Giải Toán 7 - Tập 2 trang 81
Lời giải chi tiết SGK Lớp 7 · Môn ToĂ¡n · Trang 81–82
Hai trang này nằm trong bài về các đường cao và sự đồng quy của ba đường cao trong tam giác (Toán 7 – Tập 2, bộ Kết nối tri thức). Mình tóm tắt lý thuyết rồi giải lần lượt phần Luyện tập và toàn bộ Bài tập nhé.
Tóm tắt lý thuyết
Định lí 2: Ba đường cao của một tam giác đồng quy tại một điểm.
Điểm đồng quy đó gọi là trực tâm của tam giác (kí hiệu H).
Vị trí của trực tâm H:
- Tam giác nhọn: H nằm bên trong tam giác.
- Tam giác vuông tại A: H trùng với đỉnh A ($H \equiv A$).
- Tam giác tù: H nằm bên ngoài tam giác.
Tính chất quan trọng (từ Ví dụ 2 và bảng nhắc bên lề): Trong tam giác cân tại A, đường cao xuất phát từ A đồng thời là đường trung trực, đường phân giác và đường trung tuyến. Trong tam giác đều, ba đường cao cũng chính là ba đường trung trực, nên trực tâm cách đều ba đỉnh.
Luyện tập 2
Câu a
Đề: Chứng minh rằng trong tam giác ABC cân tại A, đường trung trực của cạnh BC là đường cao và cũng là đường phân giác xuất phát từ đỉnh A.
Lời giải:
Gọi M là trung điểm của BC. Đường trung trực của BC là đường thẳng đi qua M và vuông góc với BC.
Vì tam giác ABC cân tại A nên $AB = AC$, tức A cách đều hai điểm B và C. Do đó A nằm trên đường trung trực của BC. Vậy đường trung trực của BC chính là đường thẳng AM.
Xét $\triangle ABM$ và $\triangle ACM$ có:
- $AB = AC$ (gt)
- $BM = CM$ (M là trung điểm BC)
- $AM$ chung
Suy ra $\triangle ABM = \triangle ACM$ (c.c.c).
Do đó:
- $\widehat{AMB} = \widehat{AMC}$, mà hai góc này kề bù nên mỗi góc bằng $90^\circ$, tức $AM \perp BC$ → AM là đường cao từ A.
- $\widehat{BAM} = \widehat{CAM}$ → AM là đường phân giác của góc A.
Vậy đường trung trực của BC vừa là đường cao vừa là đường phân giác xuất phát từ A.
Câu b
Đề: Chứng minh rằng trong tam giác đều, điểm cách đều ba đỉnh cũng cách đều ba cạnh của tam giác.
Lời giải:
Gọi O là điểm cách đều ba đỉnh của tam giác đều ABC. Khi đó O là giao điểm của ba đường trung trực (vì điểm cách đều hai đầu mút một đoạn thẳng nằm trên trung trực của đoạn đó).
Tam giác đều ABC cân tại cả ba đỉnh. Theo câu a, mỗi đường trung trực của một cạnh đồng thời là đường phân giác của góc đối diện. Vậy ba đường trung trực của tam giác đều cũng chính là ba đường phân giác.
Do đó O còn là giao điểm của ba đường phân giác, tức là tâm đường tròn nội tiếp. Mà giao điểm ba đường phân giác thì cách đều ba cạnh.
Vậy O cách đều ba đỉnh thì cũng cách đều ba cạnh của tam giác. (đpcm)
Bài 9.26
Đề: Gọi H là trực tâm của tam giác ABC không vuông. Tìm trực tâm của các tam giác HBC, HCA, HAB.
Đáp án: Trực tâm của $\triangle HBC$ là A; của $\triangle HCA$ là B; của $\triangle HAB$ là C.
Lời giải (xét $\triangle HBC$):
Vì H là trực tâm của $\triangle ABC$ nên:
- $AH \perp BC$
- $BH \perp CA$, tức $CA \perp BH$
- $CH \perp AB$, tức $AB \perp CH$
Trong tam giác HBC:
- Đường thẳng đi qua H vuông góc với BC chính là đường AH (vì $AH \perp BC$) → đường cao từ đỉnh H đi qua A.
- $AB \perp CH$ nên đường thẳng AB là đường cao kẻ từ B của $\triangle HBC$.
- $CA \perp BH$ nên đường thẳng CA là đường cao kẻ từ C của $\triangle HBC$.
Ba đường cao này cùng đi qua điểm A. Vậy A là trực tâm của $\triangle HBC$.
Làm tương tự ta được B là trực tâm của $\triangle HCA$ và C là trực tâm của $\triangle HAB$.
Bài 9.27
Đề: Cho tam giác ABC có $\widehat{A} = 100^\circ$ và trực tâm H. Tính góc BHC.
Đáp án: $\widehat{BHC} = 80^\circ$.
Lời giải:
Vì $\widehat{A} = 100^\circ > 90^\circ$ nên tam giác tù tại A, trực tâm H nằm ngoài tam giác. Gọi các chân đường cao kẻ từ B và C lần lượt là E (trên AC) và F (trên AB), với $BE \perp AC$, $CF \perp AB$, cắt nhau tại H.
Xét tứ giác AEHF (A, E, H, F):
- $\widehat{AEH} = 90^\circ$ (vì $BE \perp AC$)
- $\widehat{AFH} = 90^\circ$ (vì $CF \perp AB$)
Tổng bốn góc trong tứ giác bằng $360^\circ$, nên:
$$\widehat{EHF} = 360^\circ - 90^\circ - 90^\circ - \widehat{A} = 180^\circ - \widehat{A}.$$
Mà $\widehat{BHC} = \widehat{EHF}$ (hai góc đối đỉnh). Do đó:
$$\widehat{BHC} = 180^\circ - \widehat{A} = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ.$$
Bài 9.28
Đề: Xét điểm O cách đều ba đỉnh của tam giác ABC. Chứng minh rằng nếu O nằm trên một cạnh của tam giác ABC thì ABC là một tam giác vuông.
Lời giải:
Vì O cách đều ba đỉnh nên $OA = OB = OC = R$ (O là tâm đường tròn ngoại tiếp).
Giả sử O nằm trên cạnh BC. Khi đó $OB = OC$ và O thuộc đoạn BC nên O là trung điểm của BC. Suy ra:
$$OA = OB = OC = \frac{BC}{2}.$$
Trong tam giác ABC, OA là đường trung tuyến ứng với cạnh BC (O là trung điểm BC), và đường trung tuyến này bằng nửa cạnh BC.
Theo tính chất "tam giác có trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh ấy thì tam giác vuông tại đỉnh đối diện", ta có $\widehat{BAC} = 90^\circ$.
Vậy ABC là tam giác vuông (tại A). (đpcm)
Có thể giải thích thêm bằng đường tròn: A nằm trên đường tròn tâm O đường kính BC, mà góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (đường kính) là góc vuông.
Bài 9.29
Câu a
Đề: Có một chi tiết máy (đường viền ngoài là đường tròn) bị gãy (H.9.46). Làm thế nào để xác định được bán kính của đường viền này?
Lời giải:
Lấy ba điểm A, B, C bất kì (không thẳng hàng) nằm trên đường viền (cung tròn còn lại). Ba điểm này xác định duy nhất một đường tròn.
Cách dựng tâm:
- Dựng đường trung trực của đoạn AB.
- Dựng đường trung trực của đoạn BC.
- Hai đường trung trực cắt nhau tại điểm O. Đó chính là tâm của đường tròn.
Khi đó bán kính cần tìm là $R = OA = OB = OC$. Đo khoảng cách từ O đến một trong ba điểm là được bán kính của đường viền.
Câu b
Đề: Trên bản đồ, ba khu dân cư được quy hoạch tại ba điểm A, B, C không thẳng hàng. Hãy tìm trên bản đồ đó một điểm M cách đều A, B, C để quy hoạch một trường học.
Lời giải:
Điểm M cách đều ba điểm A, B, C chính là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, tức là giao điểm của ba đường trung trực.
Cách làm: Dựng đường trung trực của AB và đường trung trực của BC. Chúng cắt nhau tại M. Điểm M này thỏa mãn $MA = MB = MC$, là vị trí đặt trường học cách đều ba khu dân cư.
Bài 9.30
Đề: Cho hai đường thẳng không vuông góc b, c cắt nhau tại điểm A và cho điểm H không thuộc b và c (H.9.47). Hãy tìm điểm B thuộc b, điểm C thuộc c sao cho tam giác ABC nhận H làm trực tâm.
Lời giải:
Cách dựng:
- Từ H kẻ đường thẳng vuông góc với đường thẳng c, cắt b tại B.
- Từ H kẻ đường thẳng vuông góc với đường thẳng b, cắt c tại C.
Khi đó tam giác ABC (với A là giao điểm của b và c) nhận H làm trực tâm.
Chứng minh:
Vì B thuộc b và A thuộc b nên cạnh AB nằm trên đường thẳng b. Tương tự, cạnh AC nằm trên đường thẳng c.
- Theo cách dựng, $BH \perp c$, mà AC nằm trên c nên $BH \perp AC$. Vậy BH là đường cao kẻ từ B.
- Theo cách dựng, $CH \perp b$, mà AB nằm trên b nên $CH \perp AB$. Vậy CH là đường cao kẻ từ C.
Hai đường cao BH và CH cắt nhau tại H, nên H là trực tâm của tam giác ABC. (đpcm)
Lưu ý: Điều kiện "b, c không vuông góc" đảm bảo H không trùng A và tam giác ABC tồn tại (nếu b ⊥ c thì A đã là trực tâm rồi).
Mục "Em có biết"
Phần này không phải bài tập, chỉ giới thiệu một cách chứng minh khác cho việc ba đường cao AI, BJ, CK của tam giác ABC đồng quy: ghép thêm ba tam giác bằng tam giác ABC ra bên ngoài để tạo tam giác lớn A'B'C', rồi chứng minh AI, BJ, CK chính là ba đường trung trực của A'B'C'. Vì ba đường trung trực luôn đồng quy nên ba đường cao của ABC cũng đồng quy. Bạn đọc tham khảo để hiểu sâu hơn, không cần làm gì thêm.
Nếu bạn cần mình vẽ lại hình minh họa cho bài 9.30 hay giải thích kĩ hơn chỗ nào, cứ nói nhé.