Giải Toán 7 - Tập 2 trang 69
Lời giải chi tiết SGK Lớp 7 · Môn ToĂ¡n · Trang 69–70
Phần Luyện tập (Trang 68)
Câu hỏi
Đề bài: Hỏi ba độ dài nào sau đây không thể là độ dài ba cạnh của một tam giác? Vì sao? Hãy vẽ tam giác nhận ba độ dài còn lại làm độ dài ba cạnh.
a) 5 cm, 4 cm, 6 cm.
b) 3 cm, 6 cm, 10 cm.
Cách giải
Kiến thức cần nhớ: Bất đẳng thức tam giác
Trong một tam giác, tổng độ dài hai cạnh bất kỳ luôn lớn hơn độ dài cạnh còn lại.
a) Kiểm tra bộ ba: 5 cm, 4 cm, 6 cm
Ta kiểm tra các điều kiện:
- 5 + 4 = 9 > 6 ✓
- 5 + 6 = 11 > 4 ✓
- 4 + 6 = 10 > 5 ✓
Cả ba điều kiện đều thỏa mãn.
Kết luận: Bộ ba 5 cm, 4 cm, 6 cm có thể là độ dài ba cạnh của một tam giác.
b) Kiểm tra bộ ba: 3 cm, 6 cm, 10 cm
Ta kiểm tra điều kiện:
- 3 + 6 = 9 < 10 ✗
Tổng hai cạnh nhỏ (3 + 6 = 9) nhỏ hơn cạnh lớn nhất (10).
Kết luận: Bộ ba 3 cm, 6 cm, 10 cm không thể là độ dài ba cạnh của một tam giác.
Vẽ tam giác với ba cạnh 5 cm, 4 cm, 6 cm:
Các bước vẽ:
- Vẽ đoạn thẳng AB = 6 cm
- Lấy A làm tâm, vẽ cung tròn bán kính 5 cm
- Lấy B làm tâm, vẽ cung tròn bán kính 4 cm
- Gọi C là giao điểm của hai cung tròn
- Nối AC và BC, ta được tam giác ABC
💡 Mẹo nhớ: "Tổng hai cạnh phải lớn hơn cạnh ba" - Kiểm tra nhanh bằng cách cộng hai cạnh nhỏ nhất, nếu lớn hơn cạnh lớn nhất thì OK!
Phần Vận dụng (Trang 68)
Câu hỏi
Đề bài: Trở lại tình huống mở đầu, em hãy giải thích vì sao nếu dựng cột điện ở vị trí C trên đoạn thẳng AB thì tổng độ dài dây dẫn điện cần sử dụng là ngắn nhất (H.9.17).
Cách giải
Quan sát hình 9.17, ta thấy:
- Có hai ngôi nhà ở vị trí A và B
- Cột điện đặt tại vị trí C nằm trên đoạn thẳng AB
- Cần kéo dây điện từ A đến C và từ B đến C
Giải thích:
Khi C nằm trên đoạn thẳng AB, ta có:
- Tổng độ dài dây = AC + CB = AB
Nếu C không nằm trên đoạn AB (giả sử C' ở ngoài đoạn AB), theo bất đẳng thức tam giác trong tam giác AC'B:
- AC' + C'B > AB
Do đó: AC' + C'B > AC + CB
Kết luận: Khi cột điện C nằm trên đoạn thẳng AB, tổng độ dài dây dẫn điện AC + CB = AB là ngắn nhất. Nếu đặt cột điện ở vị trí khác không nằm trên AB, theo bất đẳng thức tam giác, tổng độ dài dây sẽ lớn hơn AB.
Phần Bài tập (Trang 69)
Bài 9.10
Đề bài: Cho các bộ ba đoạn thẳng có độ dài như sau:
a) 2 cm, 3 cm, 5 cm;
b) 3 cm, 4 cm, 6 cm;
c) 2 cm, 4 cm, 5 cm.
Hỏi bộ ba nào không thể là độ dài ba cạnh của một tam giác? Vì sao? Với mỗi bộ ba còn lại, hãy vẽ một tam giác có độ dài ba cạnh được cho trong bộ ba đó.
Cách giải
a) Kiểm tra bộ ba: 2 cm, 3 cm, 5 cm
Kiểm tra điều kiện bất đẳng thức tam giác:
- 2 + 3 = 5 = 5 (không lớn hơn 5)
Tổng hai cạnh nhỏ bằng cạnh lớn nhất, không thỏa mãn điều kiện "lớn hơn".
Kết luận: Bộ ba 2 cm, 3 cm, 5 cm không thể là độ dài ba cạnh của một tam giác.
b) Kiểm tra bộ ba: 3 cm, 4 cm, 6 cm
Kiểm tra điều kiện:
- 3 + 4 = 7 > 6 ✓
- 3 + 6 = 9 > 4 ✓
- 4 + 6 = 10 > 3 ✓
Kết luận: Bộ ba 3 cm, 4 cm, 6 cm có thể là độ dài ba cạnh của một tam giác.
c) Kiểm tra bộ ba: 2 cm, 4 cm, 5 cm
Kiểm tra điều kiện:
- 2 + 4 = 6 > 5 ✓
- 2 + 5 = 7 > 4 ✓
- 4 + 5 = 9 > 2 ✓
Kết luận: Bộ ba 2 cm, 4 cm, 5 cm có thể là độ dài ba cạnh của một tam giác.
Vẽ tam giác:
Với bộ ba 3 cm, 4 cm, 6 cm:
- Vẽ đoạn thẳng AB = 6 cm
- Vẽ cung tròn tâm A, bán kính 3 cm
- Vẽ cung tròn tâm B, bán kính 4 cm
- Gọi C là giao điểm hai cung, nối AC và BC
Với bộ ba 2 cm, 4 cm, 5 cm:
- Vẽ đoạn thẳng AB = 5 cm
- Vẽ cung tròn tâm A, bán kính 2 cm
- Vẽ cung tròn tâm B, bán kính 4 cm
- Gọi C là giao điểm hai cung, nối AC và BC
💡 Mẹo nhớ: Chỉ cần kiểm tra: Tổng 2 cạnh nhỏ > Cạnh lớn nhất là đủ!
Bài 9.11
Đề bài:
a) Cho tam giác ABC có AB = 1 cm và BC = 7 cm. Hãy tìm độ dài cạnh CA biết rằng đó là một số nguyên (cm).
b) Cho tam giác ABC có AB = 2 cm, BC = 6 cm và BC là cạnh lớn nhất. Hãy tìm độ dài cạnh CA biết rằng đó là một số nguyên (cm).
Cách giải
a) Tìm CA khi AB = 1 cm, BC = 7 cm
Áp dụng bất đẳng thức tam giác, ta có ba điều kiện:
- AB + CA > BC → 1 + CA > 7 → CA > 6
- AB + BC > CA → 1 + 7 > CA → CA < 8
- BC + CA > AB → 7 + CA > 1 (luôn đúng với CA > 0)
Từ hai điều kiện đầu: 6 < CA < 8
Vì CA là số nguyên nên:
Đáp số: CA = 7 cm
b) Tìm CA khi AB = 2 cm, BC = 6 cm, BC là cạnh lớn nhất
Áp dụng bất đẳng thức tam giác:
- AB + CA > BC → 2 + CA > 6 → CA > 4
- AB + BC > CA → 2 + 6 > CA → CA < 8
- BC + CA > AB → 6 + CA > 2 (luôn đúng)
Từ hai điều kiện đầu: 4 < CA < 8
Vì BC = 6 là cạnh lớn nhất nên: CA ≤ 6
Kết hợp: 4 < CA ≤ 6
Vì CA là số nguyên nên:
Đáp số: CA ∈ {5; 6} (CA = 5 cm hoặc CA = 6 cm)
💡 Mẹo nhớ: Độ dài cạnh thứ ba luôn nằm trong khoảng: |hiệu 2 cạnh| < cạnh thứ 3 < tổng 2 cạnh
Bài 9.12
Đề bài: Cho điểm M nằm bên trong tam giác ABC. Gọi N là giao điểm của đường thẳng AM và cạnh BC (H.9.18).
a) So sánh MB với MN + NB, từ đó suy ra MA + MB < NA + NB.
b) So sánh NA với CA + CN, từ đó suy ra NA + NB < CA + CB.
c) Chứng minh MA + MB < CA + CB.
Cách giải
a) So sánh MB với MN + NB
Xét tam giác MNB, áp dụng bất đẳng thức tam giác:
MB < MN + NB (1)
Cộng MA vào hai vế của (1):
MA + MB < MA + MN + NB
Vì M nằm giữa A và N trên đường thẳng AN nên: MA + MN = AN = NA
Do đó: MA + MB < NA + NB
Kết luận: MB < MN + NB, suy ra MA + MB < NA + NB
b) So sánh NA với CA + CN
Xét tam giác CAN, áp dụng bất đẳng thức tam giác:
NA < CA + CN (2)
Cộng NB vào hai vế của (2):
NA + NB < CA + CN + NB
Vì N nằm giữa C và B trên cạnh BC nên: CN + NB = CB
Do đó: NA + NB < CA + CB
Kết luận: NA < CA + CN, suy ra NA + NB < CA + CB
c) Chứng minh MA + MB < CA + CB
Từ câu a): MA + MB < NA + NB (3)
Từ câu b): NA + NB < CA + CB (4)
Từ (3) và (4), ta có:
Kết luận: MA + MB < CA + CB (điều phải chứng minh)
💡 Mẹo nhớ: Điểm càng gần đỉnh, tổng khoảng cách đến hai đỉnh còn lại càng lớn!
Bài 9.13
Đề bài: Cho tam giác ABC, điểm D nằm giữa B và C. Chứng minh rằng AD nhỏ hơn nửa chu vi tam giác ABC.
Cách giải
Cần chứng minh: AD < (AB + BC + CA)/2
Hay: 2×AD < AB + BC + CA
Bước 1: Áp dụng bất đẳng thức tam giác trong tam giác ABD
Vì D nằm giữa B và C nên D nằm trên cạnh BC.
Trong tam giác ABD:
- AD < AB + BD (bất đẳng thức tam giác) ... (1)
Bước 2: Áp dụng bất đẳng thức tam giác trong tam giác ACD
Trong tam giác ACD:
- AD < AC + CD (bất đẳng thức tam giác) ... (2)
Bước 3: Cộng (1) và (2)
AD + AD < AB + BD + AC + CD
2×AD < AB + AC + (BD + CD)
Vì D nằm giữa B và C nên: BD + DC = BC
Do đó: 2×AD < AB + AC + BC
Suy ra: AD < (AB + BC + CA)/2
Kết luận: AD nhỏ hơn nửa chu vi tam giác ABC.
Cách 2 — Trình bày gọn
Gọi chu vi tam giác ABC là P = AB + BC + CA
Trong tam giác ABD: AD < AB + BD
Trong tam giác ACD: AD < AC + DC
Cộng vế với vế: 2×AD < AB + AC + BD + DC = AB + AC + BC = P
Vậy: AD < P/2
Kết luận: AD nhỏ hơn nửa chu vi tam giác ABC (đpcm).
🎯 Ghi nhớ chung: - Bất đẳng thức tam giác: Tổng hai cạnh bất kỳ luôn lớn hơn cạnh còn lại - Kiểm tra nhanh: Chỉ cần kiểm tra tổng 2 cạnh nhỏ > cạnh lớn nhất - Tìm cạnh thứ 3: |a - b| < c < a + b (với a, b là hai cạnh đã biết) - Ứng dụng: Đường thẳng là đường đi ngắn nhất giữa hai điểm