Giải Toán 7 - Tập 2 trang 65

Hai trang này thuộc bài "Đường vuông góc và đường xiên" trong chương IX. Mình sẽ tóm tắt lý thuyết rồi giải chi tiết toàn bộ bài tập nhé.

Tóm tắt lý thuyết

Cho điểm $A$ không nằm trên đường thẳng $d$. Kẻ $AH \perp d$ tại $H$ (đường vuông góc) và một đoạn $AM$ bất kỳ tới $d$ (đường xiên).

Định lí: Trong các đường xiên và đường vuông góc kẻ từ một điểm nằm ngoài đường thẳng đến đường thẳng đó thì đường vuông góc là đường ngắn nhất.

$$AH < AM \quad (\text{với mọi } M \ne H \text{ trên } d)$$

Lí do: Trong tam giác $AHM$ vuông tại $H$, góc $\widehat{AHM} = 90^\circ$ là góc lớn nhất nên cạnh đối diện $AM$ là cạnh lớn nhất, suy ra $AM > AH$.

Chú ý: Độ dài $AH$ được gọi là khoảng cách từ điểm $A$ đến đường thẳng $d$. Khi $A$ nằm trên $d$ thì khoảng cách bằng 0.

---

Phần Luyện tập (trang 64)

Đề: Cho hình vuông $ABCD$ cạnh $2\text{ cm}$, $M$ là một điểm trên cạnh $BC$ (Hình 9.10).

a) Chỉ ra đường vuông góc và đường xiên kẻ từ $A$ đến đường thẳng $BC$.

• Vì $ABCD$ là hình vuông nên $AB \perp BC$ tại $B$.
• Vậy đường vuông góc kẻ từ $A$ đến $BC$ là $AB$.
• Đường xiên kẻ từ $A$ đến $BC$ là $AM$.

b) So sánh $AB$ và $AM$.

Vì $AB$ là đường vuông góc, $AM$ là đường xiên kẻ từ $A$ đến $BC$ nên:
$$AB < AM$$

c) Tìm khoảng cách từ điểm $C$ đến đường thẳng $AB$.

• Vì $ABCD$ là hình vuông nên $CB \perp AB$ tại $B$.
• Do đó khoảng cách từ $C$ đến đường thẳng $AB$ chính là độ dài $CB = 2\text{ cm}$.

---

Phần Vận dụng & Thử thách nhỏ (trang 64)

Thử thách nhỏ a) Chứng minh: trên $d$, nếu $HM < HN$ thì $AM < AN$ (với $AH \perp d$).

Vì $HM < HN$ nên $M$ nằm giữa $H$ và $N$. Trong tam giác $AMN$, góc $\widehat{AMN}$ là góc ngoài tại $M$ của tam giác $AHM$, nên:

$$\widehat{AMN} = \widehat{AHM} + \widehat{HAM} > \widehat{AHM} = 90^\circ$$
Vậy $\widehat{AMN}$ là góc tù, là góc lớn nhất trong tam giác $AMN$. Cạnh đối diện $AN$ là cạnh lớn nhất, suy ra:
$$AN > AM \quad \text{hay} \quad AM < AN$$

Thử thách nhỏ b) Với $M$ tùy ý nằm trên các cạnh của hình vuông $ABCD$, $AM$ lớn nhất khi nào?

$AM$ lớn nhất khi $M$ trùng với đỉnh $C$ (đỉnh đối diện với $A$). Khi đó $AM = AC$ là đường chéo hình vuông. Mọi điểm $M$ khác trên các cạnh đều cho $AM$ nhỏ hơn đường chéo $AC$.

---

Bài 9.6 (trang 65)

Đề: Chiều cao của tam giác ứng với một cạnh của nó có phải là khoảng cách từ đỉnh đối diện đến đường thẳng chứa cạnh đó không?

Lời giải: Đúng.

Chiều cao ứng với một cạnh là đoạn vuông góc kẻ từ đỉnh đối diện xuống đường thẳng chứa cạnh đó. Vì đoạn vuông góc là đường ngắn nhất từ một điểm đến một đường thẳng, nên độ dài chiều cao chính là khoảng cách từ đỉnh đối diện đến đường thẳng chứa cạnh đó.

Bài 9.7 (trang 65)

Đề: Cho hình vuông $ABCD$. Hỏi trong bốn đỉnh của hình vuông:

• a) Đỉnh nào cách đều hai điểm $A$ và $C$?
• b) Đỉnh nào cách đều hai đường thẳng $AB$ và $AD$?

a) Hai đỉnh cách đều $A$ và $C$ là $B$ và $D$.

Vì $ABCD$ là hình vuông nên $BA = BC$ (hai cạnh bằng nhau), suy ra $B$ cách đều $A$ và $C$. Tương tự $DA = DC$ nên $D$ cũng cách đều $A$ và $C$.

b) Đỉnh cách đều hai đường thẳng $AB$ và $AD$ là $C$.

Khoảng cách từ $C$ đến $AB$ là $CB$ (vì $CB \perp AB$), khoảng cách từ $C$ đến $AD$ là $CD$ (vì $CD \perp AD$). Mà $CB = CD$ (cạnh hình vuông) nên $C$ cách đều hai đường thẳng $AB$ và $AD$.

(Riêng đỉnh $A$ nằm trên cả hai đường thẳng nên khoảng cách bằng 0, không tính.)

Bài 9.8 (trang 65)

Đề: Cho tam giác cân $ABC$, $AB = AC$. Lấy điểm $M$ tùy ý nằm giữa $B$ và $C$ (Hình 9.12).

• a) Khi $M$ thay đổi thì $AM$ thay đổi. Xác định vị trí của $M$ để $AM$ nhỏ nhất.
• b) Chứng minh rằng với mọi điểm $M$ thì $AM < AB$.

a) Kẻ $AH \perp BC$ tại $H$. Khi đó $AH$ là đường vuông góc, còn $AM$ là đường xiên kẻ từ $A$ đến $BC$, nên $AH \le AM$ với mọi $M$.

Vậy $AM$ nhỏ nhất khi $M$ trùng với $H$, tức là $M$ là chân đường vuông góc kẻ từ $A$ xuống $BC$ (cũng chính là trung điểm của $BC$ vì tam giác cân).

b) Vì $M$ nằm giữa $B$ và $C$ nên $HM < HB$ (xét trên đường thẳng $BC$, $H$ là trung điểm).

Theo kết quả "đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn", từ $HM < HB$ suy ra:
$$AM < AB$$

Vậy với mọi điểm $M$ nằm giữa $B$ và $C$ thì $AM < AB$.

Bài 9.9 (trang 65)

Đề: Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$. Hai điểm $M$, $N$ lần lượt nằm trên các cạnh $AB$, $AC$ ($M$, $N$ không phải đỉnh) (Hình 9.13). Chứng minh $MN < BC$.
(Gợi ý: So sánh $MN$ với $NB$, rồi $NB$ với $BC$.)

Lời giải:

Bước 1 — So sánh $MN$ với $NB$:

Xét tam giác $NMB$. Vì $M$ nằm trên cạnh $AB$, tam giác $AMN$ vuông tại $A$ nên $NM$ là cạnh xiên còn $NA$ là đường vuông góc từ $N$ xuống $AB$.

Xét đường xiên từ $N$ xuống đường thẳng $AB$: chân vuông góc là $A$. Vì $M$ nằm giữa $A$ và $B$ nên $AM < AB$, suy ra:
$$NM < NB \quad (1)$$
(đường xiên có hình chiếu nhỏ hơn thì ngắn hơn)

Bước 2 — So sánh $NB$ với $BC$:

Xét đường xiên từ $B$ xuống đường thẳng $AC$: chân vuông góc là $A$. Vì $N$ nằm giữa $A$ và $C$ nên $AN < AC$, suy ra:
$$BN < BC \quad (2)$$

Bước 3 — Kết hợp:

Từ $(1)$ và $(2)$:
$$MN < NB < BC$$
Vậy $MN < BC$ (điều phải chứng minh).

---