Giải Toán 7 - Tập 2 trang 71
Lời giải chi tiết SGK Lớp 7 · Môn ToĂ¡n · Trang 71–72
Hai trang này thuộc phần Luyện tập chung của chương Quan hệ giữa các yếu tố trong tam giác. Mình sẽ tóm tắt phần ví dụ rồi giải chi tiết các bài tập nhé.
Tóm tắt lý thuyết qua ví dụ
Ví dụ 1 và 2 ôn lại hai kiến thức quan trọng:
- Tính chất tia phân giác: Điểm cách đều hai cạnh của một góc thì nằm trên tia phân giác của góc đó (chứng minh bằng hai tam giác vuông bằng nhau theo trường hợp cạnh huyền – cạnh góc vuông).
- Bất đẳng thức tam giác: Trong một tam giác, tổng hai cạnh bất kì luôn lớn hơn cạnh còn lại, tức là $AB + AC > BC$.
Từ bất đẳng thức tam giác, với ba cạnh $a$, $b$, $c$ ta luôn có:
$$|b - c| < a < b + c$$
Bài 9.14
Đề: Hãy giải thích: Nếu $M$ là một điểm tuỳ ý nằm trên cạnh $BC$ hoặc $CD$ của hình vuông $ABCD$ thì độ dài đoạn thẳng $AM$ luôn lớn hơn hoặc bằng độ dài cạnh của hình vuông đó (H.9.21).
Lời giải:
Gọi $a$ là độ dài cạnh hình vuông.
Trường hợp 1: $M$ nằm trên cạnh $BC$.
Tam giác $ABM$ vuông tại $B$ (vì $\widehat{ABC} = 90^\circ$). Khi đó $AM$ là cạnh huyền, còn $AB$ là cạnh góc vuông. Mà cạnh huyền luôn lớn nhất nên:
$$AM \ge AB = a$$
(dấu bằng xảy ra khi $M$ trùng $B$).
Trường hợp 2: $M$ nằm trên cạnh $CD$.
Tam giác $ADM$ vuông tại $D$. Tương tự, $AM$ là cạnh huyền nên:
$$AM \ge AD = a$$
(dấu bằng xảy ra khi $M$ trùng $D$).
Vậy trong mọi trường hợp, $AM$ luôn lớn hơn hoặc bằng độ dài cạnh của hình vuông.
Bài 9.15
Đề: Hỏi có tam giác nào với độ dài ba cạnh là 2,5 cm; 3,4 cm và 6 cm không? Vì sao?
Lời giải:
Ta kiểm tra bất đẳng thức tam giác bằng cách so tổng hai cạnh nhỏ với cạnh lớn nhất:
$$2{,}5 + 3{,}4 = 5{,}9 \;(\text{cm}) < 6 \;(\text{cm})$$
Tổng hai cạnh nhỏ lại nhỏ hơn cạnh lớn nhất, vi phạm bất đẳng thức tam giác.
Kết luận: Không tồn tại tam giác nào có ba cạnh là 2,5 cm; 3,4 cm và 6 cm.
Bài 9.16
Đề: Tính chu vi của tam giác cân biết hai cạnh của nó có độ dài là 2 cm và 5 cm.
Lời giải:
Tam giác cân có hai cạnh bằng nhau, nên cạnh thứ ba bằng 2 cm hoặc 5 cm. Xét hai khả năng:
- Ba cạnh là 2 cm, 2 cm, 5 cm: kiểm tra $2 + 2 = 4 < 5$ → vi phạm bất đẳng thức tam giác, loại.
- Ba cạnh là 5 cm, 5 cm, 2 cm: kiểm tra $5 + 2 = 7 > 5$ và $5 + 5 = 10 > 2$ → thỏa mãn.
Vậy tam giác có ba cạnh 5 cm, 5 cm, 2 cm. Chu vi:
$$5 + 5 + 2 = 12 \;(\text{cm})$$
Bài 9.17
Đề: Độ dài hai cạnh của một tam giác bằng 7 cm và 2 cm. Tính độ dài cạnh còn lại biết rằng số đo của nó theo xentimét là một số tự nhiên lẻ.
Lời giải:
Gọi độ dài cạnh còn lại là $x$ (cm). Theo bất đẳng thức tam giác:
$$7 - 2 < x < 7 + 2$$
$$5 < x < 9$$
Các số tự nhiên thỏa mãn là 6, 7, 8. Vì $x$ phải là số lẻ nên:
$$x = 7 \;(\text{cm})$$
Bài 9.18
Đề: Biết hai cạnh của tam giác có độ dài $a$ và $b$. Dựa vào bất đẳng thức tam giác, hãy giải thích tại sao chu vi của tam giác đó lớn hơn $2a$ và nhỏ hơn $2(a+b)$.
Lời giải:
Gọi cạnh còn lại là $c$. Chu vi tam giác là $P = a + b + c$.
Chứng minh $P > 2a$:
Theo bất đẳng thức tam giác, tổng hai cạnh $b$ và $c$ lớn hơn cạnh $a$:
$$b + c > a$$
Cộng $a$ vào hai vế:
$$a + b + c > 2a \quad\Rightarrow\quad P > 2a$$
Chứng minh $P < 2(a+b)$:
Cũng theo bất đẳng thức tam giác, cạnh $c$ nhỏ hơn tổng hai cạnh còn lại:
$$c < a + b$$
Cộng $a + b$ vào hai vế:
$$a + b + c < 2(a + b) \quad\Rightarrow\quad P < 2(a+b)$$
Vậy chu vi tam giác thỏa mãn $2a < P < 2(a+b)$.
Bài 9.19
Đề: Hai khu vườn $A$ và $B$ nằm về một phía của con kênh $d$. Hãy xác định bên bờ kênh cùng phía với $A$ và $B$ một điểm $C$ để đặt máy bơm nước từ kênh tưới cho hai khu vườn sao cho tổng độ dài đường ống dẫn nước từ máy bơm đến hai khu vườn là ngắn nhất (HD: Gọi $B'$ là điểm sao cho $d$ là đường trung trực của $BB'$ (H.9.22). Khi đó $CB = CB'$).
Lời giải:
Ta cần tìm điểm $C$ trên đường thẳng $d$ sao cho $CA + CB$ nhỏ nhất.
Bước 1 – Dựng điểm đối xứng: Lấy điểm $B'$ là điểm đối xứng của $B$ qua đường thẳng $d$, tức $d$ là đường trung trực của $BB'$.
Bước 2 – Thay khoảng cách bằng đoạn đối xứng: Vì $C$ nằm trên đường trung trực của $BB'$ nên $C$ cách đều hai đầu mút:
$$CB = CB'$$
Do đó:
$$CA + CB = CA + CB'$$
Bước 3 – Tìm giá trị nhỏ nhất: Tổng $CA + CB'$ nhỏ nhất khi ba điểm $A$, $C$, $B'$ thẳng hàng (vì đường thẳng là đường ngắn nhất nối hai điểm). Khi đó:
$$CA + CB' = AB'$$
Kết luận: Điểm $C$ cần tìm là giao điểm của đoạn thẳng $AB'$ với đường thẳng $d$. Tại vị trí này, tổng độ dài đường ống $CA + CB$ là ngắn nhất.
Em có biết
Phần đọc thêm trình bày một cách chứng minh khác cho bất đẳng thức tam giác $BC < AB + AC$, xét ba trường hợp theo dạng góc $B$ và $C$:
- Trường hợp 1: Góc $B$ tù hoặc vuông → $\widehat{B}$ lớn nhất nên cạnh đối diện $AC$ lớn nhất, suy ra $BC < AB + AC$.
- Trường hợp 2: Góc $C$ tù hoặc vuông → tương tự ta có $BC < AB + AC$.
- Trường hợp 3: Cả hai góc $B$ và $C$ nhọn → kẻ $AH \perp BC$, dùng $BH < AB$ và $HC < AC$ để suy ra $BC = BH + HC < AB + AC$.
Vậy trong mọi trường hợp đều có $BC < AB + AC$.
Mình lưu ý nhỏ: ảnh gửi lên thực ra là trang 70 và trang 71 của sách (theo số trang ở góc dưới), nên mình giải theo đúng nội dung hai trang đó. Nếu bạn cần thêm trang 72, gửi ảnh tiếp nhé.