức tại x = 9 nói lên điều gì?
Cách giải
Câu a)
Bước 1: Phân tích cách tính tiền taxi
- 0,5 km đầu tiên: 8 000 đồng
- Quãng đường còn lại: (x − 0,5) km với giá 11 000 đồng/km
Bước 2: Lập biểu thức tính số tiền
Số tiền phải trả = 8 000 + 11 000 × (x − 0,5)
= 8 000 + 11 000x − 5 500
= 11 000x + 2 500
Bước 3: Kết luận
Biểu thức 11 000x + 2 500 là một đa thức bậc nhất theo biến x.
Đáp án: - Đa thức biểu thị số tiền: P(x) = 11 000x + 2 500 (đồng) - Bậc: 1 - Hệ số cao nhất: 11 000 - Hệ số tự do: 2 500
Câu b)
Bước 1: Tính giá trị đa thức tại x = 9
P(9) = 11 000 × 9 + 2 500
= 99 000 + 2 500
= 101 500 (đồng)
Bước 2: Giải thích ý nghĩa
Đáp án: Giá trị của đa thức tại x = 9 là 101 500 đồng, nghĩa là nếu đi 9 km thì người đó phải trả 101 500 đồng tiền taxi.
Bài 7.43
Đề bài: Cho đa thức bậc hai F(x) = ax² + bx + c, trong đó a, b và c là những số với a ≠ 0.
a) Cho biết a + b + c = 0. Giải thích tại sao x = 1 là một nghiệm của F(x).
b) Áp dụng, hãy tìm một nghiệm của đa thức bậc hai 2x² − 5x + 3.
Cách giải
Câu a)
Bước 1: Tính F(1)
F(1) = a × 1² + b × 1 + c
= a + b + c
Bước 2: Áp dụng điều kiện a + b + c = 0
Vì a + b + c = 0 nên F(1) = 0
Bước 3: Kết luận
Đáp án: Vì F(1) = a + b + c = 0 nên x = 1 là một nghiệm của F(x).
💡 Mẹo nhớ: "Tổng hệ số bằng không, nghiệm là một" — Nếu a + b + c = 0 thì x = 1 là nghiệm.
Câu b)
Bước 1: Xác định các hệ số của đa thức 2x² − 5x + 3
- a = 2
- b = −5
- c = 3
Bước 2: Kiểm tra tổng a + b + c
a + b + c = 2 + (−5) + 3 = 0
Bước 3: Áp dụng kết quả câu a
Vì a + b + c = 0 nên x = 1 là một nghiệm.
Bước 4: Thử lại
2 × 1² − 5 × 1 + 3 = 2 − 5 + 3 = 0 ✓
Đáp án: Một nghiệm của đa thức 2x² − 5x + 3 là x = 1.
Bài 7.44
Đề bài: Cho đa thức A = x⁴ + x³ − 2x − 2.
a) Tìm đa thức B sao cho A + B = x³ + 3x + 1.
b) Tìm đa thức C sao cho A − C = x⁵.
c) Tìm đa thức D, biết rằng D = (2x² − 3) · A.
d) Tìm đa thức P sao cho A = (x + 1) · P.
e) Có hay không một đa thức Q sao cho A = (x² + 1) · Q?
Cách giải
Câu a) Tìm B sao cho A + B = x³ + 3x + 1
Bước 1: Từ A + B = x³ + 3x + 1, suy ra:
B = (x³ + 3x + 1) − A
Bước 2: Thay A vào và tính
B = (x³ + 3x + 1) − (x⁴ + x³ − 2x − 2)
= x³ + 3x + 1 − x⁴ − x³ + 2x + 2
= −x⁴ + (x³ − x³) + (3x + 2x) + (1 + 2)
= −x⁴ + 5x + 3
Đáp án: B = −x⁴ + 5x + 3
Câu b) Tìm C sao cho A − C = x⁵
Bước 1: Từ A − C = x⁵, suy ra:
C = A − x⁵
Bước 2: Thay A vào và tính
C = (x⁴ + x³ − 2x − 2) − x⁵
= −x⁵ + x⁴ + x³ − 2x − 2
Đáp án: C = −x⁵ + x⁴ + x³ − 2x − 2
Câu c) Tìm D = (2x² − 3) · A
Bước 1: Nhân từng hạng tử của (2x² − 3) với A
D = (2x² − 3) × (x⁴ + x³ − 2x − 2)
Bước 2: Nhân 2x² với từng hạng tử của A
2x² × x⁴ = 2x⁶
2x² × x³ = 2x⁵
2x² × (−2x) = −4x³
2x² × (−2) = −4x²
Bước 3: Nhân (−3) với từng hạng tử của A
(−3) × x⁴ = −3x⁴
(−3) × x³ = −3x³
(−3) × (−2x) = 6x
(−3) × (−2) = 6
Bước 4: Cộng tất cả lại
D = 2x⁶ + 2x⁵ − 3x⁴ + (−4x³ − 3x³) − 4x² + 6x + 6
= 2x⁶ + 2x⁵ − 3x⁴ − 7x³ − 4x² + 6x + 6
Đáp án: D = 2x⁶ + 2x⁵ − 3x⁴ − 7x³ − 4x² + 6x + 6
Câu d) Tìm P sao cho A = (x + 1) · P
Bước 1: Ta cần chia A cho (x + 1)
A = x⁴ + x³ − 2x − 2
Bước 2: Nhóm các hạng tử
A = x³(x + 1) − 2(x + 1)
= (x + 1)(x³ − 2)
Bước 3: Kết luận
Đáp án: P = x³ − 2
Kiểm tra: (x + 1)(x³ − 2) = x⁴ − 2x + x³ − 2 = x⁴ + x³ − 2x − 2 = A ✓
Câu e) Có hay không đa thức Q sao cho A = (x² + 1) · Q?
Bước 1: Nếu tồn tại Q thì A chia hết cho (x² + 1)
Bước 2: Thực hiện phép chia A : (x² + 1)
Ta có: A = x⁴ + x³ − 2x − 2
Chia x⁴ + x³ − 2x − 2 cho x² + 1:
- x⁴ : x² = x²
- x² × (x² + 1) = x⁴ + x²
- Trừ: (x⁴ + x³ − 2x − 2) − (x⁴ + x²) = x³ − x² − 2x − 2
- x³ : x² = x
- x × (x² + 1) = x³ + x
- Trừ: (x³ − x² − 2x − 2) − (x³ + x) = −x² − 3x − 2
- (−x²) : x² = −1
- (−1) × (x² + 1) = −x² − 1
- Trừ: (−x² − 3x − 2) − (−x² − 1) = −3x − 1
Bước 3: Kết luận
Phép chia có dư là (−3x − 1) ≠ 0, nên A không chia hết cho (x² + 1).
Đáp án: Không tồn tại đa thức Q sao cho A = (x² + 1) · Q.
Bài 7.45
Đề bài: Cho đa thức P(x). Giải thích tại sao nếu có đa thức Q(x) sao cho P(x) = (x − 3) · Q(x) (tức là P(x) chia hết cho x − 3) thì x = 3 là một nghiệm của P(x).
Cách giải
Bước 1: Giả sử P(x) = (x − 3) · Q(x)
Bước 2: Tính P(3)
P(3) = (3 − 3) · Q(3)
= 0 · Q(3)
= 0
Bước 3: Kết luận
Vì P(3) = 0 nên x = 3 là nghiệm của P(x).
Đáp án: Nếu P(x) = (x − 3) · Q(x) thì khi thay x = 3 vào, ta được P(3) = (3 − 3) · Q(3) = 0 · Q(3) = 0. Vì P(3) = 0 nên x = 3 là một nghiệm của P(x).
💡 Mẹo nhớ: Nếu đa thức P(x) chia hết cho (x − a) thì x = a là nghiệm của P(x).
Bài 7.46
Đề bài: Hai bạn Tròn và Vuông tranh luận với nhau như sau:
- Tròn: Đa thức M(x) = x³ + 1 có thể viết được thành tổng của hai đa thức bậc hai.
- Vuông: Không thể như thế được. Nhưng M(x) có thể viết được thành tổng của hai đa thức bậc bốn.
Hãy cho biết ý kiến của em và nêu một ví dụ minh hoạ.
Cách giải
Phân tích ý kiến của Tròn:
Giả sử M(x) = P(x) + Q(x), trong đó P(x) và Q(x) đều là đa thức bậc hai.
- Đa thức bậc hai có dạng: ax² + bx + c (với a ≠ 0)
- Bậc cao nhất của P(x) + Q(x) là bậc 2
Nhưng M(x) = x³ + 1 có bậc 3.
→ Tròn sai vì tổng hai đa thức bậc hai không thể có bậc 3.
Phân tích ý kiến của Vuông:
Giả sử M(x) = P(x) + Q(x), trong đó P(x) và Q(x) đều là đa thức bậc bốn.
Điều này có thể xảy ra nếu các hạng tử bậc 4 triệt tiêu nhau.
Ví dụ minh hoạ:
- P(x) = x⁴ + x³ + 1
- Q(x) = −x⁴
Khi đó: P(x) + Q(x) = (x⁴ + x³ + 1) + (−x⁴) = x³ + 1 = M(x) ✓
→ Vuông đúng
Đáp án: - Tròn sai: Tổng hai đa thức bậc hai có bậc cao nhất là 2, không thể bằng đa thức bậc 3. - Vuông đúng: M(x) có thể viết thành tổng hai đa thức bậc bốn. - Ví dụ: M(x) = (x⁴ + x³ + 1) + (−x⁴) = x³ + 1
TRANG 47 — CHƯƠNG VIII: LÀM QUEN VỚI BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ
Trang này không có bài tập — Đây là trang giới thiệu Chương VIII và Bài 29.
Tóm tắt nội dung:
Chương VIII giới thiệu về:
- Biến cố ngẫu nhiên
- Biến cố chắc chắn
- Biến cố không thể
- Xác suất của biến cố
Bài 29: Làm quen với biến cố trình bày các khái niệm cơ bản về biến cố trong xác suất, giúp học sinh phân biệt các loại sự kiện có thể xảy ra hoặc không thể xảy ra trong cuộc sống.
🎯 Ghi nhớ chương VII: - Nghiệm của đa thức P(x) là giá trị x₀ sao cho P(x₀) = 0 - Nếu tổng các hệ số a + b + c = 0 thì x = 1 là nghiệm - Nếu P(x) chia hết cho (x − a) thì x = a là nghiệm của P(x) - Khi cộng/trừ đa thức, nhớ thu gọn các hạng tử đồng dạng