Giải Toán 7 - Tập 2 trang 75

Lời giải chi tiết SGK Lớp 7 · Môn ToĂ¡n · Trang 75–76

Trước tiên mình lưu ý nhỏ nhé: hai ảnh em gửi thực ra là trang 74 và trang 75 của sách. Mình sẽ giải hết toàn bộ nội dung trên hai trang này theo đúng thứ tự.

Tóm tắt lý thuyết

Bài học nói về hai nội dung chính:

Sự đồng quy của ba đường trung tuyến (phần Vận dụng 1, nối tiếp bài trước).
Sự đồng quy của ba đường phân giác trong tam giác.

Các kiến thức cốt lõi cần nhớ:

Đường phân giác của tam giác: Trong tam giác $ABC$, tia phân giác của góc $A$ cắt cạnh $BC$ tại điểm $D$ thì đoạn thẳng $AD$ gọi là đường phân giác (xuất phát từ đỉnh $A$) của tam giác. Mỗi tam giác có 3 đường phân giác.
Định lí 2: Ba đường phân giác của một tam giác đồng quy tại một điểm. Điểm này cách đều ba cạnh của tam giác.

Trong Hình 9.34: ba đường phân giác $AD$, $BE$, $CF$ đồng quy tại $I$ và $IH = IK = IL$ (khoảng cách từ $I$ tới ba cạnh bằng nhau).

Tranh luận (trang 74)

Đây là phần thảo luận mở, không phải bài tập cần đáp án. Câu hỏi đặt ra: ngoài cách lấy giao điểm của hai đường trung tuyến, còn cách nào tìm trọng tâm tam giác không?

Trả lời gợi ý: Có. Một số cách khác để xác định trọng tâm $G$:

Lấy giao điểm của cả ba đường trung tuyến (thừa một đường để kiểm tra).
Vẽ một đường trung tuyến, rồi lấy điểm cách đỉnh một khoảng bằng $\dfrac{2}{3}$ độ dài trung tuyến đó (vì $AG = \dfrac{2}{3}AM$). Kết hợp với một trung tuyến nữa là xác định được.

Vận dụng 1 (trang 74)

Đề: Người ta chứng minh được $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$. Em hãy cắt một mảnh bìa hình tam giác, xác định trọng tâm rồi đặt mảnh bìa lên một giá nhọn tại trọng tâm. Quan sát xem mảnh bìa có thăng bằng không.

Lời giải (đây là hoạt động thực hành):

Cắt mảnh bìa tam giác, vẽ hai đường trung tuyến, giao điểm chính là trọng tâm $G$.
Đặt điểm $G$ lên đầu giá nhọn (hoặc đầu bút chì).
Kết quả: mảnh bìa thăng bằng (không bị nghiêng đổ).

Giải thích: Trọng tâm chính là "điểm cân bằng khối lượng" của tấm bìa đồng chất, nên khi đỡ tại đó tấm bìa đứng yên ở trạng thái thăng bằng.

HĐ3 (trang 74)

Đề: Cắt một tam giác bằng giấy. Gấp tam giác để được ba đường phân giác của nó. Mở tờ giấy ra, quan sát và cho biết ba nếp gấp đó có cùng đi qua một điểm không.

Lời giải (hoạt động thực hành):

Mỗi nếp gấp tạo một đường phân giác (gấp sao cho một cạnh trùng lên cạnh kia tại mỗi đỉnh).
Khi mở ra, ta thấy ba nếp gấp cùng đi qua một điểm.

Kết luận: Ba đường phân giác cùng đi qua một điểm. Đây chính là cơ sở thực nghiệm dẫn tới Định lí 2.

Ví dụ 2 (trang 75) — đã có lời giải mẫu trong sách

Đề: Chứng minh rằng trong tam giác $ABC$ cân tại $A$, giao điểm của ba đường phân giác nằm trên đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh $A$.

Tóm tắt cách làm trong sách (để em nắm phương pháp dùng cho bài Luyện tập 2):

GT: $\triangle ABC$, $AB = AC$, $I$ là giao điểm ba đường phân giác.
KL: $AI$ là đường trung tuyến của $\triangle ABC$.

Chứng minh: Gọi $M$ là giao của $AI$ với $BC$. Xét $\triangle ABM$ và $\triangle ACM$:

$AB = AC$ (gt)
$AM$ chung
$\widehat{BAM} = \widehat{CAM}$ (vì $AI$ là phân giác góc $BAC$)

Suy ra $\triangle ABM = \triangle ACM$ (c.g.c) $\Rightarrow BM = CM$, tức $M$ là trung điểm $BC$. Vậy $AI$ là trung tuyến.

Luyện tập 2 (trang 75)

Đề: Cho tam giác $ABC$ có hai đường phân giác $AM$, $BN$ cắt nhau tại điểm $I$. Hỏi $CI$ có là đường phân giác của góc $C$ không?

Lời giải:

Theo Định lí 2, ba đường phân giác của tam giác $ABC$ đồng quy tại một điểm.

$AM$ là phân giác góc $A$, $BN$ là phân giác góc $B$, chúng cắt nhau tại $I$.
Vậy $I$ chính là giao điểm của ba đường phân giác (vì hai phân giác đã xác định duy nhất một điểm đồng quy).
Mà đường phân giác xuất phát từ đỉnh $C$ cũng phải đi qua điểm đồng quy này, tức là đi qua $I$.

Đáp án: Có. $CI$ là đường phân giác của góc $C$.

Lý do: Hai đường phân giác $AM$ và $BN$ cắt nhau tại $I$, theo Định lí 2 thì đường phân giác thứ ba (từ đỉnh $C$) cũng phải đi qua $I$. Do đó tia $CI$ chính là phân giác góc $C$.

Vận dụng 2 (trang 75)

Đề: Chứng minh rằng trong tam giác đều, điểm cách đều ba cạnh của tam giác là trọng tâm của tam giác đó.

Lời giải:

Xét tam giác đều $ABC$ (tức $AB = BC = CA$).

Bước 1 — Xác định điểm cách đều ba cạnh.

Theo Định lí 2, điểm cách đều ba cạnh của tam giác chính là giao điểm $I$ của ba đường phân giác.

Bước 2 — Chứng minh các phân giác cũng là trung tuyến.

Tam giác đều cũng là tam giác cân tại mỗi đỉnh:

Vì cân tại $A$ ($AB = AC$), theo kết quả Ví dụ 2, đường phân giác từ $A$ đồng thời là đường trung tuyến từ $A$.
Tương tự, cân tại $B$ ($BA = BC$) nên phân giác từ $B$ cũng là trung tuyến từ $B$.
Cân tại $C$ ($CA = CB$) nên phân giác từ $C$ cũng là trung tuyến từ $C$.

Bước 3 — Kết luận.

Như vậy ba đường phân giác của tam giác đều cũng chính là ba đường trung tuyến. Giao điểm $I$ của ba đường phân giác (điểm cách đều ba cạnh) cũng chính là giao điểm của ba đường trung tuyến, tức là trọng tâm của tam giác.

Vậy trong tam giác đều, điểm cách đều ba cạnh chính là trọng tâm. (Điều phải chứng minh.)

Nhận xét thêm: Tam giác đều là trường hợp rất đặc biệt — ở đó trọng tâm, giao điểm ba phân giác, ba đường cao, ba đường trung trực đều trùng vào một điểm duy nhất.

Em đã có lời giải đầy đủ cho cả phần thực hành lẫn các bài chứng minh. Nếu muốn, mình có thể vẽ hình minh họa cho bài Vận dụng 2 hoặc giải thêm bài tập cuối bài nhé.

Chế độ đọc sách →