Giải Toán 7 - Tập 2 trang 85
Lời giải chi tiết SGK Lớp 7 · Môn ToĂ¡n · Trang 85–86
Trang 84 – Bài tập cuối chương IX
Đây là phần bài tập tổng hợp về quan hệ giữa cạnh và góc, đường vuông góc – đường xiên, các đường đồng quy trong tam giác. Cô giải chi tiết từng bài.
Bài 9.36: Chứng minh DE < BC
Đề: Cho tam giác $ABC$ có $\widehat{BAC}$ là góc tù. Lấy điểm $D$ nằm giữa $A$ và $B$; lấy điểm $E$ nằm giữa $A$ và $C$ (H.9.51). Chứng minh $DE < BC$.
Lời giải:
Ý tưởng là chứng minh chuỗi: $DE < DC < BC$.
Bước 1: Xét tam giác $ADE$.
Góc $\widehat{DAE} = \widehat{BAC}$ là góc tù → đây là góc lớn nhất trong tam giác $ADE$, nên hai góc còn lại $\widehat{ADE}$ và $\widehat{AED}$ đều nhọn.
Bước 2: Chứng minh $DC > DE$.
Vì $A, E, C$ thẳng hàng nên $\widehat{DEC} = 180^\circ - \widehat{AED}$. Do $\widehat{AED}$ nhọn nên $\widehat{DEC}$ tù.
Trong tam giác $DEC$, $\widehat{DEC}$ là góc tù (góc lớn nhất) nên cạnh đối diện $DC$ là cạnh lớn nhất:
$$DC > DE.$$
Bước 3: Chứng minh $BC > DC$.
Trong tam giác $ADC$ có $\widehat{DAC} = \widehat{BAC}$ tù nên $\widehat{ADC}$ nhọn. Vì $A, D, B$ thẳng hàng nên:
$$\widehat{BDC} = 180^\circ - \widehat{ADC} \Rightarrow \widehat{BDC} \text{ tù}.$$
Trong tam giác $BDC$, $\widehat{BDC}$ là góc tù (góc lớn nhất) nên cạnh đối diện $BC$ lớn nhất:
$$BC > DC.$$
Kết luận: $DE < DC < BC$, vậy $DE < BC$. (đpcm)
Bài 9.37: So sánh góc và đoạn thẳng
Đề: Cho tam giác $ABC$ ($AB > AC$). Trên đường thẳng chứa cạnh $BC$, lấy $D$ và $E$ sao cho $B$ nằm giữa $D$ và $C$, $C$ nằm giữa $B$ và $E$, $BD = BA$, $CE = CA$ (H.9.52).
a) So sánh $\widehat{ADE}$ và $\widehat{AED}$.
b) So sánh $AD$ và $AE$.
Lời giải:
a) Tam giác $ABD$ có $BA = BD$ nên cân tại $B$:
$$\widehat{ADB} = \dfrac{180^\circ - \widehat{ABD}}{2}.$$
Mà $D, B, C$ thẳng hàng nên $\widehat{ABD} = 180^\circ - \widehat{ABC}$, suy ra:
$$\widehat{ADE} = \widehat{ADB} = \dfrac{180^\circ - (180^\circ - \widehat{ABC})}{2} = \dfrac{\widehat{ABC}}{2}.$$
Tương tự, tam giác $ACE$ có $CA = CE$ nên cân tại $C$, và $\widehat{ACE} = 180^\circ - \widehat{ACB}$:
$$\widehat{AED} = \widehat{AEC} = \dfrac{\widehat{ACB}}{2}.$$
Vì $AB > AC$, trong tam giác $ABC$ ta có $\widehat{ACB} > \widehat{ABC}$ (góc đối diện cạnh lớn hơn thì lớn hơn). Do đó:
$$\widehat{AED} > \widehat{ADE}.$$
b) Trong tam giác $ADE$, $\widehat{AED} > \widehat{ADE}$ nên cạnh đối diện $\widehat{AED}$ lớn hơn cạnh đối diện $\widehat{ADE}$:
$$AD > AE.$$
Bài 9.38: Bất đẳng thức với đường cao và trung tuyến
Đề: Gọi $AI$ và $AM$ lần lượt là đường cao và đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh $A$ của tam giác $ABC$. Chứng minh:
a) $AI < \dfrac{1}{2}(AB + AC)$
b) $AM < \dfrac{1}{2}(AB + AC)$
Lời giải:
a) $AI$ là đường cao nên $AI \perp BC$. Khi đó $AI$ là đường vuông góc, còn $AB, AC$ là các đường xiên kẻ từ $A$ xuống $BC$. Đường vuông góc luôn ngắn hơn đường xiên:
$$AI < AB \quad\text{và}\quad AI < AC.$$
Cộng vế:
$$2AI < AB + AC \Rightarrow AI < \dfrac{1}{2}(AB + AC).$$
b) Dùng gợi ý: Lấy $D$ sao cho $M$ là trung điểm của $AD$.
Xét hai tam giác $ABM$ và $DCM$:
- $MB = MC$ ($M$ là trung điểm $BC$),
- $MA = MD$ ($M$ là trung điểm $AD$),
- $\widehat{AMB} = \widehat{DMC}$ (hai góc đối đỉnh).
Do đó $\triangle ABM = \triangle DCM$ (c.g.c), suy ra $DC = AB$.
Xét tam giác $ACD$, theo bất đẳng thức tam giác:
$$AD < AC + CD = AC + AB.$$
Mà $AD = 2AM$ nên:
$$2AM < AB + AC \Rightarrow AM < \dfrac{1}{2}(AB + AC).$$
Bài 9.39: Chứng minh tam giác ABE cân tại A
Đề: Cho tam giác $ABC$ có đường phân giác $AD$, $D$ nằm trên $BC$ sao cho $BD = 2DC$. Trên đường thẳng $AC$, lấy điểm $E$ sao cho $C$ là trung điểm của $AE$ (H.9.53). Chứng minh tam giác $ABE$ cân tại $A$.
Lời giải:
Bước 1: $BC$ là đường trung tuyến của tam giác $ABE$.
Vì $C$ là trung điểm của $AE$ nên đoạn $BC$ nối đỉnh $B$ với trung điểm $C$ của cạnh $AE$ → $BC$ là trung tuyến của tam giác $ABE$.
Bước 2: $D$ là trọng tâm tam giác $ABE$.
Trên trung tuyến $BC$, điểm $D$ thỏa $BD = 2DC$, tức $D$ chia trung tuyến theo tỉ lệ $2:1$ kể từ đỉnh $B$. Đó đúng là tính chất trọng tâm. Vậy $D$ là trọng tâm tam giác $ABE$.
Bước 3: $AD$ vừa là phân giác vừa là trung tuyến.
Vì $D$ là trọng tâm nên đường thẳng $AD$ đi qua trung điểm của $BE$ → $AD$ là đường trung tuyến từ $A$ của tam giác $ABE$.
Mặt khác, $C$ nằm trên $AE$ nên $\widehat{BAC} = \widehat{BAE}$; do $AD$ là phân giác $\widehat{BAC}$ nên $AD$ cũng là phân giác $\widehat{BAE}$.
Bước 4: Kết luận.
Trong tam giác $ABE$, đường $AD$ vừa là trung tuyến vừa là phân giác xuất phát từ $A$. Tam giác có hai đường này trùng nhau thì cân tại đỉnh đó. Vậy tam giác $ABE$ cân tại $A$. (đpcm)
Bài 9.40: Đánh dấu hai điểm trên dây thép
Đề: Một sợi dây thép dài 1,2 m. Cần đánh dấu hai điểm để khi uốn gập tại đó tạo thành tam giác cân có một cạnh dài 30 cm (H.9.54). Hãy mô tả các cách đánh dấu.
Lời giải:
Chu vi tam giác = chiều dài dây = $1{,}2$ m $= 120$ cm.
Tam giác cân có một cạnh dài 30 cm, ta xét hai trường hợp:
| Trường hợp | Cạnh 30 cm là | Hai cạnh còn lại | Kiểm tra BĐT tam giác | Kết luận |
|---|---|---|---|---|
| 1 | cạnh đáy | $(120-30):2 = 45$ cm và $45$ cm | $45 < 45 + 30$ ✓ | Hợp lệ |
| 2 | cạnh bên | $30$ cm và đáy $= 120 - 60 = 60$ cm | $30 + 30 = 60$, không lớn hơn 60 ✗ | Không hợp lệ |
Trường hợp 2 cho $30 + 30 = 60$ đúng bằng cạnh thứ ba nên không tạo được tam giác (ba điểm thẳng hàng).
Vậy chỉ có một cách: tạo tam giác cân có ba cạnh $45$ cm, $45$ cm, $30$ cm.
Cách đánh dấu: chia sợi dây thành ba đoạn dài $45$ cm, $45$ cm và $30$ cm. Em đặt hai dấu ở các vị trí cách một đầu dây lần lượt $45$ cm và $90$ cm (hoặc theo thứ tự $45 - 30 - 45$, $30 - 45 - 45$ tùy cách sắp đoạn 30 cm), rồi gập tại hai dấu đó.
Trang 85 – Mở đầu Chương X
Trang này không có bài tập, chỉ giới thiệu chương mới. Cô tóm tắt cho em nắm:
Chương X – Một số hình khối trong thực tiễn (Hình học trực quan)
Trong đời sống ta thường gặp hộp đựng quà, bể cá, đèn lồng, khối Rubik... Đó là hình ảnh của hình hộp chữ nhật, hình lập phương, hình lăng trụ đứng. Chương này sẽ tìm hiểu đặc điểm của chúng cùng các bài toán tính diện tích, thể tích.
Bài 36 – Hình hộp chữ nhật và hình lập phương
Mục tiêu cần đạt:
- Mô tả các yếu tố cơ bản: đỉnh, cạnh, góc, đường chéo của hình hộp chữ nhật và hình lập phương.
- Giải các bài toán thực tiễn về diện tích xung quanh và thể tích của hai hình này.
Đây là kiến thức đã được làm quen từ Tiểu học, nay sẽ được tìm hiểu sâu hơn. Em chuẩn bị tinh thần chuyển sang phần Hình học không gian nhé!
Em cần cô vẽ thêm hình minh họa hay giải kỹ hơn bài nào không?