Giải Toán 7 - Tập 2 trang 73
Lời giải chi tiết SGK Lớp 7 · Môn ToĂ¡n · Trang 73–74
Tóm tắt lý thuyết
Đường trung tuyến của tam giác:
- Đoạn thẳng $AM$ nối đỉnh $A$ với trung điểm $M$ của cạnh đối diện $BC$ gọi là đường trung tuyến (xuất phát từ đỉnh $A$).
- Mỗi tam giác có 3 đường trung tuyến.
Định lí 1 (Sự đồng quy của ba đường trung tuyến):
- Ba đường trung tuyến của một tam giác cùng đi qua một điểm (đồng quy tại một điểm).
- Điểm đó cách mỗi đỉnh một khoảng bằng $\dfrac{2}{3}$ độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy.
- Cụ thể: $\dfrac{GA}{MA} = \dfrac{GB}{NB} = \dfrac{GC}{PC} = \dfrac{2}{3}$.
Chú ý: Điểm đồng quy của ba đường trung tuyến gọi là trọng tâm của tam giác.
Câu hỏi mở đầu (Hình 9.26)
Đề: Hình 9.26 mô phỏng một miếng bìa hình tam giác $ABC$ đặt thăng bằng trên giá nhọn tại điểm $G$. Điểm đó được xác định như thế nào và có gì đặc biệt?
Trả lời: Điểm $G$ chính là trọng tâm của tam giác $ABC$, là giao điểm của ba đường trung tuyến. Điều đặc biệt là khi đặt miếng bìa lên giá nhọn đúng tại trọng tâm thì miếng bìa cân bằng (do trọng tâm là điểm "cân bằng khối lượng" của tam giác).
Câu hỏi: Mỗi tam giác có mấy đường trung tuyến?
Trả lời: Mỗi tam giác có 3 đường trung tuyến, mỗi đường xuất phát từ một đỉnh đến trung điểm của cạnh đối diện.
HĐ1: Gấp giấy tìm ba đường trung tuyến
Đề: Lấy mảnh giấy hình tam giác, gấp đánh dấu trung điểm các cạnh, rồi gấp các nếp đi qua đỉnh và trung điểm cạnh đối diện (các đường trung tuyến). Mở ra quan sát: ba nếp gấp có cùng đi qua một điểm không?
Trả lời: Có. Ba nếp gấp (ba đường trung tuyến) cùng đi qua một điểm. Đây chính là minh họa cho việc ba đường trung tuyến đồng quy.
HĐ2: Vẽ tam giác trên giấy ô vuông (Hình 9.29)
Đề: Trên giấy kẻ ô vuông, đánh dấu $A$, $B$, $C$ vẽ tam giác $ABC$. Vẽ hai trung tuyến $BN$, $CP$ cắt nhau tại $G$; tia $AG$ cắt $BC$ tại $M$.
- $AM$ có phải là đường trung tuyến của tam giác $ABC$ không?
- Xác định các tỉ số $\dfrac{GA}{MA}$, $\dfrac{GB}{NB}$, $\dfrac{GC}{PC}$.
Trả lời:
- $AM$ là đường trung tuyến của tam giác $ABC$. Vì $G$ là giao của hai trung tuyến $BN$ và $CP$ nên $G$ là trọng tâm; tia $AG$ kéo dài cắt $BC$ tại trung điểm $M$, do đó $AM$ là trung tuyến.
- Khi đo (đếm ô) ta được:
$$\dfrac{GA}{MA} = \dfrac{GB}{NB} = \dfrac{GC}{PC} = \dfrac{2}{3}.$$
Đây chính là kết quả dẫn đến Định lí 1.
Ví dụ 1
Đề: Cho tam giác $ABC$ với $AM$ là trung tuyến và $G$ là trọng tâm tam giác.
- a) Chứng minh $GA = 2GM$.
- b) Biết $GM = 2$ cm, tính $GA$.
Giải:
a) Vì $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ nên:
$$\dfrac{GA}{MA} = \dfrac{2}{3} \;\Rightarrow\; GA = \dfrac{2}{3}MA.$$
Ta có:
$$GM = MA - GA = MA - \dfrac{2}{3}MA = \dfrac{1}{3}MA.$$
Vậy:
$$GA = \dfrac{2}{3}MA = 2 \cdot \left(\dfrac{1}{3}MA\right) = 2GM.$$
b) Khi $GM = 2$ cm thì $GA = 2 \cdot 2 = 4$ cm.
Luyện tập 1
Đề: Trong tam giác $ABC$ ở Ví dụ 1, cho trung tuyến $BN$ và $GN = 1$ cm. Tính $GB$ và $NB$.
Giải:
$G$ là trọng tâm nên tương tự như Ví dụ 1, với trung tuyến $BN$ ta có:
$$GB = 2GN.$$
Vì $GN = 1$ cm nên:
$$GB = 2 \cdot 1 = 2 \text{ cm}.$$
Độ dài trung tuyến $NB$:
$$NB = GB + GN = 2 + 1 = 3 \text{ cm}.$$
Kiểm tra lại: $\dfrac{GB}{NB} = \dfrac{2}{3}$ ✓ (đúng định lí).
Đáp số: $GB = 2$ cm, $NB = 3$ cm.
Em nhớ điểm mấu chốt nhé: trọng tâm chia mỗi đường trung tuyến theo tỉ lệ từ đỉnh là $\dfrac{2}{3}$, tức là khoảng cách từ trọng tâm đến đỉnh gấp đôi khoảng cách từ trọng tâm đến trung điểm cạnh đối diện.