Giải Toán 7 - Tập 2 trang 77

Hai trang này gồm phần cuối Bài tập của Bài 34 (các bài 9.20 → 9.25) và phần mở đầu của Bài 35. Mình giải hết phần bài tập và tóm tắt phần lý thuyết mới nhé.

---

Bài 9.20: Tỉ số trên hai đường trung tuyến

Đề: Cho tam giác $ABC$ với hai đường trung tuyến $BN$, $CP$ và trọng tâm $G$. Tìm số thích hợp đặt vào dấu "?":
$$BG = ?\,BN,\quad CG = ?\,CP;\qquad BG = ?\,GN,\quad CG = ?\,GP.$$

Lời giải:

Trọng tâm chia mỗi đường trung tuyến theo tỉ lệ: tính từ đỉnh, trọng tâm cách đỉnh một đoạn bằng $\dfrac{2}{3}$ độ dài trung tuyến.

• $BG = \dfrac{2}{3}\,BN$ và $CG = \dfrac{2}{3}\,CP$.
• Vì $GN = \dfrac{1}{3}BN$ nên $BG = 2\,GN$; tương tự $CG = 2\,GP$.

---

Bài 9.21: Trung tuyến trong tam giác cân

Đề:
a) Trong tam giác cân, hai đường trung tuyến ứng với hai cạnh bên bằng nhau.
b) Ngược lại, nếu tam giác có hai đường trung tuyến bằng nhau thì tam giác đó cân.

Lời giải:

a) Cho $\triangle ABC$ cân tại $A$ ($AB = AC$). Gọi $BM$, $CN$ là trung tuyến ứng với hai cạnh bên $AC$, $AB$.

Vì $N$ là trung điểm $AB$ nên $BN = \dfrac{AB}{2}$; vì $M$ là trung điểm $AC$ nên $CM = \dfrac{AC}{2}$. Mà $AB = AC \Rightarrow BN = CM$.

Xét $\triangle NBC$ và $\triangle MCB$:

• $BN = CM$ (chứng minh trên)
• $\widehat{NBC} = \widehat{MCB}$ (hai góc đáy của tam giác cân)
• $BC$ chung

$\Rightarrow \triangle NBC = \triangle MCB$ (c.g.c) $\Rightarrow CN = BM$.

b) Cho $\triangle ABC$ có hai trung tuyến $BM = CN$, cắt nhau tại trọng tâm $G$.

Ta có $BG = \dfrac{2}{3}BM$, $CG = \dfrac{2}{3}CN \Rightarrow BG = CG$.
Tương tự $GN = \dfrac{1}{3}CN$, $GM = \dfrac{1}{3}BM \Rightarrow GN = GM$.

Xét $\triangle BGN$ và $\triangle CGM$:

• $BG = CG$
• $\widehat{BGN} = \widehat{CGM}$ (hai góc đối đỉnh)
• $GN = GM$

$\Rightarrow \triangle BGN = \triangle CGM$ (c.g.c) $\Rightarrow BN = CM$.

Suy ra $AB = 2BN = 2CM = AC$, nên $\triangle ABC$ cân tại $A$.

---

Bài 9.22: So sánh hai trung tuyến

Đề: Tam giác $ABC$ có hai trung tuyến $BM$, $CN$ cắt nhau tại $G$. Biết $\widehat{GBC} > \widehat{GCB}$. So sánh $BM$ và $CN$.

Lời giải:

Xét $\triangle GBC$: theo quan hệ giữa góc và cạnh đối diện, vì $\widehat{GBC} > \widehat{GCB}$ nên cạnh đối diện với $\widehat{GBC}$ lớn hơn cạnh đối diện với $\widehat{GCB}$, tức là:
$$GC > GB.$$

Mà $GC = \dfrac{2}{3}CN$ và $GB = \dfrac{2}{3}BM$, nên $CN > BM$.

Vậy $BM < CN$.

---

Bài 9.23: Góc tạo bởi hai phân giác

Đề: Gọi $I$ là điểm đồng quy của ba đường phân giác trong tam giác $ABC$. Tính $\widehat{BIC}$ khi $\widehat{BAC} = 120^\circ$.

Lời giải:

Trong $\triangle BIC$, do $BI$, $CI$ là phân giác nên:
$$\widehat{IBC} = \frac{\widehat{B}}{2},\qquad \widehat{ICB} = \frac{\widehat{C}}{2}.$$

Tổng ba góc trong $\triangle BIC$:

$$\widehat{BIC} = 180^\circ - \left(\frac{\widehat{B}}{2} + \frac{\widehat{C}}{2}\right) = 180^\circ - \frac{\widehat{B}+\widehat{C}}{2}.$$

Mà $\widehat{B}+\widehat{C} = 180^\circ - \widehat{A} = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$. Do đó:

$$\widehat{BIC} = 180^\circ - \frac{60^\circ}{2} = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ.$$

(Công thức nhanh: $\widehat{BIC} = 90^\circ + \dfrac{\widehat{A}}{2} = 90^\circ + 60^\circ = 150^\circ$.)

---

Bài 9.24: Hai phân giác trong tam giác cân

Đề: Gọi $BE$ và $CF$ là hai đường phân giác của tam giác $ABC$ cân tại $A$. Chứng minh $BE = CF$.

Lời giải:

Vì $\triangle ABC$ cân tại $A$ nên $\widehat{ABC} = \widehat{ACB}$.

$BE$ là phân giác $\widehat{B}$, $CF$ là phân giác $\widehat{C}$ nên:
$$\widehat{EBC} = \frac{\widehat{B}}{2} = \frac{\widehat{C}}{2} = \widehat{FCB}.$$

Xét $\triangle EBC$ và $\triangle FCB$:

• $\widehat{EBC} = \widehat{FCB}$ (chứng minh trên)
• $BC$ chung
• $\widehat{ECB} = \widehat{C} = \widehat{B} = \widehat{FBC}$

$\Rightarrow \triangle EBC = \triangle FCB$ (g.c.g) $\Rightarrow BE = CF$.

---

Bài 9.25: Chứng minh Định lí 2 (tính chất phân giác)

Đề: Trong tam giác $ABC$, hai đường phân giác của góc $B$ và $C$ cắt nhau tại $D$. Kẻ $DP \perp BC$, $DQ \perp CA$, $DR \perp AB$.
a) Giải thích vì sao $DP = DR$.
b) Giải thích vì sao $DP = DQ$.
c) Từ a và b suy ra $DR = DQ$. Tại sao $D$ nằm trên tia phân giác của góc $A$?

Lời giải:

a) $D$ nằm trên tia phân giác của góc $B$. Theo tính chất tia phân giác (mọi điểm trên tia phân giác cách đều hai cạnh của góc), $D$ cách đều hai cạnh $BA$ và $BC$. Khoảng cách đến hai cạnh đó chính là $DR$ và $DP$, nên:
$$DR = DP.$$

b) Tương tự, $D$ nằm trên tia phân giác của góc $C$ nên $D$ cách đều hai cạnh $CB$ và $CA$, tức là:
$$DP = DQ.$$

c) Từ a) và b): $DR = DP$ và $DP = DQ \Rightarrow DR = DQ$.

$DR$, $DQ$ lần lượt là khoảng cách từ $D$ đến hai cạnh $AB$ và $AC$ của góc $A$. Vì $DR = DQ$ nên $D$ cách đều hai cạnh của góc $A$. Theo chiều ngược lại của tính chất tia phân giác (điểm bên trong góc và cách đều hai cạnh thì nằm trên tia phân giác), $D$ nằm trên tia phân giác của góc $A$.

Kết luận: ba đường phân giác của tam giác cùng đi qua một điểm $D$ — đó là nội dung Định lí 2.

---

Phần mở đầu Bài 35: Sự đồng quy của ba đường trung trực, ba đường cao

Tóm tắt lý thuyết:

• Mục tiêu bài học: nhận biết đường trung trực và đường cao của tam giác; nhận biết sự đồng quy của ba đường trung trực và của ba đường cao.
• Bài toán mở đầu (Hình 9.36): ba ngôi nhà là ba đỉnh một tam giác (không tù), cần khoan một giếng cách đều ba ngôi nhà. Điểm cách đều ba đỉnh chính là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác — đó là vị trí đặt giếng.

Đường trung trực của tam giác:

Trong một tam giác, đường trung trực của mỗi cạnh được gọi là đường trung trực của tam giác. Trên Hình 9.37, $d$ là đường trung trực ứng với cạnh $BC$ của $\triangle ABC$.

Lưu ý từ bóng nói: $d$ đi qua $A$ khi $\triangle ABC$ cân tại $A$ (vì khi đó $A$ cách đều $B$ và $C$).

Câu hỏi (?): Mỗi tam giác có mấy đường trung trực?

Trả lời: Mỗi tam giác có ba cạnh, ứng với mỗi cạnh có một đường trung trực, nên mỗi tam giác có 3 đường trung trực.

---