Giải Toán 7 - Tập 2 trang 79
Lời giải chi tiết SGK Lớp 7 · Môn ToĂ¡n · Trang 79–80
Hai trang này thuộc bài về sự đồng quy của ba đường trung trực và mở đầu phần ba đường cao trong tam giác. Mình tóm tắt lý thuyết rồi giải lần lượt các hoạt động, ví dụ và bài luyện tập nhé.
Tóm tắt lý thuyết
Sự đồng quy của ba đường trung trực
- Định lí 1: Ba đường trung trực của một tam giác đồng quy tại một điểm. Điểm này cách đều ba đỉnh của tam giác.
- Nhận xét: Vì giao điểm $O$ cách đều ba đỉnh ($OA = OB = OC$) nên có một đường tròn tâm $O$ đi qua cả ba đỉnh $A, B, C$.
Đường cao của tam giác
- Đoạn thẳng kẻ từ một đỉnh, vuông góc với cạnh đối diện, gọi là đường cao của tam giác.
- Mỗi tam giác có ba đường cao (ứng với ba cạnh).
HĐ1: Vẽ ba đường trung trực
Đề: Vẽ tam giác $ABC$ (không tù) và ba đường trung trực của các cạnh $BC$, $CA$, $AB$. Quan sát xem ba đường trung trực có cùng đi qua một điểm không.
Trả lời: Sau khi vẽ, ta thấy ba đường trung trực của tam giác cùng đi qua một điểm. Vậy ba đường trung trực đồng quy tại một điểm.
HĐ2: Lập luận tính chất đồng quy
Cho $O$ là giao điểm các đường trung trực của hai cạnh $BC$ và $CA$ (Hình 9.38).
a) Tại sao $OB = OC$, $OC = OA$?
- Vì $O$ nằm trên đường trung trực của $BC$ nên $O$ cách đều hai đầu mút $B$ và $C$, suy ra $OB = OC$.
- Vì $O$ nằm trên đường trung trực của $CA$ nên $O$ cách đều hai đầu mút $C$ và $A$, suy ra $OC = OA$.
b) Điểm $O$ có nằm trên đường trung trực của cạnh $AB$ không?
Từ câu a, ta có $OB = OC$ và $OC = OA$, nên:
$$OA = OB$$
Vậy $O$ cách đều hai đầu mút $A$ và $B$, do đó $O$ nằm trên đường trung trực của cạnh $AB$.
Kết luận: Cả ba đường trung trực đều đi qua $O$, tức là chúng đồng quy. Đây chính là nội dung Định lí 1.
Ví dụ 1 (sách đã giải, mình ghi lại để các em theo dõi)
Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$. Vẽ đường trung tuyến $AI$.
a) Chứng minh $AI$ là đường trung trực của cạnh $BC$.
Xét hai tam giác $AIB$ và $AIC$:
- $AB = AC$ (giả thiết, tam giác cân tại $A$)
- $IB = IC$ (vì $AI$ là trung tuyến)
- $AI$ chung
Do đó $\triangle AIB = \triangle AIC$ (c.c.c).
Suy ra $\widehat{AIB} = \widehat{AIC}$. Mà hai góc này kề bù nên:
$$\widehat{AIB} = \widehat{AIC} = 90^\circ$$
Vậy $AI$ vuông góc với $BC$ tại trung điểm $I$, nên $AI$ là đường trung trực của $BC$.
b) Điểm cách đều ba đỉnh của tam giác $ABC$ có nằm trên $AI$ không?
Điểm cách đều ba đỉnh là giao điểm ba đường trung trực, nó nằm trên đường trung trực của $BC$. Theo câu a, đường trung trực của $BC$ chính là $AI$, nên điểm đó nằm trên trung tuyến $AI$.
Luyện tập 1
Đề: Chứng minh rằng trong tam giác đều $ABC$, trọng tâm $G$ cách đều ba đỉnh của tam giác đó.
Lời giải:
Trong tam giác đều $ABC$, ba đường trung tuyến đồng thời cũng là ba đường trung trực (vì tam giác đều cân tại cả ba đỉnh, áp dụng Ví dụ 1 cho từng đỉnh).
- Trọng tâm $G$ là giao điểm của ba đường trung tuyến.
- Ba đường trung tuyến này cũng chính là ba đường trung trực.
Vậy $G$ cũng là giao điểm của ba đường trung trực. Theo Định lí 1, giao điểm ba đường trung trực cách đều ba đỉnh. Do đó:
$$GA = GB = GC$$
Kết luận: Trọng tâm $G$ của tam giác đều cách đều ba đỉnh.
Vận dụng 1
Đề: Trả lời câu hỏi trong tình huống mở đầu của bài.
Lời giải (theo tình huống mở đầu của bài học – tìm vị trí cách đều ba điểm cho trước):
Muốn tìm một điểm cách đều ba điểm $A$, $B$, $C$ không thẳng hàng, ta coi $A$, $B$, $C$ là ba đỉnh của một tam giác, rồi vẽ ba đường trung trực của tam giác đó. Giao điểm $O$ của ba đường trung trực chính là điểm cần tìm vì:
$$OA = OB = OC$$
Vậy chỉ có duy nhất một điểm như thế, đó là giao điểm ba đường trung trực.
Thử thách nhỏ
Đề: Sử dụng tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng, hãy giải thích nếu điểm $Q$ cách đều ba đỉnh của tam giác $ABC$ thì $Q$ phải là giao điểm ba đường trung trực của tam giác $ABC$.
Lời giải:
Giả sử $Q$ cách đều ba đỉnh, nghĩa là $QA = QB = QC$.
- Vì $QB = QC$ nên $Q$ cách đều hai đầu mút $B$, $C$, suy ra $Q$ nằm trên đường trung trực của $BC$.
- Vì $QC = QA$ nên $Q$ cách đều hai đầu mút $C$, $A$, suy ra $Q$ nằm trên đường trung trực của $CA$.
- Vì $QA = QB$ nên $Q$ cách đều hai đầu mút $A$, $B$, suy ra $Q$ nằm trên đường trung trực của $AB$.
Vậy $Q$ nằm trên cả ba đường trung trực, tức là $Q$ là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác $ABC$.
Câu hỏi: Mỗi tam giác có mấy đường cao?
Trả lời: Mỗi tam giác có ba đường cao, mỗi đường cao xuất phát từ một đỉnh và vuông góc với cạnh đối diện.
HĐ3: Vẽ ba đường cao
Đề: Vẽ tam giác $ABC$ và ba đường cao của nó. Quan sát xem ba đường cao có cùng đi qua một điểm không.
Trả lời: Sau khi vẽ ba đường cao (hoặc đường thẳng chứa ba đường cao), ta thấy chúng cùng đi qua một điểm. Vậy ba đường cao của tam giác đồng quy tại một điểm. Điểm này được gọi là trực tâm của tam giác (nội dung sẽ học tiếp ở phần sau).
Nếu các em muốn mình vẽ minh họa các bước chứng minh hay giải thêm bài tập cuối bài thì cứ nói nhé.