Giải Toán 7 - Tập 2 trang 63

Tóm tắt lý thuyết

Trang 62 nằm cuối Bài 31 (Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác), với phần nhận xét quan trọng:

• Trong tam giác vuông, góc vuông là góc lớn nhất nên cạnh đối diện (cạnh huyền) là cạnh lớn nhất.
• Trong tam giác tù, cạnh đối diện với góc tù là cạnh lớn nhất.

Nguyên tắc cốt lõi để giải toàn bộ bài tập: trong một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn hơn thì lớn hơn (và ngược lại).

Trang 63 mở đầu Bài 32 (Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên), giới thiệu khái niệm:

• Từ điểm $A$ không thuộc đường thẳng $d$, hạ $AH \perp d$ tại $H$ thì $AH$ là đường vuông góc, $H$ là chân đường vuông góc.
• Lấy $M$ trên $d$ ($M \ne H$), đoạn $AM$ là một đường xiên kẻ từ $A$ đến $d$.

(Trang 63 chỉ có lý thuyết, chưa có bài tập.)

Bài 9.1: Nhận diện tam giác và tìm cạnh lớn nhất

Đề: Cho tam giác $ABC$ có $\widehat{A} = 105^\circ$, $\widehat{B} = 35^\circ$.

a) Tính góc còn lại:

$$\widehat{C} = 180^\circ - 105^\circ - 35^\circ = 40^\circ$$
Vì $\widehat{A} = 105^\circ > 90^\circ$ nên tam giác $ABC$ là tam giác tù.

b) So sánh ba góc: $\widehat{A}(105^\circ) > \widehat{C}(40^\circ) > \widehat{B}(35^\circ)$.

Cạnh lớn nhất đối diện góc lớn nhất. Góc lớn nhất là $\widehat{A}$, đối diện là cạnh $BC$.

Vậy cạnh lớn nhất của tam giác là $BC$.

Bài 9.2: Kết luận đúng về hai góc

Đề: Trong Hình 9.6, $BC = DC$, $D$ nằm giữa $A$ và $C$. Kết luận nào đúng?

Xét tam giác $BCD$ có $CB = CD$ nên tam giác cân tại $C$:
$$\widehat{DBC} = \widehat{BDC}$$

Góc $\widehat{BDC}$ là góc ngoài tại $D$ của tam giác $ABD$ nên:

$$\widehat{BDC} = \widehat{A} + \widehat{ABD} > \widehat{A}$$

Mặt khác $\widehat{B} = \widehat{ABC} = \widehat{ABD} + \widehat{DBC} > \widehat{DBC} = \widehat{BDC}$.

Ghép lại:
$$\widehat{A} < \widehat{BDC} = \widehat{DBC} < \widehat{B} \;\Rightarrow\; \widehat{A} < \widehat{B}$$

Vậy kết luận đúng là c) $\widehat{A} < \widehat{B}$.

Bài 9.3: Cạnh lớn nhất của tam giác cân

Đề: Trong tam giác cân có một góc bằng $96^\circ$, cạnh lớn nhất là cạnh bên hay cạnh đáy? Vì sao?

Một tam giác chỉ có thể có nhiều nhất một góc tù. Vì $96^\circ > 90^\circ$ nên góc này không thể là góc ở đáy (nếu hai góc đáy đều $96^\circ$ thì tổng đã vượt $180^\circ$).

Do đó $96^\circ$ là góc ở đỉnh, đây là góc lớn nhất của tam giác. Cạnh đối diện góc ở đỉnh chính là cạnh đáy.

Vậy cạnh lớn nhất là cạnh đáy.

Bài 9.4: Ai đi xa nhất, ai đi gần nhất

Đề: Ba bạn Mai, Việt, Hà đi theo các đường $AD$, $BD$, $CD$. Biết $A, B, C$ thẳng hàng, $B$ nằm giữa $A$ và $C$, $\widehat{ACD}$ là góc tù. Hỏi ai đi xa nhất, ai đi gần nhất?

Ta lần lượt so sánh:

• Xét tam giác $BCD$: vì $B$ nằm phía $A$ nên $\widehat{DCB} = \widehat{ACD}$ là góc tù. Góc tù là góc lớn nhất nên cạnh đối diện $DB$ lớn nhất: $DB > DC$.
• Góc $\widehat{DBA}$ là góc ngoài tại $B$ của tam giác $DBC$ nên $\widehat{DBA} = \widehat{DCB} + \widehat{BDC} > 90^\circ$, tức $\widehat{DBA}$ là góc tù. Xét tam giác $DBA$: cạnh đối diện góc tù là $DA$ lớn nhất: $DA > DB$.

Ghép lại:
$$DA > DB > DC$$

Vậy:

• Mai (đường $AD$) đi xa nhất.
• Hà (đường $CD$) đi gần nhất.

Bài 9.5: Tại C có nghe được tiếng loa không

Đề: Tam giác $ABC$ có $\widehat{A}$ tù, $AC = 500$ m. Đặt loa tại một điểm nằm giữa $A$ và $B$, tại $C$ có nghe được không nếu bán kính nghe rõ là $500$ m?

Gọi $M$ là vị trí loa, $M$ nằm giữa $A$ và $B$.

Xét tam giác $ACM$: vì $M$ thuộc tia $AB$ nên $\widehat{CAM} = \widehat{CAB} = \widehat{A}$ là góc tù. Góc tù là góc lớn nhất nên cạnh đối diện $CM$ là cạnh lớn nhất:
$$CM > CA = 500 \text{ m}$$

Khoảng cách từ loa đến $C$ lớn hơn bán kính nghe rõ $500$ m.

Vậy tại $C$ không thể nghe rõ tiếng loa.

Cả 5 bài đều dựa trên một ý: cạnh đối diện góc lớn hơn thì lớn hơn, và cạnh đối diện góc tù luôn là cạnh lớn nhất trong tam giác. Nắm chắc ý này là làm gọn hết phần bài tập nha.