Giải Toán 7 - Tập 2 trang 83

Tóm tắt lý thuyết (phần Luyện tập chung)

Bài học ôn tập về các đường đặc biệt trong tam giác:

• Đường trung tuyến, đường phân giác, đường cao của tam giác.
• Trọng tâm $G$ chia mỗi trung tuyến theo tỉ lệ: $AG = \dfrac{2}{3}AM$ và $GM = \dfrac{1}{3}AM$.
• Trực tâm $H$ là giao điểm ba đường cao.
• Tính chất tam giác cân: trong tam giác cân, đường trung tuyến, phân giác, đường cao kẻ từ đỉnh cân trùng nhau.

---

Ví dụ 1 (đã giải trong sách)

Chứng minh tam giác $ABC$ có trung tuyến $AM$ cũng là phân giác thì $ABC$ cân tại $A$.

Cách làm: Lấy $E$ trên tia $AM$ sao cho $M$ là trung điểm $AE$. Khi đó $\triangle BAM = \triangle CEM$ (c.g.c) nên $AB = EC$ và $\widehat{BAM} = \widehat{CEM}$. Vì $\widehat{BAM} = \widehat{CAM}$ (giả thiết) nên $\widehat{CEM} = \widehat{CAM}$, suy ra $\triangle CAE$ cân tại $C$, tức $CE = CA$. Vậy $AB = AC$.

Ví dụ 2 (đã giải trong sách)

Cho $\triangle ABC$ có $\widehat{BAC} = 135^\circ$, ba đường cao $AI, BJ, CK$ và trực tâm $H$.

a) $\widehat{KAC} = 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ$, tam giác $KAC$ vuông tại $K$ nên $\widehat{KCA} = 45^\circ$ → tam giác $KAC$ vuông cân, $AK = CK$.

b) Dùng $\widehat{HAK} = \widehat{HCB}$, $AK = CK$, $\widehat{AKH} = \widehat{BKC} = 90^\circ$ → $\triangle HAK = \triangle BCK$ (g.c.g) → $AH = BC$.

---

Bài 9.31

Đề: Chứng minh rằng tam giác có đường trung tuyến và đường cao xuất phát từ cùng một đỉnh trùng nhau là một tam giác cân.

Lời giải:

Xét tam giác $ABC$ có $AM$ vừa là trung tuyến vừa là đường cao xuất phát từ đỉnh $A$.

• Vì $AM$ là trung tuyến nên $BM = CM$.
• Vì $AM$ là đường cao nên $AM \perp BC$, tức $\widehat{AMB} = \widehat{AMC} = 90^\circ$.

Xét $\triangle ABM$ và $\triangle ACM$ có:

• $BM = CM$ (chứng minh trên),
• $\widehat{AMB} = \widehat{AMC} = 90^\circ$,
• $AM$ là cạnh chung.

Do đó $\triangle ABM = \triangle ACM$ (c.g.c), suy ra $AB = AC$.

Vậy tam giác $ABC$ cân tại $A$. $\blacksquare$

---

Bài 9.32

Đề: Cho ba điểm phân biệt thẳng hàng $A, B, C$. Gọi $d$ là đường thẳng vuông góc với $AB$ tại $A$. Với điểm $M$ thuộc $d$, $M$ khác $A$, vẽ đường thẳng $CM$. Qua $B$ kẻ đường thẳng vuông góc với $CM$, cắt $d$ tại $N$. Chứng minh đường thẳng $BM$ vuông góc với đường thẳng $CN$.

Lời giải:

Xét tam giác $CMN$ (với $A, B, C$ thẳng hàng nằm trên một đường thẳng):

• $d \perp AB$ tại $A$, mà $A, B, C$ thẳng hàng nên $d \perp BC$. Đường $d$ chứa $M, N$, vậy $MN \perp BC$. Suy ra $BC$ (chứa cạnh $C$) là đường cao... ta phân tích trong tam giác $CMN$.

Cụ thể, xét tam giác $CMN$:

• $MA \perp BC$ tại $A$ nên đường thẳng $d$ (đi qua $M, N$) vuông góc với $BC$. Vì $C$ nằm trên đường thẳng $AB$, đường cao từ $C$ trong tam giác $CMN$ chính là đường thẳng $BC$. Nói cách khác $CB$ vuông góc với $MN$, nên $CB$ nằm trên đường cao kẻ từ $C$.
• $BN \perp CM$ (giả thiết). Vì $B$ nằm trên đường thẳng $CA$, nên đường cao kẻ từ đỉnh $N$...

Trình bày gọn theo trực tâm:

Xét tam giác $CMN$.

• Đường thẳng $d$ qua $M$ và $N$ vuông góc với $BC$ tại $A$ (vì $d \perp AB$ và $C$ thẳng hàng với $A, B$). Đường thẳng $CB$ đi qua đỉnh $C$ và vuông góc với cạnh $MN$ → $CB$ là đường thẳng chứa đường cao từ $C$.
• $BN \perp CM$ với $B$ nằm trên $CB$. Vậy $N$ là điểm sao cho $NB \perp CM$; đường thẳng $NB$ là đường cao từ $N$ xuống cạnh $CM$.

Hai đường cao $CB$ và $NB$ cắt nhau tại $B$, nên $B$ là trực tâm của tam giác $CMN$.

Do $B$ là trực tâm nên đường thẳng $MB$ (đi qua đỉnh $M$ và trực tâm $B$) phải vuông góc với cạnh còn lại $CN$.

Vậy $BM \perp CN$. $\blacksquare$

---

Bài 9.33

Đề: Có một mảnh tôn hình tròn cần đục một lỗ ở tâm. Làm thế nào để xác định được tâm của mảnh tôn đó?

Lời giải:

Ta dựa vào tính chất: tâm đường tròn cách đều mọi điểm trên đường tròn, nên tâm nằm trên đường trung trực của mọi dây cung.

Cách làm:

1. Trên mép mảnh tôn (đường tròn), lấy ba điểm bất kì $A$, $B$, $C$.
2. Vẽ hai dây $AB$ và $BC$.
3. Dựng đường trung trực của dây $AB$ và đường trung trực của dây $BC$.
4. Giao điểm của hai đường trung trực này chính là tâm của mảnh tôn.

Lý do: Tâm cách đều $A, B, C$ nên nó nằm trên cả hai đường trung trực, vì vậy nó là giao điểm của chúng (chính là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$). $\blacksquare$

---

Bài 9.34

Đề: Cho tam giác $ABC$. Kẻ tia phân giác $At$ của góc tạo bởi tia $AB$ và tia đối của tia $AC$. Chứng minh rằng nếu đường thẳng chứa tia $At$ song song với đường thẳng $BC$ thì tam giác $ABC$ cân tại $A$.

Lời giải:

Gọi $Ax$ là tia đối của tia $AC$. Khi đó $At$ là phân giác của góc $\widehat{BAx}$ (góc ngoài tại đỉnh $A$ của tam giác $ABC$).

Đặt $\widehat{xAt} = \widehat{tAB} = \alpha$ (do $At$ là phân giác).

Vì $At \parallel BC$:

• $\widehat{tAB}$ và $\widehat{ABC}$ là hai góc so le trong (với cát tuyến $AB$), nên

$$\widehat{ABC} = \widehat{tAB} = \alpha.$$

• $\widehat{xAt}$ và $\widehat{ACB}$ là hai góc đồng vị (với cát tuyến $AC$ kéo dài), nên

$$\widehat{ACB} = \widehat{xAt} = \alpha.$$

Do đó $\widehat{ABC} = \widehat{ACB} = \alpha$.

Tam giác $ABC$ có hai góc ở đáy bằng nhau nên cân tại $A$. $\blacksquare$

---

Bài 9.35

Đề: Kí hiệu $S_{ABC}$ là diện tích tam giác $ABC$. Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$, $M$ là trung điểm của $BC$.

a) Chứng minh $S_{GBC} = \dfrac{1}{3} S_{ABC}$

Theo gợi ý, dùng $GM = \dfrac{1}{3}AM$.

Xét tam giác $GBM$ và tam giác $ABM$: hai tam giác có chung đường cao kẻ từ đỉnh $B$ xuống đường thẳng $AM$. Khi đó diện tích tỉ lệ với cạnh đáy trên đường $AM$:
$$\frac{S_{GBM}}{S_{ABM}} = \frac{GM}{AM} = \frac{1}{3} \;\Rightarrow\; S_{GBM} = \frac{1}{3} S_{ABM}.$$

Tương tự với tam giác $GCM$ và $ACM$ (chung đường cao từ $C$):
$$S_{GCM} = \frac{1}{3} S_{ACM}.$$

Cộng hai kết quả:

$$S_{GBC} = S_{GBM} + S_{GCM} = \frac{1}{3}\left(S_{ABM} + S_{ACM}\right) = \frac{1}{3} S_{ABC}.$$

Vậy $S_{GBC} = \dfrac{1}{3} S_{ABC}$. $\blacksquare$

b) Chứng minh $S_{GCA} = S_{GAB} = \dfrac{1}{3} S_{ABC}$

Làm hoàn toàn tương tự câu a).

• Gọi $N$ là trung điểm $CA$. Trọng tâm $G$ nằm trên trung tuyến $BN$ với $GN = \dfrac{1}{3}BN$. Lập luận như câu a) cho hai tam giác có chung đường cao, ta được:

$$S_{GCA} = \frac{1}{3} S_{ABC}.$$

• Gọi $P$ là trung điểm $AB$. Trọng tâm $G$ nằm trên trung tuyến $CP$ với $GP = \dfrac{1}{3}CP$, suy ra:

$$S_{GAB} = \frac{1}{3} S_{ABC}.$$

Vậy $S_{GCA} = S_{GAB} = \dfrac{1}{3} S_{ABC}$. $\blacksquare$

Nhận xét

Ba tam giác $GBC$, $GCA$, $GAB$ có diện tích bằng nhau và bằng $\dfrac{1}{3}$ diện tích tam giác $ABC$. Điều này giải thích vì sao có thể đặt thăng bằng một miếng bìa hình tam giác trên một giá nhọn đặt đúng tại trọng tâm của nó.

---

Trang này tập trung vào việc vận dụng tính chất các đường đặc biệt trong tam giác (trung tuyến, phân giác, đường cao, trung trực) và tính chất trọng tâm để chứng minh. Em chú ý cách dùng trực tâm ở bài 9.32 và cách so sánh diện tích bằng tỉ lệ cạnh đáy ở bài 9.35 nhé.